矩形大法
-
2023年3月1日发(作者：货物运输方案)学习数学，领悟数学，秒杀数学。第二章向量
18
专题1向量的基础知识
提醒：
（1）向量b与非零向量
．．．．
a
共线的充要条件是有且只有一个实数
，使得
ab
.
（2）设a=
11
,xy，
22
,bxy，
1221
0abxyxy∥
，a⊥b
00
1221
yyxxba.
（3）两个向量a，b
的夹角公式：1212
2222
1122
cos
xxyy
xyxy
q
+
=
+?
.
【例1】（2015•四川）设向量
(2,4)a=
与向量
(,6)bx=
共线，则实数x（）
A．2B．3C．4D．6
【例2】（2015•河北）已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
(4,3)AC=--
，则向量BC=（）
A．(7,4)B．(7,4)C．(1,4)D．(1,4)
【例3】（2015•黑龙江）a=(1,1)，b=(1,2)，则（2a+b）a=（）
A．1B．0C．1D．2
【例4】（2015•广东）在平面直角坐标系xoy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=(1,2)，AD=
(2,1)则ADAC×=（）
A．
5B．4C．3D．2
运算图形语言符号语言坐标语言
加法与减法
=OAOBOC
OAOBBA
记
11
,OAxy
，
22
,OBxy
则
1122
,OAOBxyxy
2121
,OBOAxxyy
OAABOB
实数与向量
的乘积
(
)ABaRll=?
记(
),axy=
，则(
),axylll=
两个向量的
数量积
cos,ababab
记
11
(,)axy，
22
(,)bxy，则
1212
abxxyy
学习数学，领悟数学，秒杀数学。第二章向量
19
【例5】（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则BDCD×=（）
A．2
2
3
a
B．2
4
3
a
C．2
4
3
a
D．2
2
3
a
【例6】（2015•安徽）ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2ABa=，2ACab=+，则下
列结论正确的是（）
A．1b
B．ba
C．1ba
D．
BCba
4
【例7】已知向量a和b的夹角为120°，
1a=
，
3b=
，则．
【例8】（2015•重庆）若非零向量a，b满足
22
3
ab=，且(
)
(
)32abab-^+，则a与b的夹角为（）
A．
4
B．
2
C．
4
3
D．
|5|ab
秒杀秘籍：向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）
同：2222)(bababa
；222bababa；acabcba)(公式都可通用．
异：整式：
baab
，a仅仅表示数；向量：
)(cos夹角与为bababa
．
22
222cosmanbmamnabnb
使用范围广泛，通常是求模或者夹角．
manbmanbmanb
，通常是求
manb
最值的时候用．
学习数学，领悟数学，秒杀数学。第二章向量
20
专题2共线之对面的女孩看过来
【例1】在
ABC
中，已知3BCBD，则AD（）
A．
1
(2)
3
ACAB
B．
1
(2)
3
ABAC
C．
1
(3)
4
ACAB
D．
1
(2)
4
ACAB
【例2】已知OAa，OBb，
C
为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段
CB
上距
C
较近的一
个三等分点，则用a，b表示OD的表达式为（）
A．
1
(45)
9
ab+
B．
1
(97)
16
ab+
C．
1
(2)
3
ab
D．
1
(3)
4
ab
【例3】已知OAB，，是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足20ACCB，则OC（）
例3题图例4题图例5题图
【例4】在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若ACmAEnAF，其中
m
，nR，
则
mn
．
【例5】在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|OM|：|OA|=1∶3，|ON|：|OB|=1∶4，设线段AN
与BM交于点P，记OAa=，OBb=，用a，b表示向量OP．
秒杀秘籍：
对面的女孩看过来
平面上O，A，B三点不共线，D在直线AB上，且ADAB,令
aOA
，
bOB
，
xOD
，则有(1)xba
其表达意思就是从一个顶点O引出三个向量，且它们共线，每一个向
量
,ab
分别乘以它对面的比值，简称对面的女孩看过来。
特殊点：当D为AB中点时，
1
2
，
11
22
xba
（中线定理）
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21
专题3等高线定理的运用
【例6】如图，平面内有三个向量
OA
，
OB
，
OC
，其中
OA
与
OB
的夹角为120°，
OA
与
OC
的夹角为30°，
且
1OAOB
，
23OC
．若()OCmOAnOBmnR，，则mn的值为．
【例7】在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若
APmABnAD，则nm的最大值为（）
A．3B．22C．5D．2
【例8】在扇形OAB中，60AOB,C为弧
AB
上的一个动点.若
OCxOAyOB
，则
3xy
的取值
范围是________.
【例9】在直角梯形ABCD中，ABAD，1ADDC，3AB，动点P在以C为圆心，且与直线BD相
切的圆内运动，设(
),APxAByADxyR=+?
，则
xy
的取值范围是________.
【例10】在正三角形ABC中,D是边BC上的点,若3AB,1BD，则ABAD=．
【例11】在边长为1的正三角形ABC中,设2BCBD,3CACE，则ADBE．
【例12】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和
DC上，且
2
3
BEBC=
，
1
6
DFDC=
，则AEAF×的值为．
秒杀秘籍：等高线定理
如图设
1
e，
2
e是平面内两个不共线向量，若
OP
=
21
yexe，且1yx，
21
''eyexOQ
且kyx''，
则有
OQ
k
OP
.
证明：设
OPOQ
，则(
)121212
''OQxeyexeyexeyelll=+=+=+
，
所以yxyx''所以''
OQ
xyk
OP
.
秒杀秘籍：未知夹角的向量乘积
第一步：选定基底，就是所谓的几何图形中模和夹角都很清楚的两个向量a
,
b；
第二步：利用加法和减法，以及三点共线将两个向量
11
ab和
22
ab；
第三步：利用向量乘积知识算出结果。
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22
【例13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DEDC×的最大值为．
专题4万能的建系法求向量乘积问题
【例1】（2016•天津）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE
并延长到点F，使得2DEEF，则AFBC的值为（）
A．
8
5
B．
1
4
C．
1
8
D．
11
8
【例2】（2017•天津）在ABC中，60A，3AB，2AC．若2BDDC，
()AEACABR
，
且4ADAE，则的值为．
【例3】（2013•新课标Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD．
【例4】（2015•北京）在ABC中，点M，N满足2AMMC，BNNC，若
MNxAByAC
，则
x
，y．
【例5】（2009•安徽）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若
ACAEAF
，
其中、R，则
．
【例6】（2013•江苏）设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，
1
2
ADAB
，
2
3
BEBC
，若
121
(DEABAC
，
2
为实数），则
12
的值为．
【例7】（2006•湖南）如图，//OMAB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不
含边界）运动，且
OPxOAyOB
，则
x
的取值范围是；当
1
2
x
时，y的取值范围是．
秒杀秘籍：常见的坐标系建立
边长为a的等边三角形知道夹角的任意三角形正方形矩形
平
行四边形直角梯形等腰梯形圆
建系必备：（1）三角函数知识cosxrq=，sinyrq=．
（2）向量三点共线知识(
)1OCOBOAll=+-
(对面女孩看过来)．
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23
【例8】（2017•北京）已知点P在圆221xy上，点A的坐标为(2,0)，O为原点，则AOAP的最大值
为．
【例9】（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A，(2,0)B，E，F是y轴上的两个动点，
且
||2EF
，则AEBF的最小值为．
【例10】（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，120BAD，1ABAD．若
点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为（）
A．
21
16
B．
3
2
C．
25
16
D．3
【例11】（2017•新课标Ⅱ）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
()PAPBPC
的最小值是（）
A．2B．
3
2
C．
4
3
D．1
学习数学，领悟数学，秒杀数学。第二章向量
24
专题5奔驰定理与向量四心
重心定理证明：(
)22111
33233
AGADABACABAC==?=+
奔驰定理证明：如图，令
112131
,,OAOAOBOBOCOC
，即满足1110OAOBOC
11
12
1
AOB
AOB
S
S
，
11
13
1
AOC
AOC
S
S
，
11
23
1
BOC
BOC
S
S
，故
321
::::
AOBAOCBOC
SSSlll=.
垂心定理证明：
()00OAOBOCOBOBOAOCOBCA?邹?=拮=
，即
OBCA^
，以此类推．
角平分线定理证明：
||
a
a
和
||
b
b
分别为OA和OB方向上的单位向量，
||||
ab
ab
是以
||
a
a
和
||
b
b
为一组邻边的
平行四边形过O点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故
||||
ab
ab
在AOB平分线上，但AOB平
分线上的向量OM终点的位置由OM决定.当
1
时，四边形OAMB构成以
120AOB
的菱形．
外心定理证明：如图，
ABC
中，D、E、F分别为AD、AC、BC边中点，O为
ABC
外心，则
ODAB
，
OEAC
，
OFBC
，AOADDOAEEO，
(
)2211
22
AOABADDOABABDOABAB?+?+?
，
同理可证：21
2
AOACAC?
，21
2
BOBCBC?
；
秒杀秘籍：
奔驰定理与三角形四心
重心定理：三角形三条中线交点.
ABC的顶点
11
,Axy，
22
,Bxy
，
33
,Cxy
，重心坐标,Gxy
：
注意：（1）在ABC中，若O为重心，则
0OAOBOC++=
．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1.且分的三个三角形面积相等．
定理：重心的向量表示：
11
33
AGABAC=+
．
定理：
0
B
AC
SOASOBSOC（奔驰定理）
则AOB、AOC、BOC的面积之比等于
123
::
垂心定理：三角形三边上的高相交于一点。点O是的垂心，则OAOBOBOCOCOA
角平分线定理：
若OAa，OBb，则AOB平分线上的向量OM为()
||||
ab
ab
，
由OM决定
外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；
（1）
21
2
AOABAB?
，21
2
AOACAC?
；21
2
BOBCBC?
；
（2）
2211
44
AOAFABAC?+
，2211
44
BOBEABBC?+
，2211
;
44
COCDBCAC?+
（3)
2211
22
AOBCACAB?-
，2211
22
BOACBCBA?-
，2211
.
22
COABBCAC?-
ABC
学习数学，领悟数学，秒杀数学。第二章向量
25
22111111
222244
AOAFAOABACAOABAOACABAC
骣
琪
??=??+
琪
桫
；
同理2211
44
BOBEABBC?+
；同理2211
44
COCDACBC?+
.
【例1】在四边形ABCD中，ABDC==(1,0)，
BABCBD
BABCBD
+=
，则四边形ABCD的面积是（）
A．
3
2
B．3C．
3
4
D．
3
2
【例2】已知点O为ABC内一点，且230OAOBOC，则AOB、AOC、BOC的面积之比等于
（）
A．9∶4∶1B．1∶4∶9C．3∶2∶1D．1∶2∶3
【例3】已知G为ABC的重心，令ABa=，ACb=，过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点，且APma=，
AQnb=
，则
11
mn
+
=．
【例4】在OAB中，OAa=，OBb=，若2abab?-=．
（1）求
22ab+的值；
（2）若(
)0
ab
ab
ab
骣
琪
+?=
琪
琪
桫
，3ABAM=，2BABN=，求OMON的值．
【例5】O为ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则AMAO×的值（）
A．23B．12C．6D．5
【例6】设P为锐角ABC的外心（三角形外接圆圆心），(
)APkABAC=+（k∈R）．若cos∠BAC=
2
5
，
则k（）
A．
5
14
B．
2
14
C．
5
7
D．
3
7
学习数学，领悟数学，秒杀数学。第二章向量
26
专题6极化恒等式
【例1】（2014•新课标II）设向量a，b满足
10ab
，
6ab
，则ab×等于（）
A．1B．2C．3D．5
【例2】（2014•江苏）在平行四边形ABCD中，已知8AB=，则ABAD×的值是.
【例3】设点P是边长为2的ABC三边上的一动点，则
()PAPBPC?
的取值范围是．
【例4】正方形ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段
称为球的弦），P为正方形表面上的动点，当弦MN最长时，PMPN×的最大值为．
【例5】ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是AB的中点，E,F分别是边BC，AC上的动点，且EF=1，
则DEDF×的最小值等．
秒杀秘籍：极化恒等式：(
)
(
)221
.
4
ababab
轾
?+--
犏
臌
在
ABC
中，若AM是
ABC
的BC边中线，有以下两个重要的向量关系：
(
)
(
)
1
2
1
2
AMACAB
BMACAB
ì
=+
ï
ï
í
ï
=-
ï
î
定理1平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM是
ABC
的中线，则22222ABACAMBM
.
定理2在
ABC
中，若M是BC的中点，则有22221
.
4
ABACAMBCAMBM?-=-
学习数学，领悟数学，秒杀数学。第二章向量
27
专题7极化恒等式之矩形大法
【例1】（2015•四川预赛）在矩形ABCD中，3AB，4AD，P为矩形
ABCD
所在平面上一点，满足
2PA，21PC，则PBPD?.
【例2】（2013•重庆卷）在平面内，
12
ABAB
，
12
1OBOB
，
12
APABAB
若
1
2
OP<
，则OA的取
值范围是（）
A．
5
0,
2
B．
57
,
22
C．
5
,2
2
D．
7
,2
2
【例3】（2008•浙江卷）已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足0acbc，
则c的最大值是（）
A．1B．2C．2D．
2
2
【例4】（2012•江西卷）在RtABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则
22
2
PAPB
PC
等于（）
A．2B．4C．5D．10
【例5】已知向量a、b、c满足
3a=
，
2b=
，
1c=
，且(c)(c)0ab--=，则ab-的取值范围
是．
【例6】（2014•广东卷）已知椭圆
22
22
:1(0)
xy
Cab
ab
的右焦点为
(5,0)
，离心率为
5
3
．
（1）求椭圆C的标准方程；
秒杀秘籍：
极化恒等式之矩形大法
如图，在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点O，P为平面内任意一点，有以下两个重要的向量
关系：①2222PAPCPBPD+=+；②.PAPCPBPD??
证明：①连接PO，根据极化恒等式
22
222
22
abab
ab
轾
骣骣
+-
犏
琪琪
+=+
琪琪
犏
桫桫
臌
，
可得
2
222222
4
AC
PAPCPOPBPD
骣
琪
+=+=+
琪
桫
；
②根据极化恒等式
22
22
abab
ab
骣骣
+-
琪琪
?-
琪琪
桫桫
，可得
2
2
4
AC
PAPCPOPBPD?-=?
推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积均相等．
学习数学，领悟数学，秒杀数学。第二章向量
28
（2）若动点
0
(Px
，
0
)y
为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
专题8对角线向量定理
秒杀秘籍：对角线向量定理：2222()()
2
ADBCABCD
ACBD①
+-+
?
在ABC中，由余弦定理的向量式有
222
CA
2
CACBAB
CB
；
在CAD中，同理有
222
CA
2
CACDAD
CD
.所以在四边形ABCD中，
2222()()
()
2
ADBCABCD
ACBDACCDCB
即
2222()()
2
ADBCABCD
ACBD
，这就是对角线向量定理（斯坦纳定理），它表明四边形的两条
对角线对应向量的数量积可用四条边的长度表示。
推论1：当
BDAC
时，有2222ADBCABCD②+=+
.
式子②表明，当对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等．
推论2：cos
(
)
(
)2222
,
2
ADBCABCD
ACBD
ACBD
③
+-+
=
学习数学，领悟数学，秒杀数学。第二章向量
29
一用对角线向量定理秒解平面向量题
【例1】如图，已知平面四边形ABCD，ABBC⊥，2ABBCAD，CD=3，AC与BD交于点O，若记
aOAOB=?，bOBOC=?，cOCOD=?，则（）
A．
abc<<
B．
acb<<
C．
cab<<
D．
bac<<
【例2】如图，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，则AOBC×的值是（）
A．－8B．－1C．1D．8
【例3】如图，在四边形ABCD中，ABBC，ADBC若，ABa=，ADb=，则ACBD×等于（）
A．22ba-B．22ab-C．22ab+D．22ab×
二用对角线向量定理秒解线线角
【例4】如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将ADE沿DE折起，使二面
角A-DE-B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为（）
需要说明的是，式子①②③既适用于平面向量也适用于空间向量．
学习数学，领悟数学，秒杀数学。第二章向量
30
例4图例5图例6图
【例5】如图，三棱锥A−BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则
异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．
三用对角线向量定理妙解立几翻折问题
【例6】如图在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点，现
将AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D做DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，
则t的取值范围是．
【例7】已知矩形ABCD，AB=1，BC=2，将ABD沿矩形的对角线BD谁在的直线进行翻折，在翻折过
程中（）
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线AC与BD，AB与CD，AD与BC均不垂直
【例8】如图已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5,
90ADC
，沿直线AC将ACD翻
折成ACD
，直线AC与BD
所成角的余弦值的最大值是．
秒杀秘籍：立体几何折叠的向量定理
折痕的向量积不变性：折痕a与任意向量x的数量积不会随着x的变化而改变，参考例6和例7，请读
者自己证明。