导数极限定理

导数极限定理

-

1

第01讲导数极限论之基本功概述（1）

【题型1两个及其重要不等式】

1.（1）当xR时，求证：ex1x；

（2）当x1时，求证：

ln1xx

；

2.（2018全国1文）已知函数

fxaexlnx1

．

（1）设x2是

fx的极值点．求a，并求

fx的单调区间；

（2）证明：当a

1

，

fx0

．

e

2

3

4

5

6

3.

（2013全国2理）已知函数

fxexlnxm．

（1）设x0是函数

fx的极值点，求m，并讨论

fx的单调性；

（2）当m2时，证明：

fx0

．

4.已知函数

fxxex

lnx

．

x

（1）求证：函数

fx有唯一零点；（分参）

（2）若

x0,，xexlnx1ax恒成立，求a的取值范围．

7

【题型2含ex不等式升阶理论】

5.

（1）当xR时，求证：exex；

（2）当x0时，求证：exx2；

x

e2

2

（3）当x0时，求证：e

x；

x

x

43

（4）当x0时，求证：e；

33

6.

（2014年福建高考）已知函数

fxexax

的图像与y轴交于点A，曲线

yfx在

点A点处的切线的斜率为1，

（1）求a的值；

（2）证明当x0时，x2ex；

（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x，使得当

xx,，恒有x2cex；

00

8

x

【题型3含lnx不等式降阶理论】

7.

（1）当x0时，求证：lnx

x

；

e

（2）当x0时，求证：lnxx；

（3）当x0时，求证：lnx2；

（4）当x0时，求证：lnx33x；

8.

已知函数

fx



x2

xm

（m0）

（1）若存在x0使

fxxlnxm，求实数m的取值范围；

（2）证明：存在实数x

0

，当xx

0

时，

fx2lnx

；

9

【题型4含ex不等式反向理论】

9.（1）当x0时，求证：ex

1

（2）当x1时，求证：ex

x

1

；

1

e

x

（3）当x2时，求证：ex

；

2x

10.（2016年全国乙卷）已知函数

（1）求a的取值范围；

fxx2exax12有两个零点，（其中a0）



10

【题型5含lnx不等式反向理论】

11.（1）当x0时，求证：lnx

1

；

x

1

（2）当x0时，求证：lnx

2x2

；

（3）当x0时，求证：lnx

1

；



1

x

2

12.已知函数fxax

1

a1lnx，若

1

a1，判断函数

yfxa1

的零点个数；

xe

11



第02讲导数极限论之基本功概述（2）

【题型6泰勒中值定理的理论】

x

x21.（1）当x0时，求证：e1x；

2

x2

（2）当x0时，求证：

ln1xx

；

x32

（3）已知x0，求证：sinxx；

x

62

（4）已知x0，求证：cosx1.

2

2.（1）（2015北京）已知函数

fxln

1x

1x

，求证：当x0,1时，fx2



x





x3





；



（2）（2016全国）证明当x0时，x2exx20

．

（3）已知x0，求证：ln

ex1

x



x

.

2

3

12

2

x

3.已知函数fxxlnx与

gx3

2

的图像在点1,1处有相同的切线，

x

（1）若函数

y2xn与

yfx的图像有两个交点，求实数n的取值范围；

（2）设函数

Hxfxlnex1，

x0,m，求证：Hx

m

.

4.已知函数

fx





lnxa

x

（1）若a1，证明：函数

fx是0,上的减函数；

（2）若曲线yfx在1,f1处的切线与直线xy0平行，求a的值；

（3）当x0时，求证：

lnx1

x



ex1

.

13

5.

已知函数

fxeax1lnx1

（1）若函数

fx在区间1,内单调递增，求a的取值范围；

（2）当0a1，且x0，求证：fx2ax（fxflnx1）

【题型7洛必达法则端点效应恒成立问题理论】

x

x2

6.

（2011长春模拟）已知函数

fxe

ax1，

2

（1）当a0时,求曲线yfx在0,f0处的切线方程；

（2）当x0时，若关于x的不等式

fx0

恒成立，求实数a的取值范围.

14

7.

（2010新课标全国理21）设函数

fxex1xax2

（1）若a0，求

fx的单调区间；

（2）对x0，

fx0

恒成立，求a的取值范围.

【题型7对数均值不等式与指数均值不等式】

8.（1）若a0，b0，且ab，求证：



ab



ab

；（对数平均不等式）

abe

lnaa





eblnb

eae

2b

（2）若a0，b0，且ab，求证：e2

ab

.（指数平均不等式）

2

ab

15

0

9.（2011年辽宁理科21）已知函数

fxlnxax22ax

．

（1）讨论函数

fx的单调性；

（2）设a0，证明：0x

1

时，f



1

x



f



1

x



；

a



a

a





（3）若函数

yfx的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x

0

，

证明：

f'x0

.

10.（2018全国1）已知函数

fx

1

xalnx

．

x

（1）讨论

fx的单调性；

（2）若

fx存在两个极值点

x

，

x

，证明：

fx

1

fx

2



a2．

x

1

x

2

12

16

11.（自编）已知函数

fx



1ax2

ex

（a0）

（1）讨论

fx的单调性；

（2）若fx存在两个极值点x，x，记

gx

x

，证明：

gx

1

gx

2





e

.

12fx

x

1

x

2

2a

17

x

bex1

第03讲利用导数证明函数不等式

1.（2014新课标1理21）设函数fxaelnx，曲线yfx在点1,f1处的

x

切线为

yex12

，

（1）求a,b；【答案：a1，b2】

（2）证明：

fx1

.

2.

已知函数

fxlnx

a

（a0）

x

（1）若函数

fx有零点，求实数a的取值范围；

（2）证明：当

a

2

，b1时，

flnb

1

.

eb

18

3.

设函数

fxaexxlnx

，

（1）若

fx是0,上的增函数，求a的取值范围；

（2）若a

2

，证明：

fx0

.

e2

4.已知

fxexax2，曲线yfx在1,f1处的切线方程为ybx1．

（1）求a，b的值；a1，be2

（2）求fx在0,1上的最大值；

（3）证明：当x0时，

ex1exxlnx10

．

19

x

5.

已知函数

fxexalnxa

，其中常数

a0

（1）当ae时，求函数

fx的极值；

（2）若函数

yfx有两个零点x,x（0xx），求证：

1

x

1x

a；

1212

（3）求证：e2x2ex1lnxx0.

a12

6.已知函数fx

lnxk

，曲线yfx在点1,f1处的切线与x轴平行，

e

（1）求k的值；

（2）求

fx的单调区间；

（3）记gxx2xf

x，证明：对任意x0，

gx1e2.

20

7.已知函数fxexlnx2k，曲线yfx在点1,f1处的切线与y轴垂直。

（1）求函数

fx的单调区间；

（2）设

gx



1xlnx1

ex

，对任意

x0

，证明：x1gxexex2.

8.已知函数

fxlnx1bx2a1

，gxbx21ex

1

xa，(

a,bR

）且

fx

在点1,f1处的切线方程为y

1

2

1

（1）求实数

a,b

的值；a1，b

2

（2）若x0，求证：

fxgx.

b

xln2，

21

9.已知函数fx

alnx

，若曲线fx在点e,fe处的切线与直线e2xye0垂

x

直，

（1）若

fx在m,m1上存在极值，求实数m的取值范围；a1

（2）求证：当x1时，

fx





2ex1；

e1x1x

2

exe

x1

ex1



（3）求证：当x1时，fxxex1

x1

.

10.

已知函数

fxxlnxa

（1）若

fx不存在极值点，求a的取值范围；

（2）若a0，证明：fxexsinx1.

22

11.

已知函数

fxxexalnxx，

（1）若函数

fx恒有两个零点，求a的取值范围；

（2）对任意x0，恒有不等式

fx1

；

①求实数a的值；a1

②证明：

x2exx2lnx2sinx

.

23

第04讲导数中的恒成立问题求参

1.函数

fxlnx

1

x2ax

，

gxex

3

x2

22

（1）讨论

fx的极值点的个数；

（2）若对于任意x0总有

fxgx，

①求实数a的取值范围；（分参）

②求证：对于任意x0，

exx2e1x

e

2

成立.

x

2.

已知函数

fxaxlnx1

（1）讨论函数

fx的零点；.

（2）对任意的x0，

fxxe2x恒成立，求实数a的取值范围.

24

3.

（2017年全国文1）已知函数fxexexaa2x.

（1）讨论

fx的单调性；

（2）若

fx0

，求a的取值范围.（不分参）

4.（2013年全国理1）

设函数

fxx2axb,gxexcxd．若曲线

yfx和曲线

ygx都过点

P0,2，且在点P处有相同的切线y4x2．

（1）求a,b,c,d的值；

（2）若x2时，

fxkgx，求k的取值范围．（不分参）

25

5.（2016全国2文）已知函数

fxx1lnxax1．

（1）当a4时，求曲线yfx在1,f1处的切线方程；

（2）若当

x1,时，

fx0

，求a的取值范围．

6.（2010全国卷2理）设函数fx1ex．

（1）证明：当x1时，

fx



x

x

；

x1

（2）设当x0时，

fx



ax1

，求a的取值范围．

26

7.已知函数

fxex1mlnxx

（

x0

）

（1）当m0

时，求

fx的极值；

fx

（2）当x(1,)时，恒有

x

mlnx，求实数m的取值范围.

8.

已知函数f(x)

alnxbex

x

(a,bR,a0,e为自然对数的底数)

（1）若曲线fx在点e,fe处的切线斜率为0，且fx有最小值，求实数a的取

值范围；

（2）当a1,b1时，若不等式

xfxemx1在区间1,内恒成立，求实数

m的最大值.

27

9.

已知函数

fxexsinx

．

（1）求函数

fx的单调区间；

（2）当x



0,

π



，

fxkx

，求k的取值范围．





2













































10.（2008年全国卷2理）设函数

fx



（1）求

fx的单调区间；

sinx

．

2cosx

（2）如果对所有x0，都有

fxax

，求a的取值范围．

28

211.

已知

fxcosx

x

1

2

（1）求证：x0，

fx0

；

（2）若不等式eaxsinxcosx2对任意的x0恒成立，求实数a的取值范围.

29

第05讲利用导数研究函数的零点

1.（2016北京文）设函数

fxx3ax2bxc

（1）求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；

（2）设ab4，若函数

fx有三个不同零点，求c的取值范围；

（3）求证：a23b0是

fx有三个不同零点的必要而不充分条件.

2.（2014年全国2文）已知函数f(x)x33x2ax2，曲线

yfx在点0,2处的切

线与x轴交点的横坐标为2；

（1）求a；

（2）证明：当k1时，曲线

yfx与直线ykx2只有一个交点.

30

3

3.（2018全国2文）已知函数fx

1

x3ax2x1．

（1）若a3，求

fx的单调区间；

（2）证明：

fx只有一个零点．

4.已知函数

fx



1

a



ex，其中a0，



x





（1）求函数

fx的零点；

（2）讨论

yfx在区间,0上的单调性；

（3）

fx在区间



,

a



上是否存在最小值？若存在，求出此值．若不存在，说明



2







理由．

31

5.

已知函数

fxexax2bx1

．

（1）设gx是函数fx的导函数，求函数gx在区间0,1上的最小值；

（2）若

f10

，函数

fx在区间0,1内有零点，求a的取值范围．

6.已知函数

fxex2alnxa．

（1）若

a0

，且函数fx在区间0,内单调递增，求实数

a

的取值范围；

（2）若0a

2

，试判断函数

fx的零点个数．

3

32

7.已知函数

fxex2

．

（1）证明：当x0时，

fxx1lnx

；

（2）设m为整数，函数

gxfxlnxm

有两个零点，求m的最小值．

8.

已知函数

fxaxsinx

3

且在



0,

π



上的最大值为

3

．

2

（1）求函数

fx的解析式；





2





2

（2）判断函数

fx在0,内的零点个数，并加以证明．

33

9.

已知函数fxaexcosxxsinx，且曲线在点0,f0处的切线与xy0平行，

（1）求a的值；

（2）当x





π

,

π



时，试探究函数

fx的零点个数，并说明理由.





22

























































10.（2015年全国1理）已知函数

fxx3ax

1

，gxlnx．

4

（1）当a为何值时，x轴为曲线

yfx的切线；

（2）用minm,n表示m,n中的最小值，设函数hxminfx,gxx0，讨论

hx零点的个数．

34

11.已知关于x的函数

fx

axa

（a0）

ex

（1）当a1时，求函数

fx的极值；

（2）若函数

Fxfx1

没有零点，求实数a取值范围.

35

第06讲导数中的函数隐零点萃取

1.（1）讨论函数

fxexax

的零点个数；

（2）讨论函数

fxlnxax

的零点个数.

2.已知函数

fxxexax22ax

（1）若曲线yfx在点0,f0处的切线方程为3xy0，求a的值；

（2）当

1

a0，讨论函数

fx的零点个数.

2

36

3.（2018全国2）已知函数

fxexax2．

（1）若a1，证明：当x0时，

fx1

；

（2）若

fx在0,只有一个零点，求a.

4.已知函数

fx

x

ex

ax1.

（1）当

a1

时，求yfx在x1,1上的值域；

（2）试求

fx的零点个数，并证明你的结论.

37

5.（2017年全国乙卷）已知函数

fxae2xa2exx

，

（1）讨论

fx的单调性；

（2）若

fx有两个零点，求a的取值范围.

6.已知函数

fxx2a2xalnx2a2

，其中a2．

（1）求函数

fx的单调区间；

（2）若函数

fx在0,2上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

38

x

x

x

2

7.（2015年朝阳区高三第一次综合练习）已知函数

fxalnxa1x

，

2

（1）当a1时，求函数

fx的最小值；

（2）当a1时，讨论函数

fx的零点．

2

8.已知函数

fxln1mxmx

，其中（m0）

23

（1）当m1时，求证：1x0时，

fx



3

（2）讨论函数

yfx的零点个数.

39

9.设函数

fxlnx1ax2x1

，

gxx1exax2，

（1）当a1，求函数fx在2,f2处的切线方程；

（2）若函数

gx有两个零点，求a的取值范围；

（3）证明：

fxgx.

10.已知函数

fxexa

，

gxlnxa，

（1）若

fxgx恒成立，求a的取值范围；

（2）当a1，设

hxfxgxx2，讨论

hx在0,上的零点个数.

40

11.

已知函数

fxlnxexaa

，

（1）当a0时，求证：

fx2

（2）若函数

fx有两个零点，求实数a的取值范围.

41

第07讲导数中的函数隐零点代换

1.（2015年全国卷1）设函数

fxe2xalnx

；

（1）讨论

fx的导函数

f

x零点的个数；

（2）证明：当a0时，

fx2aaln

2

.

a

2.

fxlnx1ax3bx，gxxexb，且fx在点e,fe处的切线方程为

y



1

1



x



e





（1）求a，b的值；a1，b1

（2）求证：

fxgx.

42

（1）求

yfx的最大值；

（2）当a



0,

1



时，函数ygx,x0,e有最小值．记gx的最小值为ha，求

函数的值域

ha．





e







3.（2016年全国卷2）

（1）讨论函数

fx

x2

ex的单调性，并证明当x0时，x2exx20；

x2

（2）证明：当a0,1时，函数gx



为

ha，求函数

ha的值域．

exaxa

x2

x0有最小值．设

gx的最小值

4.已知函数

fx

lnx

，gxx



lnx

ax

1



．

x



2





43



5.设函数fx2xexmx22x,m



0,

1



.



（1）若m

1

，求曲线

yfx在点



2

处的切线方程；

0,f0

4

（2）若函数gxfx4ex4m2mx，记函数gx在0,上的最小值为A，

求证：2eA2.

6.设函数

fxx

2

a



lnx

1



，aR.

x



x2





（1）讨论

fx的单调性；

（2）当a0时，记

fx的最小值为

ga，证明：

ga1

.

44

e

7.（2012全国文21）设函数

fxexax2

．

（1）求

fx的单调区间；

（2）若a1，k为整数，且当x0时，xkf

xx10

，求k的最大值．

8.已知函数

fxlnx

，

hxax

.

（1）函数

fx与

hx的图象无公共点，试求实数

a

的取值范围；

（2）是否存在实数m，使得对任意的x



1

,



，都有函数

yfx

m

的图象在

ex



2



x



gx

的图象的下方？若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说理由.

x

（参考数据：ln20.6931，,ln31.0986,1.6487，3e1.3956）.

45

9.

已知函数

fxx2ex

a

x2．

2

（1）函数

fx的图象能否与x轴相切？若能与x轴相切，求实数a的值；否则，请说

明理由；

（2）若函数

yfx2x

在R上单调递增，求实数a能取到的最大整数值．

10.已知函数

fxaex

a1

2a1a0．

x

（1）当a1时，求fx在点1,f1处的切线方程；

（2）若对于任意的

x0,，恒有

fx0

成立，求a的取值范围．

46

第08讲导数中的函数隐零点估值

1.（2017年全国甲卷）已知函数

fxax2axxlnx

，且fx0

（1）求a；

（2）证明：fx存在唯一的极大值点

x

0

，且

e2fx

022.

2.

已知函数

fxexax22x

．

（1）求函数

fx图象恒过的定点坐标；

（2）若

f

xax1

恒成立，求a的值；

（3）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：fx存在唯一的极小值点

x

，且

2fx

1

．

004

47

3.已知函数

fxex1a

，gxaxlnx，

（1）若曲线

yfx与直线yx相切，求a的值；

（2）在（1）条件下，证明：

fxgx1

；

（3）若函数

fx与函数

gx的图像有且仅有一个公共点

Px

0

,y

0，求证：x

0

2.

4.已知函数

fxlnx1ax2a0.

（1）讨论

fx的单调性；

（2）若

fx在区间1,0内有唯一的零点x

0

，证明：

e2x

0

1e1.

48

5.已知函数

fxax2axxex，a1

（1）若曲线fx在点0,f0处的切线方程为yx，求a的值；

（2）证明：当x0时，函数

fx存在唯一的极小值为x，且

1

x

0.

020

6.设函数

fx2x33a1x26ax8

，

（1）讨论函数

fx的单调性；

（2）设f

x是函数fx的导函数，当a2时，

gx

1

f

xxlnx

，证明：函数gx

6

有唯一的极小值点x

0

，且

4gx

00

，参考数值ln20.6931

49

x12

7.已知函数

fxalnx,a0．

6x

（1）若fx在区间0,3内单调递减，求

a

的取值范围；

（2）若fx在0,内有且只有一个零点

x

0

，记x

0表示不超过

x

0

的最大整数，求

x

0的值．

8.

已知函数

fx



3

3xexa

x

x0．

（1）当a时，判断函数

fx的单调性；

4

（2）当

fx有两个极值点时，

①求a的取值范围；

②若

fx的极大值小于整数m，求m的最小值．

50

2

9.已知函数

fxexlnxm，（其中

e2.71828

）

（1）若

fx在x0的切线与直线x2y1平行，求

m

的值；

（2）若

fx0

恒成立，求证：me.

10.（2014年全国卷II）

已知函数

fxexex2x

．

（1）讨论

fx的单调性；

（2）设

gxf2x4bfx，当x0时，

gx0

，求b的最大值；

（3）已知1.41421.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．