高中不等式

高中不等式

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2023年2月27日发(作者：金属离子)

《不等式》知识点

一、不等式及其解法：

1．一元二次不等式：化标准式（即二次项系数为正）“大于取两边，小于取中间”

如：解不等式（1）0322xx；（2）0122xx

解：（1）原不等式等价于0)1)(3(xx，方程0)1)(3(xx的根为3，1

故解集为13xx.

（2）原不等式等价于0122xx，方程0122xx的根为21，21，

故解集为2121xxx或

.

2．高次不等式：“穿根法”.化标准式（即每一项的x系数为都为正）穿根

（从右上方出发，依次穿过每个根，如遇“重根”，奇穿偶回）

如：解不等式（1）0)1)(1(xxx；（2）0

3

)1)(2(







x

xx

；（3）

0

)2)(1(

)1(2







xx

x

解：（1）解集为101xxx或；（2）解集为312xxx或；（3）解集为]1,2[

3．分式不等式：移项通分.

如：解不等式1

2



x

.解：移项后01

2



x

，通分后0

2





x

x

，化标准式为0

2





x

x

，故解集为20xxx或

4．绝对值不等式：ax)0(a的解集为axax；ax)0(a的解集为axaxx或

二、1．重要不等式：

),(222Rbaabba,当且仅当ba时，等号成立

变形：

2

22ba

ab



应用：22ba为定值时，求ab的最大值.

2．基本不等式：)0,0(

2





ba

ba

ab当且仅当ba时，等号成立

变形一：abba2应用：ab为定值时，求ba的最小值.

变形二：2)

2

(

ba

ab



应用：ba为定值时，求ab的最大值.

注：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等.

三、线性规划问题

1.能画出二元一次不等式组表示的平面区域.

2.相关概念：约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解.

3.目标函数常见类型：

（1）求线性目标函数ByAxz的最值时，先令0z，画出直线l：0ByAx，

①若0B，则l向上平移，z变大，向下平移，z变小；②若0B，则l向上平移，z变小，向下平移，z变大

（2）“斜率型”目标函数

ax

by

z





，z表示可行域内动点),(yx与定点),(ba连线的斜率.

（3）“距离型”目标函数22222))()(()()(byaxbyaxz，z表示可行域内动点),(yx到定点),(ba

的距离的平方.

1

•

•

•

0

1

2

•

•

1



3

1

1

2

••

•