镜像法

镜像法

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2023年3月2日发(作者：幼儿园区域规则)

求电场强度的六种特殊方法

一、镜像法（对称法）

镜像法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法，利用此

法分析解决问题可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，有出奇制胜之效。

例1．（2005年上海卷4题）如图1，带电量为+q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，

点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心．若图中a点处的电场强度为零，根据对

称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小和方向如何？(静电力恒量为k)

二、微元法

微元法就是将研究对象分割成若干微小的的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲

为直，使变量、难以确定的量转化为常量、容易确定的量。

例2.如图2所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直

于圆环平面的称轴上的一点，OP＝L，试求P点的场强。

三、等效替代法

“等效替代”方法，是指在效果相同的前提下，从A事实出发，用另外的B事实来代替，必要时再由B而C……

直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应联系，得以用有关规律解之。如以模型代实物，以合力（合运动）

替代数个分力（分运动）；等效电阻、等效电源等。

例3．如图3所示，一带正Q电量的点电荷A，与一块接地的长金属板MN组成一系统，点电荷A与板MN间的

垂直距离为为d，试求A与板MN的连线中点C处的电场强度．

四、补偿法

求解物理问题，要根据问题给出的条件建立起物理模型。但有时由题给条件建立模型不是一个完整的模型，这

时需要给原来的问题补充一些条件，组成一个完整的新模型。这样，求解原模型的问题就变为求解新模型与补充条

件的差值问题。

例4.如图5所示，用长为L的金属丝弯成半径为r的圆弧，但在A、B之间留有宽度为d的间隙，且d远远小

于r，将电量为Q的正电荷均为分布于金属丝上，求圆心处的电场强度。

五、等分法

利用等分法找等势点，再连等势线，最后利用电场强度与电势的关系，求出电场强度。

例5．如图6所示，a、b、c是匀强电场中的三点，这三点边线构成等边三角形，每边长L＝21cm，将一带

电量6q=210C的点电荷从a点移到b点，电场力做功5

1

W1.210J＝；若将同一点电荷从a点移到c点，

电场力做功6

2

W610J＝，试求匀强电场强度E。

六、极值法

物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类。物理型主要依据物理概念、定理、写律求解。数学型则是在

根据物理规律列方程后，依靠数学中求极值的知识求解。

例6如图8所示，两带电量为+Q的点电荷相距2L，MN是两电荷连线的中垂线，求MN上场强的最大值。

针对训练1：下列选项中的各1/4圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各1/4

圆环间彼此绝缘。坐标原点处电场强度最大的是

针对训练2：如图所示,一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷,在垂直于圆盘且过圆心c

的轴线上有a、b、d三个点,a和b、b和c、c和d间的距离均为R,在a点处有一电荷量为q(q>0)的

固定点电荷。已知b点处的场强为零,则d点处场强的大小为(k为静电力常量).

针对训练3：如图所示,xOy平面是无穷大导体的表面,该导体充满z⩽0的空间,z>0的空间为真空。将

电荷量为q的点电荷置于z轴上z=h处,则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆

是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零,则在z

轴上z=h/2处的场强大小为(k为静电力常量)()

针对训练4：如图所示,一半径为r的圆环上均匀分布着电荷量为+Q的电荷,在垂直于圆环面且过圆心

0的中轴线上有A、B、C三个点，C和0、0和A间的距离均为d,A、B间的距离为2d,在B点处固定

一电荷量为+q的点电荷。已知A点处的电场强度为零,k为静电力常量,求:

(1)0点的电场强度E,;

(2)C点的电场强度E。

针对训练5．均匀带电的球体在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，

在半球体上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球半径为R，MN为通过半球顶点与球心O

的轴线，在轴线上有A、B两点，A、B关于O点对称，AB=4R。已知A点的场强大小

为E，则B点的场强大小为（）

A.B.C.D.

针对训练6．已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零，电势处处相等．如图所示，正电荷均匀分布

在半球面上，Ox为通过半球顶点与球心O的轴线．A、B为轴上的点，且OA=OB．C、D为直径上的两

点，且OC=OD．则下列判断正确的是()

A.A点的电势与B点的电势相等

B.C点的电场强度与D点的电场强度不相同

C.A点的电场强度与B点的电场强度相同

D.在A点由静止开始释放重力不计的带正电粒子，该粒子将沿AB做匀加

速直线运动

求电场强度的六种特殊方法

例1．解析：均匀带电薄板在a,b两对称点处产生的场强大小相等，方向相反，具有对称性。而带电薄板和点电

荷+q在a点处的合场强为零，则Ea＝

2

kq

d

，方向垂直于薄板向右，故薄板在b处产

生的场强大小为Eb＝Ea=

2

kq

d

,方向垂直于薄板向左。

例2.解析：设想将圆环看成由ｎ个小段组成，当ｎ相当大时，每一小段都

可以看作点电荷，其所带电荷量Ｑ′＝Ｑ／ｎ，由点电荷场强公式可求得每一

小段带电体在Ｐ处产生的场强为

)(222LRn

kQ

nr

kQ

E





由对称性知，各小段带电环在Ｐ处的场强Ｅ，垂直于轴的分量Ｅｙ相互

抵消，而其轴向分量Ｅｘ之和即为带电环在Ｐ处的场强ＥＰ

cos

)(22LRn

Q

nknEE

xP



2

3

22)(LR

QL

k





例3．解析：求金属板和点电荷产生的合场强，显然用现在的公式直接求解比较困难。能否用中学所学的知识

灵活地迁移而解决呢？当然可以。由于金属板接地，电势为0，而一对等量异号的电荷在其连线的中垂线上电势也

为0，因而可以联想成图4中所示的两个等量异号电荷组成的静电场等效替代

原电场。根据电场叠加原理，容易求得C点的场强。

cAB

22

2

E=EE

=kQ/(d/2)(3/2)

40/9

kQd

kQd







例4.解析：中学物理只讲到有关点电荷强的计算公式和匀强电场场强的

计算方法以，本题是求一个规则带电体所产生的电场，没有现成公式直接可

用，需变换思维角度。假设将这个圆环缺口补上，并且已补缺部分的电荷密度与原有缺

口的环体上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀分布的完整带电环，环上处于同

一直径两端的微小部分所带电荷可视为两个相应点的点电荷，它们在圆心O处产生的电

场叠加后合场强为零。根据对称性可知，带电小段，由题给条件可视为点电荷，它在圆

心O处的场强E1，是可求的。若题中待求场强为E2，则E1+E2＝0。设原缺口环所带电荷

的线密度为ρ,Q＝/(2r-d)，则补上的那一小段金属丝带电量Q＇＝d，在0处

的场强E1＝KQ＇/r2,由E1+E2＝0可得：E2＝-E1，负号表示E2与E1反向，背向圆心向左。

例5．解析：首先确定a、b、c三点电势的高低，因为

VV

q

W

Uab

ab

0.6

102

102.1

6

5













,

VV

q

W

Uac

ac

0.3

102

106

6

6













所以Ucb=9.0v；Uc>Ua>Ub，将cb三等分，每一段表示电势差3V，如图7所示，并

从c点依次作ad平行线，得到各等势线，作等线的垂线ce，场强方向由c指向e。所

以：

r

abab

2

UU

E=,

LcosaLcos

3cos=2cosa,a=60

3cos=2cos(60)=cos3sin

2cos=31cos,cos=21/7















＝

所以：

ab

U

E=200V/m

Lcos

＝

例6解析：用极限分析法可知，两电荷间的中点O处的场强为零，在中垂线MN处的无穷远处电场也为零，所

以MN在必看场强的最大值。采用最常规方法找出所求量的函数表达式，再求极值。由图9可知，MN上的水平分量

相互抵消，所以有：



sin

)cos/(

2)sin(2

2

1L

Q

kEE

将上式平方得)sin2(coscos2222

4

2

22

L

Q

KE

由于2sin2cossin222

所以当22sin2cos，即

2

2

tan时，E有最大值为

2

max9

64

L

Q

kE

针对训练1：答案B

解析据题意，由于电荷分布均匀，将各1/4圆环看成一个带点小球且处于1/4圆环的中点，则图A产生电场力F第

三象限角平分线向下；B图中正负电荷电场力的合力大小为，方向沿x轴负半轴方向；图C中两个正电荷电

场力相互抵消，合力大小为F沿第二象限角平分线向上；图D中电场力的合力为0；则电场力最大的为B图，据

可知，电场强度最大的正是B图。选项B正确。

针对训练2：答案：B

解析电荷量为q的点电荷在b处产生电场强度为

2

kQ

E

R

,而半径为R均匀分布着电荷量为Q的圆盘上电荷，与在

a点处有一电荷量为q（q>0）的固定点电荷，在b点处的场强为零，

则圆盘在此处产生电场强度也为

2

kq

E

R

．那么圆盘在此d产生电场强度则仍为

2

kq

E

R

．

而电荷量为q的点电荷在d处产生电场强度为

2(3)

kq

E

R



，由于都在d处产生电场强度方向

相同，即为两者大小相加．如图所示：

所以两者这d处产生电场强度为

2

10

9

kq

R

.故选B.

针对训练3：答案D解析在z轴上

2

h

处，合场强为零，该点场强为q和导体近端感应电荷产生电场的场强的矢

量和；q在

2

h

处产生的场强为：

1

2

2

4

3

9

()

2

kqkq

E

h

h

；由于导体远端离

2

h

处很远，影响可以忽略不计，故导体在

2

h

处产生场强近似等于近端在

2

h

处产生的场强；

2

h

处场强为：

12

0EE,故

21

2

4

9

kq

EE

h

；根据对称性，导体近端在

2

h

处产生的场强为

2

2

4

9

kq

E

h

；电荷

q在

2

h

处产生的场强为：

2

2

4

()

2

kqkq

h

h

；故

2

h

处产生的场强为：

222

4440

99

kqkqkq

hhh

；故选D.

针对训练4：解析（1）由于圆环上电荷均匀分布，根据对称性和电场的叠加原理则得带电圆环在O点处的电场大小

为0；

（2）B处的点电荷Q在A处产生的场强大小为

22(2)4A

kqkq

E

hh

已知A点处的场强为零，根据电场的叠加原理得

知圆盘在A点处产生的场强

24AA

kq

EE

h



，方向竖直向上；根据对称性可知圆盘在C产生的场强

24CA

kq

EE

h



，

方向竖直向下．

q在C处产生的场强大小为

24C

kq

E

h



，方向竖直向下，则根据电场的叠加原理得知C点处场强的大小

2

5

16CC

kq

EEE

h



，方向竖直向下．

针对训练5：B【解析】解：若将带电量为2q的球面放在O处，均匀带电的球壳在A、B点所产生的电场为

，由题知当半球面产生的场强为E，则B点的场强为。解得，故选B。

针对训练6：C【解析】试题分析：通过割补法将球壳补全，然后结合合场强分析A、B两点和C、D两点电场强度

的关系．根据电场线的方向分析电势高低．通过分析带电粒子受力情况，分析粒子的运动情况．

电场线的方向由正电荷指向无穷远或负电荷，可知，图中电场线的方向为沿AOB的方向，所以A点电势高于B点

电势，故A错误；将题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的场强大小分别为

和．由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知．根据对称性可知，左、右半球在B点产生的场

强大小分别为和．且．则在图示电场中，A的场强大小为，方向向右．B的场强大小为，方向向右，

所以A点的电场强度与B点的电场强度相同，同理C和D点的电场强度也相同，故B错误C正确；在A点由静止

开始释放重力不计的带正电粒子，由于电场强度是变化的，所以粒子所受的电场力是变化的，则该粒子将做变加速

直线运动，故D错误．