等腰三角形定义

等腰三角形定义

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2023年2月27日发(作者：nationalday)

等腰三角形知识点

知识总结归纳：

（－）等腰三角形的性质

1.有关定理及其推论

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上

的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴

的轴对称图形；

2.定理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明

两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证

明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定

1.有关的定理及其推论

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2.定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中

角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

3.等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条

线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底

边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需

要作高或中线，这要视具体情况来定。

例1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂

足为M。求证：M是BE的中点。

A

D

1

BMCE

例2.如图，已知：

ABC

中，

ACAB

，D是BC上一点，且

CADCDBAD，

，求

BAC

的度数。

A

BC

D

说明：1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形

性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。

2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。

3.此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。

例3.已知：如图，

ABC

中，

ABCDACAB，

于D。求证：

DCB2BAC

。

A

12

D

BC

E

3

说明：1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边

的高是一条常用的辅助线；

2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系

也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出

DCB

的等角等。

牛刀小试

1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，

则图中的等腰三角形有（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

A

36°

ED

F

BC

A

EF

BDC

2.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。求证：

AE＝AF。

3.如图，ABC中，100AACAB，，BD平分ABC。

求证：

BCBDAD

。

A

D

1

B2

EFC

A

DE

1

B2

FC

3

4

5

6

3.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）

A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不对

4.如图，

ABC

是等边三角形，BCBD90CBD，，则

1

的度数是________。

C

A

1

D

B

2

3

5.

ABC

中，120AACAB，，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：BC

2

1

DE。

6、在ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为040，则底角∠B＝.

7、如果一个三角形是轴对称图形且有一个0120的角，那么这个三角形的另两个角的度数为。

8、如果一个三角形（等腰）一边长为4cm，周长为10cm，那么另外两边长为。

9、如图：BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN//BC，AB＝12，BC＝24，AC＝18，则AMN的周长为。

A

MON

CB

10、若等腰三角形的一个外角为100，则这个底角为。

11、如果等腰三角形的一个内角是75，那么它的另外两角的度数是。

12、如图在ABC中，D是AC上一点，AB＝DB＝DC，若∠C＝25，则∠ABD的度数是。

13、如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于度。

14、如图∠1＝∠2，AB＝AC，AE＝AD。求证：BD＝CE。

15、已知等腰三角形一腰上的中线将其周长分为15cm和12cm两部分，求这个三角形各边的长。

16、在等边ABC中，,

3

1

,

3

1

ACCEBCBD求证：DE⊥AC.

测试题二

1．在△ABC中，AB=AC，若∠B=56º，则∠C=__________．

2．若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．

3．若等腰三角形的两边长分别为xcm和（2x－6）cm，且周长为17cm，则第三边的长为________．

4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，若∠CAD=25°，则∠

ABE=，若BC=6，则CD=．

5．△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D．E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形

有______个

6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________．

7．如图，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB到D，使BD=AB，延长BC到E，使CE=CA，连接AD．AE，则

∠DAE=_______．

E

D

CB

A

8

．如下图，△

MNP

中，∠

P=60

°，

MN=NP

，

MQ

⊥

PN

，垂足为

Q

，延长

MN

至

G

，取

NG=NQ

，若△

MNP

的周长

为

12

，

MQ=a

，则△

MGQ

周长是．

E

DC

B

A

P

Q

M

N

G

9．△ABC中，∠C=∠B，D．E分别是AB．AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=______

10．如图，∠AOB是一个钢架且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些

钢管EF，FG，GH，„，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根．

11．如图△ABC中，AB=AC，AD、BE是△ABC的高，它们相交于H，且AE=BE．

求证：AH=2BD．

12．△ABC为非等腰三角形，分别以AB、AC为向△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，

且∠DAB=∠EAC=90°．

求证：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD．

13．如图，点D、

E

在

ABC

的边

BC

上，

ABAC

，

ADAE

．

求证：

BDCE

14．如图，

ABAC

，30BAD，且

ADAE

．求

EDC

的度数．

15.如图，

ABC

中，90ACB，

CDBA

于

D

，

AE

平分

BAC

交

CD

于

F

，交

BC

于

E

，求证：

CEF

是等腰三角形．

16．Rt

ABC

中，

ABAC

，90BAC，

O

为

AB

中点，若点

M

．

N

分

别在线段

AB

．

AC

上移动，且在移动过程中保持

ANBM

，试判断

OMN

的

形状，并证明你的结论．