双曲线图像
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2023年2月27日发(作者：医疗咨询网站)一个十分重要的函数的图象与性质应用
新课标高一数学在“基本不等式ab
ba
2
”一节课中已经隐含了
函数
x
xy
1
的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个
重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础
比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习
x
b
axy
（ab≠0）的图象、性质与应用．
2．1定理：函数
x
b
axy（ab≠0）表示的图象是以y=ax和
x=0（y轴）的直线为渐近线的双曲线．
首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax的值与
x
b
的值比较，
当x很大很大的时候，
x
b
的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是
ax的值；当x的值很小很小，几乎为0的时候，ax的值几乎可以忽
略不计，起决定作用的是
x
b
的值．从而，函数
x
b
axy（ab≠0）表
示的图象是以y=ax和x=0（y轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们
可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称．
由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲
线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明
这一结论．
例1．若函数
x
xy
32
3
3
是双曲线，
求实半轴a，虚半轴b，半焦距c，渐近线
及其焦点，并验证双曲线的定义．
分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是xy
3
3
和
x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x就是实轴
了，得出顶点为A（3，3），A1（-3，-3）；∴a=OA=32,由
渐近线与实轴的夹角是30º，则有
a
b
=tan30º,得b=2,
c=22ba=4,∴F1(2,32)F2(-2,-32)．为了验证函数的图
象是双曲线，在曲线上任意取一点P（x,
x
x
32
3
3
）满足
34
21
PFPF即可；
34)32
32
3
2
()32
32
3
2
(
)32
32
3
()2()32
32
3
()2(2222
21
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xPFPF
所以，函数
x
xy
32
3
3
表示的曲线是双曲线．
（在许多地方，老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”，其
实很不准确的．）
2．2五种表现形式
表现1：函数
x
b
axy（a>0,b>0）的双曲线大概图象如下：
渐近线含双曲线部分的夹角是
锐角，在
a
b
,(和),
a
b
上函数
分别是单调递增的，在
0,
a
b
和
a
b
,0上函数分别是单调递减的；
在x=
a
b
处有极大值，在x=
a
b
处
有极小值；值域是
,22,abab．
表现2：函数
x
b
axy（a<0,b<0）的双曲线大概图象如下：
渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在
a
b
,(和),
a
b
上函数分别是单调递减的，
在
0,
a
b
和
a
b
,0上函数分别是单调递增的；
在x=
a
b
处有极小值，在x=
a
b
处有极大值；
值域是,22,abab．
表现3：函数
x
b
axy（a>0,b<0）
的双曲线大概图象如右：
此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵
2x
b
ay
>0，所以，
函数在)0,(和),0(上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上
的值域都是R．
表现4：函数
x
b
axy（a0）的双曲线图象如右：
此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，
∵
2x
b
ay
<0，所以，函数在)0,(和),0(
上函数分别是单调递减的，每一个单调区间
上的值域是R．
特别，后面两个函数的单调性很“单纯”，
在解题时候要引起重视，在高考中也多次应
用，注意总结．
表现5：函数
x
b
y(x≠0)是等轴双曲线，以x轴、y轴为
渐近线，在两个区间)0,(和),0(上函数分别是单调递减的．这个
学生在初中就应该掌握了的函数
2、3应用举例与重点推广
这个函数最大有用处就是它的单调性，因此往往是利用的它
在某个区间上的单调性来求函数的值域，或比较大小，或求最值等．
例2．已知x>y>0,xy=1,求
yx
yx
22
的最小值及此时x、y的值
解：∵x>y>0，∴x-y>0,又xy=1，
∴
yx
yx
22
=22
2
)(
2)(2
yx
yx
yx
xyyx
；
解混合式
yx
yx
xy
yx
2
1
0
得：
2
26
2
26
y
x
所以当：
2
26
2
26
y
x
时候，
yx
yx
22
取得最小值为22．
例3．求y=
2
101122
x
xx
(x≥0)
解：令x+2=t则x=t-2代入得3
4
2
t
ty由x≥0得t≥2,
而3
4
2
t
ty在,2上是减函数的，所以y≤-5,值域为5,
例11．已知2)(aaxxf
（1）若a＞0，求()fx的单调区间
（2）若当0,1x时，恒有()fx＜0，求实数a的取值范围
解：()2fxxxa=
ax
aa
x
ax
aa
x
,2
4
)
2
(
,2
4
)
2
(
2
2
2
2
当a＞0时，()fx的单调递增区间为(,)(,)
2
a
a和，单调递减区间为
,
2
a
a
．
（2）（i）当0x时，显然()fx＜0成立，此时，aR
（ii）当0,1x时，由()fx＜0，可得
2
x
x
＜a＜
2
+x
x
，
令
22
(),(0,1);()(0,1)gxxxhxxx
xx
则1
2
2
()1gx
x
＞0，∴()gx在要求区间内是单调递增，可知
max
()(1)1gxg
1
2
2
()1hx
x
＜0，∴()hx在要求区间内是单调递减，可知
min
()(1)3hxh
此时a的范围是（—1，3）
综合i、ii得：a的范围是（—1，3）
从上面几个例子可以看出，形如
nmx
cbxax
y
2
或
cbxax
nmx
y
2
（m≠0,a≠0）函数值域不但可以用二次方程的△判别式来求，也可
以用这个双曲线函数的单调性来求，尤其对于自变量不是自然的定义
域，而是某个限制的范围时候，更要利用这个函数的单调性来解决了．
重点推广：到此我们来看看函数
bax
dcx
y
（ad≠bc，a≠0）究
竟是什么样的图象与性质呢
它可以通过变形化为
)(
)(
a
b
xa
a
bcad
a
b
xc
y
，继续化为
2
))((
a
bcad
a
b
x
a
c
y
，因此，函数
bax
dcx
y
（ad≠bc，a≠0）的图象是可以从
2a
bcad
xy
的图象通过平移而来的，从而
bax
dcx
y
（ad≠bc，a≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是
a
b
x，
a
c
y的两条直线，在),(
a
b
和),(
a
b
两个区间上都具有相同的单调
性，
2a
bcad
>0时都是单调递减，
2a
bcad
<0时都是单调递增．这个函
数与函数
x
b
axy（a>0,b>0）要与一次函数、二次函数、幂函数、
指数函数、对数函数、三角函数一样，作为高三复习时候的基本函数，
要熟练理解和应用，．
例4．已知正项数列
n
a满足a1=a(0
n
n
a
a
1
,
求证
an
a
a
n)1(1
分析：本题有别的证法，这里就用数学归纳法结合上面函数的单
调性思想来处理；
i）n=1时a1=a，符合求证结论
ii设n=k时
ak
a
a
k)1(1
结论成立
y
a
b
x
a
c
y
则n=k+1时候，ak+1≤
k
k
a
a
1
,而
ak
a
a
k)1(1
，因此，考虑函数
f(x)=
x
x
1
=1-
x1
1
在区间)1,(和区间),1(都是递增函数，
（0，1）),1(，所以f(x)=
x
x
1
在0，1）也是递增函数，从
而，ak+1≤
k
k
a
a
1ak
a
ak
a
ak
a
)11(1
)1(1
1
)1(1
，所以n=k+1时,不等
式也成立．
综上所述，
an
a
a
n)1(1
对任意n是正的自然数都成立．
这样，
bax
dcx
y
（ad≠bc，a≠0）的图象也是等轴双曲线，渐
近线是
a
b
x，
a
c
y的两条直线，在),(
a
b
和),(
a
b
两个区间上
都具有相同的单调性的应用要得到巩固，它是函数
x
b
axy（ab≠0）
的图象、性质的知识系统的重要组成部分．