行列式乘法
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2023年2月27日发(作者：饮料瓶设计)第三讲：矩阵的乘法运算及逆运算
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一、矩阵的乘法运算
矩阵的乘法运算是矩阵的一种重要运算，这种运算的定义是从大量的实际模
型中抽象出来的。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵执有
当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义。一个m×n的矩阵a（m,n)
左乘一个n×p的矩阵b（n,p)，会得到一个m×p的矩阵c（m,p)，满足
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律
A
121
381
001
B
121
022
001
E
100
010
001
→
100
310
001
E*
3
则A*E*
3
=B
求证既求
121
381
001
×
100
310
001
=
121
022
001
=B
例
21
12
×
13
24
=
21
12
×
1
2
×
21
12
×
3
4
=
02
35
A
m
行B
n
列则C
mn
行列
A
m
=B
n
它的行与第一行的矩阵相同，列与第二个矩阵的列相同
二、矩阵的逆
逆矩阵：设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：
AB=BA=E。则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。
13
27
ac
bd
=
10
01
解1：
13
27
a
b
=
10
01
！
解1：
13
27
c
d
=
0
1
解方程：
a+3b=1
2a+7b=0
c+3d=0
2c+7d=1
写出增广矩阵Ab
131
270
→
107
012
2
Ab
130
270
→
103
011
a,b,c,d得
ac
bd
=
73
21
解2（A，b
1
，b
2
）=
1310
2701
=
1073
0121
A1=
73
21
（A，E）行变换
（E，A-1）
问：什么样的A可逆
1矩阵不可逆
2必须为方阵形矩阵
3A为降秩不可逆
注：秩是阶梯型矩阵中的非零行行数
A为满秩则为秩二阶
例A
13
26
→
13
00
所以R（A）＝1≠2A不可逆
A
123
479
321
→
123
0-1-3
004
三阶非零行R（A）=3所以A可逆
一个矩阵如果可逆一定可以化为与它同阶的单位矩阵
A～EAA～E(A相当于E)
三、逆矩阵的求法:
A^(-1)=(1/|A|)×A*，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵，其中|A|为矩阵A的行列式
A*为矩阵A的伴随矩阵。
逆矩阵的另外一种常用的求法：
(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。
注意：初等变化只用行（列）运算，不能用列（行）运算。E为单位矩阵。
一般计算中，或者判断中还会遇到以下11种情况来判断逆矩阵：
1、秩等于行数
2、行列式不为0
3、行向量(或列向量)是线性无关组
4、存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵
5、作为线性方程组的系数有唯一解
6、满秩
7、可以经过初等行变换化为单位矩阵
8、伴随矩阵可逆
9、可以表示成初等矩阵的乘积
10、它的转置可逆
11、它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变