倍角公式推导过程
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2023年2月28日发(作者：模切工艺)word完美格式
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三角函数倍角公式
复习重点:二倍角公式
二倍角的正弦公式：
sin2A＝2sinAcosA
二倍角的余弦公式：
cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A
二倍角的正切公式：
tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
对公式的再认识：
(1)适用范围：二倍角的正切公式有限制条件：
A≠kπ＋
2
且A≠
k
2
＋
4
(k∈Z)；
(2)公式特征：二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之特例；
二倍角关系是相对的。
(3)公式的灵活运用：正用、逆用、变形用。
复习难点:倍角公式的应用
复习内容:
小结：
倍角公式：
sin2A＝2sinAcosA
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cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A
tan2A＝
2
2tanA
1tanA－
化“1”公式（升幂公式）
1＋sin2A＝(sinA＋cosA)2，
1－sin2A＝(sinA－cosA)2
1＋cos2A＝2cos2A
1－cos2A＝2sin2A
降幂公式
cos2A＝
1cos2A
2
＋
sin2A＝
1cos2A
2
－
二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:
由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三
角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形
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式应根据题目具体而定.
倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.
推导过程中可得到一组降次公式，即，
进一步得到半角公式:
降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角
变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，
而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦
表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这
个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα,
cosα,tanα，即:
，，这组公式叫做
“万能”公式.
教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可
根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.
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例1．推导三倍角的正弦、余弦公式
解:sin3α=sin(2α+α)
cos3α=cos(2α+α)
例2．利用三倍角公式推导sin18°的值.
解:∵sin36°=cos54°,∴
2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°
∵cos18°≠0∴2sin18°=4cos218°-3∴
2sin18°=4-4sin218°-3
∴4sin218°+2sin18°-1=0
∴.本题还可根据二倍角公式推出
cos36°.
即.
例3．化简求值:(1)csc10°-sec10°(2)
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tan20°+cot20°-2sec50°
解:(1)csc10°-sec10°
(2)tan20°+cot20°-2sec50°
例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°
解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°
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例5．已知:.求:cos4θ+sin4θ的值.
解:∵,
∴,即，
即，∴cos4θ+sin4θ
例6．求cos36°·cos72°的值.
解:cos36°·cos72°
例7．求:的值.
解:
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上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能
采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足（1）余弦相乘，
（2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和
（或差）是π.满足这三个条件即可采用这种方法.
例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求.
方法一:∵2cosθ=1+sinθ，∴
∴或，∴,
∴,∴或=2.
方法二:∵2cosθ=1+sinθ，∴,
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∴,
∴或,∴或
=2.
例9．已知:，求:tanα的值.
解:∵，∴
，
∵0≤α≤π,∴,∴
(1)当时,，
则有,∴，∴
，∴，
∴.
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(2)当，则有
，
∴，∴，∴.
注意:1与sinα在一起时，1往往被看作，而1与
cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉.
例10．已知:sinθ,sinα,cosθ为等差数列;sinθ,sinβ,
cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β.
证明:∵，∴
∴4sin2α=1+2sin2β∴2-4sin2α=2-1-2sin2β∴
2cos2α=cos2β.
课后练习:
1．若，
则（）.
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A、PQB、PQC、P=QD、P∩Q=
2．若A为ΔABC的内角，，则cos2A=（）.
A、B、C、D、
3．若，则sin2θ=（）.
A、B、C、D、
4．若，则sinθ=（）.
A、B、C、D、-
5．若，则=（）.
A、B、C、1D、-1
6．若，则cosα=________.
7.若θ为第二象限角，且，则
=_____.8．已知sinA+cosA=2sinB.求证:cos2B=cos2.
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参考答案
1.C2.B3.C4.C5.B6.7.6