三角形的中位线定理
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2023年2月27日发(作者：三邦电影)备课偶得——
三角形中位线定理的再证明
王贵林皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学241313
三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。
关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。笔者在备课中发现它的证法
有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。
已知：如图1，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，求证：DE∥BC
且
证法一、（构造法）如图2，延长DE到F，使EF=DE，连结AF、CF、
DC
∵E为AC中点∴AE=CE∵EF=DE∴四边形ADCF
为平行四边形∴CFAD∵D为AB中点∴AD=BD
∴BDCF∴四边形DBCF为平行四边形
∴DFBC∴DE=EF∴DE∥BC且
证法二、（构造法）如图3，过CF作CF∥AB交DE的延长线于F，则
∠A=∠ACF∵E为AC中点∴AE=CF
∴△ADE≌△CFE（ASA）∴CF=AD∵D为AB中点
∴AD=BD∴CF=BD∵CF∥BD∴CFBD
∴四边形DBCF为平行四边形∴DFBC∴△ADE≌△CFE
∴DE=EF∴DE∥BC且
证法三、（同一法）如图4，过D作DE′∥BC，交AC于E′，过E′
作E′F∥AB，交BC于F，则
∠B=∠ADE′=∠E′FC，∠AE′D=∠C四边形DBFE′是平行四边
形∴E′F=BD∵D为AB中点∴AD=BD∴E′
F=AD∴△ADE′≌△E′FC（AAS）∴AE′=CE′即E′为AC中
点∵E为AC中点
∴E与E′重合即DE∥BC，△ADE≌△EFC，四边形DBFE为平行四边
形∴DE=CFDE=BF
即∴DE∥BC且
图1
BC
A
D
E
图2
BC
A
DE
F
图3
BC
A
DE
F
C
图4
B
A
D
E
F
E′
图5
BC
A
D
E
1
2
DEBC
1
2
DEBC
1
2
DEBC
1
2
DEBC
1
2
DEBC
证法四、（相似法）如图5，
∵D、E分别为AB、AC中点∴∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC∴∠ADE=∠B
∴DE∥BC且
证法五、（旋转拼图法）如图6，以AC的中点E为中心，将
△ABC绕点E旋转180°得△ACF，取CF中点G，连结EG、DG，
则四边形ABCF为平行四边形
∴AFBC∵D、G分别为AB、CF的中点∴AD
FG∴四边形ADGF为平行四边形
∴DGAFBC∵CF∥AB∴∠DAE=∠GCE
∴△ADE≌△CGE（SAS）
∴∠AED=∠CEG∴D、E、G在一条直线上∴DE∥BC∵△ADE≌△CGE
∴DE=EG∴∴DE∥BC且
证法六、（面积法）如图7，取BC中点F，连结AF、EF，分别过A、
E作
AH⊥BC，EG⊥BC，垂足分别为H、G，过D作DM⊥BC于M，则
∴∵F为BC
中点∴
同理∴DMEG∴四边形DMGE为矩形
∴DE∥BC同理EF∥AB∴四边形DBFE为平行四边形
∴DE=BF∵∴DE∥BC且
证法七、（解析法）如图8，以点B为坐标原点，建立如图所示平面
直角坐标系，不妨设A（a，b）C（c，0）（c＞0）则，D（），E（）
则DE∥x轴，DE=∵BC=c∴DE∥BC且
证法八、（三角法）如图9，取BC中点F，连结EF，设AB=2c，AC=2b
BC=2a，∠A=α则AD=c，AE=b，在△ADE中，
在△ABC中，
图6
B
C
A
D
E
F
G
HG
图7
BC
FM
A
DE
y
xO（B）C
A
DE
图8
1
2
ADAE
ABAC
1
2
DEAD
BCAB
1
2
DEBC
1
2
DEBC
1
2
DEBC
,
ABFACFAEFCEF
SSSS
1
4CEFABC
SS
1
2
CFBC
111
242
CFEGBCAH
1
2
DMAH
1
2
BFCFBC
1
2
DEBC
1
2
EGAH
,
22
ab
,
22
acb
222
acac
1
2
DEBC
22
2222cos2cosADAEAbc
cb
DEADAE
22
22
22cos2(2)(2)cos
(2)(2)
ABACAcb
cb
BCAC
AB
∴∴BC=2DE∵F为BC的中点
∴DE=BF同理EF=BD∴四边形DBFE为平行四边形
∴DE∥BF即DE∥BC且
图9
BC
A
DE
F
224(2cos)bc
cb
2
24
BC
DE
1
2
DEBC