斜边直角边定理
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2023年2月28日发(作者：14画的字有哪些).
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直角三角形斜边中线定理的逆命题
其逆命题1：如果一个三角形一条边的中线
等于这条边的一半，那么这个三角形是直角
三角形，且这条边为直角三角形的斜边。
逆命题1是正确的。以该条边的中点为圆心，
以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直
径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角
为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所
以逆命题1成立。
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原命题2：如果CD是直角三角形ABC斜边
AB上的中线，那么它等于AB的一半。
逆命题2：如果线段BD的一端B是直角三
角形ABC的顶点，另一端D在斜边AC上，
且BD等于AC的一半，那么BD是斜边AC
的中线。
逆命题2是不成立的。举一个反例。设直角
三角形三边长分别为AB=3，BC=4，AC=5。
斜边的一半长为2.5,斜边上的高BE=（3*4）
/5=2.4,在线段AE上上必能找到一点D，使
BD=2.5，但BD并不是AC边的中线，因为
AC边的中点在线段EC上。
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逆命题3：若直角三角形斜边上一点与直角
顶点的连线等于该点分斜边所得两条线段
中任意一条时，该点为斜边中点。
几何描述：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D
是斜边AB上一点。若CD=AD或CD=BD，
则D是AB中点。
逆命题3成立，CD=AD则∠A=∠ACD，而∠
A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°，因此∠
BCD=∠B。等角对等边，有CD=DB，所以
AD=BD，即D是斜边中点。
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证明：
逆定理1
如果一个三角形一边上的中线等于这边的
一半，那么这个三角形是直角三角形，且该
边是斜边。
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几何语言：在△ABC中，AD是中线，且
BC=2AD,则∠BAC=90°。
证法1
延长AD到E，使DE=AD,连接BE,CE
∵BD=CD，AE=2AD=BC
∴四边形ABEC是矩形（∵对角线互相平分且
相等）
∴∠BAC=90°
证法2
∵AD=BD=CD
∴A,B,C在以D为圆心，BD为半径的圆上
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那么BC是直径，根据圆周角定理的推论，
直径所对的圆周角是直角。
∴∠BAC=90°
证法3
过D作DE⊥AB,垂足为E。
∵AD=BC/2=BD
∴E是AB中点（三线合一）
∴DE∥AC（三角形中位线定理）
∴AC⊥AB,即∠BAC=90°
证法4
向量证明
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设向量AD=d，向量AB=c，向量AC=b，向
量BC=a
∵AD是中线
∴b+c=2d
两边平方，去括号得
|b|²+2b·c+|c|²=4|d|²
又∵|a|=2|d|
∴|a|²=4|d|²=|b|²+2b·c+|c|²~~~①
而a=b-c
两边平方，去括号得
|a|²=|b|²-2b·c+|c|²~~~②
联立①和②解得b·c=0
∴b⊥c，即∠BAC=90°
证法5
解析几何证明
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以D为原点，BC所在直线为x轴建立直角
坐标系。设B（-d，0），C（d，0），A（a，
b），其中d>0且b≠0
∵|AD|=|CD|
∴d=根号a²＋b²，既d²=a²＋b²
kAB=b/（a+d），kAC=b/（a-d）
kAB·kAC=b²/（a²-d²）=b²/（-b²）=-1
∴AB⊥AC,即∠BAC=90°
注意a≠d，若a=d则表示A和C的横坐标
相同，即AC⊥x轴，这样就有了Rt∠ACB。
而直角边BC边上的中线AD是不可能等于
直角边BC的一半的。∴a≠d，AC斜率存在。
逆定理2
如果直角三角形斜边上一点与直角顶点的
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连线与该点分斜边所得两条线段中任意一
条相等，那么该点为斜边中点。
几何语言：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D
在AB上，且AD=CD（或BD=CD），则
AD=BD。
下面只证明当AD=CD时的情况，BD=CD
只需要改字母即可。
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证法1
在Rt△ABC中，∠ACB=90°
∵AD=CD
∴∠A=∠ACD（等边对等角）
∵∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余），∠
ACD+∠BCD=∠ACB=90°
∴∠B=∠BCD（等角的余角相等）
∴BD=CD（等角对等边）
∴AD=BD（等量代换）
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证法2
作DE⊥AC，垂足为E
∵AD=CD
∴E是AC中点（三线合一）
∵BC⊥AC
∴DE∥BC
∴D是AB中点（三角形中位线定理逆定理，
或平行线等分线段定理的推论）
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证法3
延长CD到E，使DE=CD，连接AE
则AD=CD=CE/2
由逆定理1可知∠CAE=90°
∵∠ACB=90°
∴AE∥BC
∴∠AED=∠BCD
∵∠ADE=∠BDC，DE=CD
∴△ADE≌△BDC（ASA）
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∴AD=BD
证法4
解析几何证明：
以C为原点，CB、CA为坐标轴建系，设B
（b,0）、A（0,a）
又设AD/DB=t，t>0，由定比分点坐标公式
得
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∵|CD|=|AD|
由两点间距离公式，有
整理得
∴1=t²，t=1
即AD=DB