极限的运算法则

极限的运算法则

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2023年2月28日发(作者：病毒的增殖方式)

吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号1

复习旧课：1．无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系

导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限

2．3极限的运算法则

2．3．1极限的性质

定理1：（唯一性）如果极限)(limxf存在，则它只有一个极限。即若

Axf)(lim，Bxf)(lim，则BA

定理2：（有界性）若极限)(lim

0

xf

xx

存在，则函数)(xf在

0

x的某一空心邻

域内有界

定理3：（局部保号性）如果Axf

xx





)(lim

0

，并且

0A

（或

0A

），则

在

0

x的某一空心邻域内，有0)(xf（或0)(xf）。

推论若在

0

x的某一空心邻域内有0)(xf（或0)(xf），且

Axf

xx





)(lim

0

，则

0A

（或

0A

）。

2．3．2极限的运算法则

定理1：设Axf)(lim,Bxg)(lim,则

(1))]()(lim[xgxf=BAxgxf)(lim)(lim

(2)BAxgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[

若Cxg)(.(常数),则CAxfCxCf)(lim)](lim[

(3))0(

)(lim

)(lim

)(

)(

limB

B

A

xg

xf

xg

xf

证明因为Axf)(lim,Bxg)(lim，利用2。2定理，它们可以分别写为:

)(xf=)(xA,)()(xBxg

其中)(),(xx均为无穷小量，则有：

(1))(xf+)(xg=A+B+[)()(xx]

讲述

我们先介绍极限的运算

法则

证明从略。

以上性质只对

0

xx

的情况加以叙述，其它

的形式也有类似的结

果。

吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号2

由2．2定理知)()(xx仍为无穷小量,所以)(xf+)(xg以A+B为极限.

即)]()(lim[xgxf=BAxgxf)(lim)(lim.

容易证明：)()(lim

0

0

xPxP

xx





)(

)(

)(

)(

lim

0

0

0xQ

xP

xQ

xP

xx





例1求

)53(lim2

2





xx

x

解

)53(lim2

2





xx

x

＝15

例2求

5

32

lim

3

2

1



xx

xx

x

解

5

32

lim

3

2

1



xx

xx

x

＝

5

6

例3求

1

1

lim

1



x

x

x

解因为

1

1

lim

1



x

x

x

＝0根据无穷大于无穷小的关系

所以有

1

1

lim

1



x

x

x

＝

注意：求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。

例4求

1

1

lim

2

1



x

x

x

解

1

1

lim

2

1



x

x

x

＝

1

)1)(1(

lim

1



x

xx

x

＝

2)1(lim

1





x

x

例5

127

9

lim

2

2

3



xx

x

x

解

127

9

lim

2

2

3



xx

x

x

＝

)4)(3(

)3)(3(

lim

3



xx

xx

x

＝

6

4

3

lim

3







x

x

x

设)(xP为多项式

当

0

xx时，

0)(

0

xQ

因为)(xf为多项

式，所以极限值等于在

0

x处的函数值

因为)(xf为两个多项

式商的极限，且在x=1

处分母的极限不为零，

所以极限值等于函数

值。

在x=-1处，分母为零，

不能直接计算极限。

在x=-1处，分母为零，

不能直接计算极限。

“

0

0

”型，先设法

约去非零因子。

吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号3

例6求

1

3

lim

3

3





x

xx

x

解

1

3

lim

3

3





x

xx

x

＝

3

1

1

1

3

lim

3

2









x

x

x

结论：





































.,

,,0

,0,,

lim

0

0

0

1

10

1

10

nm

nm

bnm

b

a

bxbxb

axaxa

n

nn

m

mm

x

当

当

当





例7求)

1

2

1

1

(lim

2

1



x

xx

解)

1

2

1

1

(lim

2

1



x

xx

＝

1

21

lim

2

1



x

x

x

＝

2

1

小结：1．极限运算法则

2．求极限方法

1）设)(xP为多项式，则)()(lim

0

0

xPxP

xx





。

2）)(xP、)(xQ均为多项式，且0)(

0

xQ，则

)(

)(

)(

)(

lim

0

0

0xQ

xP

xQ

xP

xx





3）若0)(,0)(Axgxf，则

)(

)(

lim

xf

xg

4）若

)(

)(

lim

xf

xg

为“

0

0

”型时，用因式分解找出“零因子”。

5）结论：



































.,

,,0

,0,,

lim

0

0

0

1

10

1

10

nm

nm

bnm

b

a

bxbxb

axaxa

n

nn

m

mm

x









当

当

当

“





”型，用无穷小

量分出法，即分子、分

母同时除以x的最高次

幂。

先通分，再计算。

吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号4

6）若)(,0)(xfx有界，则0)()(limxfx

7）若)]()(lim[xgxf为“”型时，一般是通分或有理化后再处

理。

2．4两个重要极限

2．4．1判别极限存在的两个准则

准则1（夹逼定理）设函数)(),(),(xhxgxf在

0

x的某一邻域),(

0

xU内满足

)()()(xhxfxg

且有极限Axhxg

xxxx





)(lim)(lim

00

，则有Axf

xx





)(lim

0

准则2如果数列

n

x单调有界，则

n

x

x



lim一定存在。

2．4．2两个重要极限

1．极限1

sin

lim

0



x

x

x

例8计算

x

x

x

tan

lim

0

解

x

x

x

tan

lim

0

＝

x

x

x

sin

lim

0

·

xcos

1

=

x

x

x

sin

lim

0

·

xxcos

1

lim

0

=1

例9计算

2

0

cos1

lim

x

x

x





解

2

0

cos1

lim

x

x

x





＝

2

2

0

2

sin2

lim

x

x

x

＝

2

0

2

2

sin

2

1

lim

























x

x

x

＝

2

1

2

2

sin

lim

2

1

2

0

2





























x

x

x

例10计算

x

x

x3

5sin

lim

0

一般

1

sin

lim

0



U

U

U

证明略

例8、例9结果可作

为公式使用。

2

sin21cos2

x

x

1

2

cos22

x

可证得此结论。

吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号5

解

x

x

x3

5sin

lim

0

＝

3

5

3

5

5

5sin

lim

0



x

x

x

结论：



1

)(

)(sin

lim

0)(



xf

xf

xf

例11计算

x

xx

x

sin3sin

lim

0





解

x

xx

x

sin3sin

lim

0





＝2

sin

lim2coslim2

sin2cos2

lim

000



x

x

x

x

xx

xxx

例12求

x

x

xtan

sin

lim

0

解

x

x

xtan

sin

lim

0

＝



)

tan

sin

(lim

0x

x

x

x

x

1)

tan

1sin

(lim

0





x

x

x

x

x

例13求

x

x

xtan

sin

lim



解错误做法：

x

x

xtan

sin

lim



＝



)

tan

sin

(lim

x

x

x

x

x

1

正确做法：

x

x

xtan

sin

lim



＝





)tan(

)sin(

lim

0t

t

t



1

tan

sin

lim

0





t

t

t

2．极限

e

x

x

x





)

1

1(lim

例14计算2)

1

1(lim

x

xx





解2)

1

1(lim

x

xx





＝2

1

2

1

])

1

1(lim[e

x

x

x





例15计算x

x

x

1

0

)21(lim



解x

x

x

1

0

)21(lim



＝

2

2

2

1

0

)21(limexx

x







例16计算

x

xx

)

5

1(lim



和差化积公式

练习：

2

0

3coscos

lim

x

xx

x





＝4

因为当x时，

1

sin

lim





x

一般

e

U

U

U





)

1

1(lim

eUU

U





1

0

)1(lim

x

xx

)

2

1(lim



＝e2

吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号6

解＝x

xx

)

5

1(lim



＝

)5(

5)]

5

(1[lim









x

xx

＝55

5])

5

1(lim[





e

x

x

x

例17计算x

xx

x

)

3

2

(lim







解x

xx

x

)

3

2

(lim







＝x

xx

)

3

1

1(lim







＝33)

3

1

1(lim



x

xx

＝







3)

3

1

1(limx

xx

ee

xx









1)

3

1

1(lim3

例18计算

x

x

x

)1ln(

lim

0





解

x

x

x

)1ln(

lim

0





＝)1ln(

1

lim

0

x

xx





＝x

x

x

1

0

)1ln(lim



＝1ln)1(limln

1

0





exx

x

例19

x

ex

x

1

lim

0





解令00),1ln(1uxuxeux时，当则

所以

x

ex

x

1

lim

0





＝1

)1ln(

lim

0



u

u

u＋

小结：⒈

1

sin

lim

0



x

x

x



1

)(

)(sin

lim

0)(



xf

xf

xf

；

x

x

x

tan

lim

0

＝1；

2

0

cos1

lim

x

x

x





＝

2

1

⒉

e

x

x

x





)

1

1(lim

；exx

x





1

0

)1(lim

x

x

x

)1ln(

lim

0





＝1；

x

ex

x

1

lim

0





＝1

作业P27——1（3）（6），P31——1（1）（6）（9）——2（1）（3）

例18，例19视情况选讲