全国二卷数学

全国二卷数学

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2023年2月27日发(作者：轰趴什么意思)

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学1-2卷

本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部,共24题，共150分，共4页。考试

完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。

考前须知：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条

形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔

书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；

在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用墨色笔迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮

纸刀。

第一卷

一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一

项为哪一项符合题目要求的.

〔1〕在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m的取值范围

是

〔A〕)1,3(〔B〕)3,1(〔C〕),1(〔D〕

〔2〕集合，，那么

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

〔3〕向量，且，那么m=

〔A〕－8〔B〕－6〔C〕6〔D〕8

〔4〕圆的圆心到直线的间隔为1，那么a=

〔A〕

3

4

〔B〕

4

3

〔C〕3〔D〕2

〔5〕如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年

公寓参加志愿者活动，那么小明到老年公寓可以选择的最短途径条数为

〔A〕24〔B〕18〔C〕12〔D〕9

〔6〕右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，那么该几何体的外表积为

〔A〕20π〔B〕24π〔C〕28π〔D〕32π

〔7〕假设将函数y=2sin2x的图像向左平移

12



个单位长度，那么平移后图象的对称轴为

〔A〕x=

62

k

(kZ)〔B〕x=

62





k

(kZ)

〔C〕x=

122

k

(kZ)〔D〕x=

122

k

(kZ)

〔8〕中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框

图，假设输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，那么输出的s=

〔A〕7〔B〕12〔C〕17〔D〕34

〔9〕假设cos(4

π

–α)=5

3

，那么sin2α=

〔A〕

25

7

〔B〕

5

1

〔C〕

5

1

〔D〕

25

7



〔10〕从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，

，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，那么用随机模拟的方

法得到的圆周率的近似值为

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

〔11〕F

1

，F

2

是双曲线E的左，右焦点，点M在E上，MF

1

与轴垂直，

sin,那么E的离心率为

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2

〔12〕函数))((Rxxf满足)(2)(xfxf,假设函数

x

x

y

1

与)(xfy图像的交

点为)(

1,1

yx,),(

22

yx···，〔

mm

yx,〕，那么



m

i

ii

yx

1

)(

〔A〕0〔B〕m〔C〕2m〔D〕4m

第II卷

本卷包括必考题和选考题两局部。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题

考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每题5分。

〔13〕△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设cosA=，cosC=，a=1，那

么b=.

〔14〕α、β是两个平面，m、n是两条直线，有以下四个命题：

〔1〕假如m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

〔2〕假如m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

〔3〕假如α∥β，mα，那么m∥β.

〔4〕假如m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有。(填写所有正确命题的编号〕

〔15〕有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，

甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上一样的数字不是2〞，乙看了丙的卡片后说：“我与

丙的卡片上一样的数字不是1〞，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5〞，那么甲的卡片上

的数字是。

〔16〕假设直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln〔x+1〕的切线，那么

b=。

三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.

〔17〕〔此题总分值12分〕

S

n

为等差数列的前n项和，且

1

a=1，

7

S=28记，其中表示不

超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1。

〔I〕求

1

b，

11

b，

101

b；

〔II〕求数列的前1000项和.

〔18〕〔此题总分值12分〕

某险种的根本保费为a〔单位：元〕，继续购置该险种的投保人称为续保人，续保人的

本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出

险次数

01234

5

保费aaaaa2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出

险次数

01234

5

概率0.05

〔I〕求一续保人本年度的保费高于根本保费的概率；

〔II〕假设一续保人本年度的保费高于根本保费，求其保费比根本保费高出60%的概率；

〔III〕求续保人本年度的平均保费与根本保费的比值.

〔19〕〔本小题总分值12分〕

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，

AE=CF=，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置，.

〔I〕证明：平面ABCD；

〔II〕求二面角的正弦值.

〔20〕〔本小题总分值12分〕

椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M

两点，点N在E上，MA⊥NA.

〔I〕当t=4，时，求△AMN的面积；

〔II〕当时，求k的取值范围.

〔21〕〔本小题总分值12分〕

(I)讨论函数的单调性，并证明当>0时，

(II)证明：当时，函数有最小值.设g〔x〕的最小

值为，求函数的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,假如多做,那么按所做的第一题计分,做答时请写清

题号

〔22〕〔本小题总分值10分〕选修4-1：集合证明选讲

如图，在正方形ABCD，E,G分别在边DA,DC上〔不与端点重合〕，且DE=DG，过D点

作DF⊥CE，垂足为F.

(I)证明：B,C,G,F四点共圆；

(II)假设AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

〔23〕〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，圆C的方程为〔x+6〕2+y2=25.

〔I〕以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

costx

〔II〕直线l的参数方程是〔t为参数〕,l与C交于A、B两点，

sinty

∣AB∣=10，求l的斜率。

〔24〕〔本小题总分值10分〕，选修4—5：不等式选讲

函数f(x)=∣x-

2

1

∣+∣x+

2

1

∣，M为不等式f(x)＜2的解集.

〔I〕求M；

〔II〕证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学答案

第一卷

一.选择题：

〔1〕【答案】A

〔2〕【答案】C

〔3〕【答案】D

〔4〕【答案】A

〔5〕【答案】B

〔6〕【答案】C

〔7〕【答案】B

〔8〕【答案】C

〔9〕【答案】D

〔10〕【答案】C

〔11〕【答案】A

〔12〕【答案】C

第二卷

二、填空题

(13)【答案】

(14)【答案】②③④

〔15〕【答案】1和3

〔16〕【答案】

17.〔此题总分值12分〕

【答案】〔Ⅰ〕，，；〔Ⅱ〕1893.

【解析】

试题分析：〔Ⅰ〕先求公差、通项，再根据条件求；〔Ⅱ〕用分段函数表示，

再由等差数列的前项和公式求数列的前1000项和．

试题解析：〔Ⅰ〕设的公差为，据有，解得

所以的通项公式为

〔Ⅱ〕因为

所以数列的前项和为

考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.

【完毕】

18.〔此题总分值12分〕

【答案】〔Ⅰ〕根据互斥事件的概率公式求解；〔Ⅱ〕由条件概率公式求解；〔Ⅲ〕记续保人

本年度的保费为，求的分布列为，在根据期望公式求解..

【解析】

试题分析：

试题解析：〔Ⅰ〕设表示事件：“一续保人本年度的保费高于根本保费〞，那么事件发

生当且仅当一年内出险次数大于1，故

〔Ⅱ〕设表示事件：“一续保人本年度的保费比根本保费高出〞，那么事件发生当

且仅当一年内出险次数大于3，故

又，故

因此所求概率为

〔Ⅲ〕记续保人本年度的保费为，那么的分布列为

因此续保人本年度的平均保费与根本保费的比值为

考点：条件概率，随机变量的分布列、期望.

【完毕】

19.〔本小题总分值12分〕

【答案】〔Ⅰ〕详见解析；〔Ⅱ〕.

【解析】

试题分析：〔Ⅰ〕证，再证，最后证；〔Ⅱ〕用

向量法求解.

试题解析：〔I〕由得，，又由得，故.

因此，从而.由,得.

由得.所以，.

于是，，

故.

又，而，

所以.

〔II〕如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

那么，，，，，，

，.设是平面的法向量，那么

，即，所以可以取.设是平面

的法向量，那么，即，所以可以取.于

是，.因此二面角

的正弦值是.

考点：线面垂直的断定、二面角.

【完毕】

20.〔本小题总分值12分〕

【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.

【解析】

试题分析：〔Ⅰ〕先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；〔Ⅱ〕

设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表

示，同理用表示，再由求.

试题解析：〔I〕设，那么由题意知，当时，的方程为，

.

由及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.

将代入得.解得或，所以.

因此的面积.

〔II〕由题意，，.

将直线的方程代入得

.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得，

由得，即.

当时上式不成立，

因此.等价于，

即.由此得，或，解得.

因此的取值范围是.

考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

【完毕】

〔21〕〔本小题总分值12分〕

【答案】〔Ⅰ〕详见解析；〔Ⅱ〕.

【解析】

试题分析：〔Ⅰ〕先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证

明结论；〔Ⅱ〕用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求

解.

试题解析：〔Ⅰ〕的定义域为.

且仅当时，，所以在单调递增，

因此当时，

所以

〔II〕

由〔I〕知，单调递增，对任意

因此，存在唯一使得即，

当时，单调递减；

当时，单调递增.

因此在处获得最小值，最小值为

于是，由单调递增

所以，由得

因为单调递增，对任意存在唯一的

使得所以的值域是

综上，当时，有，的值域是

考点：函数的单调性、极值与最值.

【完毕】

请考生在22、23、24题中任选一题作答,假如多做,那么按所做的第一题计分,做答时请写

清题号

〔22〕〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲

【答案】〔Ⅰ〕详见解析；〔Ⅱ〕.

【解析】

试题分析：〔Ⅰ〕证再证四点共圆；〔Ⅱ〕证明

四边形的面积是面积的2倍.

试题解析：〔I〕因为,所以

那么有

所以由此可得

由此所以四点共圆.

〔II〕由四点共圆，知，连结，

由为斜边的中点，知,故

因此四边形的面积是面积的2倍，即

考点：三角形相似、全等，四点共圆

【完毕】

〔23〕〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程

【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.

【解析】

试题分析：〔I〕利用，可得C的极坐标方程；〔II〕先将直线的参

数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得的斜率．

试题解析：〔I〕由可得的极坐标方程

〔II〕在〔I〕中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为

由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

由得，

所以的斜率为或.

考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的间隔公式.

【完毕】

〔24〕〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲

【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕详见解析.

【解析】

试题分析：〔I〕先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即

可得；〔II〕采用平方作差法，再进展因式分解，进而可证当，时，．

试题解析：〔I〕

当时，由得解得；

当时，；

当时，由得解得.

所以的解集.

〔II〕由〔I〕知，当时，，从而

，

因此

考点：绝对值不等式，不等式的证明.

【完毕】