参数法
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2023年2月28日发(作者：好的生活习惯)-1-
初中数学竞赛专题选讲(初三.23)
参数法证平几
一、内容提要
1.联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数.
2.有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，
我们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算.
二、例题
例1如图已知：AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，
CD⊥AB于D，⊙N与⊙O内切且与AB、CD分
别切于E，F.
求证：AC=AE.
分析：选取两圆半径为参数，通过半径联系AC，AE的关系.
证明：设⊙O，⊙N半径分别为R和r，连接ON，NE.
根据勾股定理：
OE=22)-(Rrr
=rR2-R2，AE=OA＋OE＝R+rR2-R2；
OD=OE－r=rR2-R2－r，AD=OA＋OD＝R+rR2-R2－r
根据射影定理AC2=AD×AB=(R+rR2-R2－r)×2R
=2R2+2RrR2-R2－2Rr
=R2+2RrR2-R2+(R2－2Rr)
=(R+rR2-R2)2
∴AC=R+rR2-R2.
∴AC=AE
例2.已知：△ABC的内切圆I和边AB，BC，CA分别切于D，E，F，
AC×BC＝2AD×DB.
求证：∠C＝Rt∠.
证明：设AD＝x,则DB＝c－x.
代入AC×BC＝2AD×DB.
A
B
C
N
D
E
O
F
x
b
a
C
C
B
A
I
D
E
F
-2-
得ab=2x(c－x).
2x2－2cx+ab=0.
∴x=
4
222abcc
=
2
22abcc
,
又根据切线长定理得x＝
2
abc
，
∴
2
22abcc
＝
2
abc
.
c2－2ab=a2－2ab+b2.
∴c2=a2+b2.
∴∠C＝Rt∠.
例3.已知：等边三角形ABC中，P是中位线DE上一点，BP，CP的延长线分别交AC
于F，交AB于G.
求证：
BC
3
CF
1
BG
1
＝＋
.
证明：设△ABC边长为a,PD＝m,PE=n,BG=x,CF=y.
∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝
2
1
BC.
∴
)2(
2
)1(
2
y
a
y
a
n
x
a
x
a
m
（1）＋（2）：
y
a
y
x
a
x
a
nm
22
.
∴
y
a
x
a
2
1
2
1
2
1
，
2
3
)
11
(
2
yx
a
，
∴
ayx
311
.
∴
BC
3
CF
1
BG
1
＝＋
.
m
n
P
A
B
C
D
E
F
G
-3-
例4.已知：如图四边形ABCD中，过点B的直线交AC于M，交CD于N，且
CD
CN
AC
AM
＝
S△ABC
∶S△ABD
∶S△BCD
＝1∶3∶4.
求证：M，N平分AC和CD.
证明：设S△ABC
＝1，则S△ABD
＝3，S△BCD
＝4，S△ACD
＝3＋4－1＝6.
设
CD
CN
AC
AM
＝＝k(0 根据高相等的三角形面积的比等于底的比，得 k＝＝ △ △ CD CN S S ACD ACN，∴S△ACN ＝6k； k S ＝＝ △ △ AC AM S ACN AMN,∴S△AMN ＝6k×k＝6k2； k＝＝ △ △ CD CN S S BCD BCN,∴S△BCN ＝4k； k＝＝ △ △ AC AM S S ABC ABM,∴S△ABM ＝k；S△BMC ＝1－k. ∵S△ACN －S△AMN ＝S△MNC ＝S△BCN －S△BMC ∴6k－6k2=4k－(1－k). 6k2－k－1=0. ∴k= 2 1 ；或k= 3 1 .(k= 3 1 .不合题意，舍去.) ∴ CD CN AC AM ＝ ＝k= 2 1 . ∴AM＝MC，CN＝ND. 即M，N平分AC和CD. 例5.已知：如图△ABC中，AD是高，AB＋DC＝AC＋BD. 求证：AB＝AC. 证明：设AB＝c，AC＝b,BD=m,DC=n. 根据勾股定理 得 . 2222 mbnc mcnb； j M A B C D N j M A B C D N n m b c A B C D -4- . ))(())(( nbmc mcmcnbnb； .mncb mcnb； .cbmn bcmn； ∴c－b=b－c，b=c.即AB＝AC. 例6.如图已知：一条直线截△ABC三边AB，BC，AC或延长线于D，E，F. 求证：1 FA CF EC BE DB AD ＝（曼奈拉斯定理） 证明：设∠BDE＝α，∠DEB＝β，∠F＝γ. 根据正弦定理： 在△BDE中， Sin DB in S BE Sin Sin DB BE ； 在△CEF中， Sin EC Sin CF Sin Sin EC CF ； 在△ADF中， )180( Sin FA Sin AD )180( Sin Sin FA AD . ∵Sin(180)=Sinα. ∴ ＝ FA AD EC CF DB BE . Sin Sin × Sin Sin ×1 )180( ＝ Sin Sin . 即 1 FA CF EC BE DB AD ＝ . 三、练习 1.已知：如图三条弦AB，CD，EF两两相交于G，H，I. IA＝GD＝HE，IC＝GF＝HB. 求证：△GHI是等边三角形. 2.已知：在矩形ABCD中，AP⊥BD于P，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F. 求证：PA3＝PE×PF×BD 3.已知：△ABC的两条高AD，BE相交于H， 求证：过A，B，H三点的圆与过A，C，H三点的圆是等圆. 4.已知：AB是⊙O的直径，P是半圆上的一点，PC⊥AB于C，以PC为半径的⊙P β γ β α E A B C F D I G H A E F B C D -5- 交⊙O于D，E.求证：DE平分PC. 5.已知：△ABC的两条高AD和BE相交于P，且AD＝BC，F是BC的中点. 求证：PD＋PF＝ 2 1 BC 6.已知：平行四边形ABCD中，∠A＜∠B，AC2×BD2＝AB4＋AD4. 求证：∠A＝ 3 1 ∠B. 7.求证：四边形内切圆的圆心，它到一组对角的顶点的距离的平方的比，等于该组 角的两边的乘积的比. 8.已知：AB是⊙O的直径，E是半圆上的一点，过点E作⊙O的切线和过A，B的 ⊙O的两条切线分别相交于D，C，四边形ABCD的对角线AC，BD交于F，EF的延 长线交AB于H.求证：EF=FH. 9.已知：如图⊙M和⊙N相交于A，B，公共弦AB的延长线交两条外公切线于P， Q.求证：PA=QB；PQ2=AB2+CD2. 10.已知：正方形ABCD内一点P，满足等式 PA∶PB∶PC＝1∶2∶3. 求证：∠APB＝135. 11.一个直角三角形斜边为c,内切圆半径是r,求内切圆面积与直角三角形面积的比. （提示：引入参数a和b表示两直角边） B A MN F E Q C P D -6- 参考答案 1.引入参数α，设∠DBC＝α，PA2＝PB×PD＝ Cos PF inS PE … 2.设∠ABH＝∠ACH＝α，用AH∶Sinα表示两圆的半径. 3.设DF＝m,FE=n,PF=x,FC=y,⊙P的半径为r,由相交弦定理，得 mn=x(y+r)=y(x+r) 6.设AB＝a,AD=b,AC=p,D=q(q 4422 2222)(2 baqp baqp CosA= ab qba 2 222 ……= 2 2 ，∠A＝45度. 7.设AB=a,BC==c,DA=d,OA=x,OC=y，OD=u,OB=v, yv xu b d ＝ △ △ BOC AOD S S ，同理 yu xv c b 8.设EF=x,FH=y,DA=DE=a,CB=CE=b,可证EF∥BC ba a b x ， ab b a y 9.设PA＝PC＝PD＝x，QB＝QE＝QF＝y,AB=a，CD＝EF 由切割线定理可知x=y, PQ2=(2x+a)2=4x2+4xa+a2=4x(x+a)+a2 =4PA×PB+AB2=4PC2+AB2=42 2 CD ）（ +AB2=AB2+CD2 11. rc r