二重积分的几何意义

发布时间：2023-06-10 作者：admin 来源：文学

二重积分的几何意义

2023年3月2日发(作者：会计管理信息系统)

；.

第九章二重积分

习题9-1

1、设

322

)(

dyxI,

其中}22,11|),{(

yxyxD;

又

322

)(

dyxI,

其中}20,10|),{(

yxyxD,

试利用二重积分的几何意义说明

I与

I之间的关系.

解：由于二重积分

I表示的立体关于坐标面0x及0y对称,且

I位于第一

卦限部分与

I一致,因此

4II.

2、利用二重积分的几何意义说明:

(1)当积分区域D关于y轴对称,),(yxf为

的奇函数,即

),(),(yxfyxf时,有0),(

dyxf;

(2)当积分区域D关于y轴对称,),(yxf为

的偶函数,即

),(),(yxfyxf时,有

),(2),(

dyxfdyxf,其中

D为D在

0x的部分.

并由此计算下列积分的值,其中

}|),{(222RyxyxD.

(I)

dxy4;(II)

dyxRy222;(III)





cos

解：令

dyxfI),(,

),(

dyxfI,其中

D为D在0x的部分,

；.

(1)由于D关于y轴对称,),(yxf为x的奇函数,那么I表示的立体关于坐标

面0x对称,且在0x的部分的体积为

I,在0x的部分的体积为

I,于

是0I;

(2)由于D关于y轴对称,),(yxf为x的偶函数,那么I表示的立体关于坐标

面0x对称,且在0x的部分的体积为

I,在0x的部分的体积也为

I,于

是

2II.

(I)由于}|),{(222RyxyxD关于y轴对称,且4),(xyyxf为x的奇

函数,

于是04

dxy;

(II)由于}|),{(222RyxyxD关于

轴对称,且

222),(yxRyyxf为y的奇函数,于是0222

dyxRy;

(III)由于}|),{(222RyxyxD关于

轴对称,且

cos

),(

yxf





为y的奇函数,于是0

cos







.

3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:

(1)

dyxI2

)(与

dyxI3

)(,其中D是由

轴、y轴与直线

1yx所围成;

解：由于在D内,10yx,有23)()(0yxyx,所以

)()(IdyxdyxI

.

(2)

dyxI)ln(

与

dyxI2

)][ln(,

其中}10,53|),{(yxyxD.

；.

解：由于在D内,63yxe,有1)ln(yx,2)][ln()ln(yxyx,

所以

)][ln()ln(IdyxdyxI

.

4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值：

(1)

dyxxyI)1(,

其中}20,10|),{(yxyxD；

解：由于D的面积为2,且在D内,8)1(0yxxy,那么

1628)1(200

dyxxy.

(2)

dyxI)94(22,

其中}4|),{(22yxyxD；

解：由于D的面积为4,且在D内,

25313949222yyx,那么

100425)94(493622

dyx.

(3)





22coscos100



其中}10|||||),{(yxyxD；

解：由于D的面积为200,且在D内,

100

coscos100

102







,那么

100

200

coscos100102

200

100







d

＝

；.

习题9-2

1、计算下列二重积分：

(1)

dyx)(22,其中D是矩形区域:1||,1||yx；

解：

)

(2)()(1

2222

dxxdyyxdxdyx

.

(2)

yxdxye22,其中},|),{(dycbxayxD；

解：

xcd

dxxeeedyxyedxdyx22222)(

)()(22.

))((

12222cdabeeee.

(3)

dyx)23(,其中D是由两坐标轴及直线2yx所围成的闭区域；

解：

)224()23()23(2

dxxxdyyxdxdyxx

.

(4)

dyxx)cos(,其中D是顶点分别为)0,(),0,0(和),(的三角形

闭区域.

解：

)sin2(sin)cos()cos(

000

dxxxxdyyxxdxdyxxx

2、画出积分区域,并计算下列二重积分：

(1)

dyx,其中D是由两条抛物线2,xyxy

所围成的闭区域；

；.

解：

)(

dxxxdyyxdxdyxx

.

(2)

,其中D是由直线xyxy2,及2,1xx所围成的闭区域；

解：

2xdxdy

dxd

.

(3)

dyx)2(,其中D是由

yxy

,及2y所围成的闭区域；

解：

)

12()2()2(2

dy

ydxyxdydyxy

.

(4)

yxde,其中D是由1||||yx所确定的闭区域.

解：











1

yxdyedxdyedxde

dxeedxeexx

)()(1

112



.

a:=0..1;

b:=x-1..-x+1;

f:=exp(x+y);

int(f,y=b);

int(int(f,y=b),x=a);

simplify(");

3、如果二重积分

dyxf),(的被积函数),(yxf是两个函数)(

xf及

)(

yf的乘积,即)()(),(

yfxfyxf,积分区域

},|),{(dycbxayxD,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,

；.

即

(,)()()bd

fxydfxdxfydy









.

证明：

b

dyyfxfdxdxyxfdxdyxf)()(),(),(



1212

()()()()bdbd

acac

fxfydydxfxdxfydy









.

4、化二重积分

dyxfI),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不

同的两个二次积分),其中积分区域D是：

(1)由曲线xyln、直线2x及

轴所围成的闭区域；

图形>

plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1);

解：2ln

),(),(

xdxyxfdydyyxfdxI.

(2)由y轴及右半圆22yax所围成的闭区域；

图形>

plot([(1-x^2)^(1/2),-1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);

；.

解：



a

yaaxa

dxyxfdydyyxfdxI2222

2200

),(),(.

(3)由抛物线2xy与直线32yx所围成的闭区域.

图形>plot([x^2,3-2*x],x=-3..1,color=1);

解：

(,)(,)

Idyfxydxdyfxydx





.

5、改换下列二次积分的积分顺序：

(1)1

),(y

dxyxfdy；

解：1

),(x

dyyxfdxI

；.

(2)1

),(e

dxyxfdy；

解：exdyyxfdxI

),(.

(3)



2),(y

dxyxfdy；

解：



2

2),(xx

dyyxfdxI.

(4)2

),(),(2xxdyyxfdxdyyxfdx

；

；.

解：1

2),(y

dxyxfdyI.

(5)



sin

),(x

dyyxfdx；

图形>plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]],x=0..Pi,color=1);

解：



1

arcsin

1arcsin2

),(),(y

dxyxfdydxyxfdyI



(6)



2

),(),(

xaax

xax

dyyxfdxdyyxfdx.

图形>plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]],x=0..2,color=1);

解：

aa

yaa

ayaa

dxyxfdydxyxfdyI

2),(),(

a

dxyxfdy22

2),(.

6、设平面薄片所占的闭区域D由直线xyyx,2和

轴所围成,它的面

密度22),(yxyx,求该改薄片的质量.

图形>plot([2-x,x],x=0..2,y=0..1,color=1);

解：1

22)(),(x

dxyxdydyxm

)

32dyyyy.

；.

7、求由平面1,1,0,0yxzyx及yxz1所围成的立体的体积.

图形>with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):

B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):

G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x):

display({A,B,F,G,H},grid=[25,20],axes=BOXED,

scaling=CONSTRAINED,style=PATCHCONTOUR);

解：1

)1(

)(]1)1[(dxxdyyxdxdyxVx

.

8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长m500,宽m20的通道,据测量,

以出发点一侧为原点,往另一侧方向为

轴(200x),往公路延伸方向为y

轴(5000y),且山坡高度为xyz

sin

500

sin10



,试计算所需挖掉

的土方量.

图形>plot3d(10*sin(Pi*y/500)+sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);

解：)(70028)

sin

500

sin10(3

500

mdyxydxzdV





.

9、画出积分区域,把积分

dyxfI),(表示为极坐标形式的二次积分,其

中积分区域D是：

(1))0(}0,|),{(222axayxyxD；

图形>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);

解：



2

)sin,cos(



ardrrrfdI.

(2)

}2|),{(22yyxyxD；

图形>plot([1+(1-x^2)^(1/2),1-(1-x^2)^(1/2)],x=-1..1,color=1);

解：

yyx222

sin22rr

sin2r,于是





sin2

)sin,cos(rdrrrfdI.

；.

(3)}|),{(2222byxayxD,其中ba0；

图形>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),

(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)],x=-2..2,color=1);

解：

2

)sin,cos(b

rdrrrfdI.

(4)}0,10|),{(2xyxyxD.

图形>plot([x^2,[[1,0],[1,1]]],x=0..1,color=1);

解：2xy

22cossinrr

tansecr,

1x



1cosr



secr,于是

4

sec

tansec

)sin,cos(







rdrrrfdI.

10、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：

(1)1

),(dyyxfdx；

图形>plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1);

解：1x



1cosr



secr,

1y1sinr

cscr,于是

2

csc

sec

)sin,cos()sin,cos(







rdrrrfdrdrrrfdI.

(2)



1

2)(x

dyyxfdx；

图形>plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1);

解：xy1

cos1sinrr

cossin



r,于是





2

cossin

)(





rdrrfdI.

11、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值：

；.

(1)axaxdyyxdx2

2)(；

图形>plot((2*x-x^2)^(1/2),x=0..2,color=1);

解：22xaxy

22coscos2sinrarr



cos2ar,

于是4

cos2

cos4aadrrdIa





.

(2)



dx；

图形>plot([3^(1/2)*x,x],x=0..1,color=1);

解：1x



1cosr



secr,于是

lnsec3

sec

0







ddrdI.

(3)a

xaaxdyyxdxdyyxdx

图形>plot([3^(1/2)*x/3,(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..0.5,color=1);

解：1x



1cosr



secr,于是

183

drrdIa





.

12、利用极坐标计算下列各题：

(1)

dyxR222,其中D为圆域Rxyx22(0R)；

图形>plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);

解：

Rxyx22

cos2Rrr

cosRr,于是

)

(

cos

22









RrdrrRdIR

；.

(2)

dyx)1ln(22,其中D为圆122yx及坐标轴所围成的在第一

象限内的闭区域；

图形>plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);

解：)12ln2(

)1ln(2

2







rdrrdI.

(3)

arctan,其中D为圆周122yx,422yx及直线

xyy,0所围成的在第一象限内的闭区域.

图形>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],

x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1);

解：2

164





drdrdI.

13、选择适当的坐标计算下列各题：

(1)



,其中D是直线xyx,2及曲线1xy所围成的闭区域；

图形>plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1);

解：

)(2

dxxxdy

dxIx

(2)

dyx22sin,其中D是圆环形区域22224yx；

图形>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),

(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)],x=-2..2,color=1);

解：2

26sin



rdrrdI.

(3)

dyx)(22,其中D是由直线ayayaxyxy3,,,(0a)

所围成的闭区域；

；.

图形>plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1);

解：4

2214)

2()(adx

yaaydxyxdyIa



(4)

dyx|1|22,其中D为圆域422yx.

图形>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),

(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)],x=-2..2,color=1);

解：





)1()1(2

2rdrrdrdrrdI.

14、计算以xOy面上的圆周axyx22围成的闭区域为底,而以曲面

22yxz为顶的曲顶柱体的体积.

图形>plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);

解：

axyx22

cos2arr



cosar,于是

cos

322

cos

)(ad

drrddyxVa











15、某水池呈圆形,半径为5米,以中心为坐标原点,距中心距离为r处的水深

为

r

米,试求该水池的蓄水量.

图形>plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);

解：29.16)13ln2(ln5







rdr

dV(米3).

16、讨论并计算下列广义二重积分：

(1)

qpyx

d

,其中}1,1|),{(xxyyxD；

解：

))(1(

110

1pqq

dxI

qp















.

即当1qp时,广义二重积分收敛,且

；.

))(1(

qpq



.

(2)



pyx

)(22



,其中}1|),{(22yxyxD；

解：

1112

12













即当1p时,广义二重积分收敛,且

1





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