二项式公式

二项式公式

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2023年2月27日发(作者：cod单位)

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二项式定理知识点总结

1．二项式定理公式：

011()()nnnrnrrnn

nnnn

abCaCabCabCbnN，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()nab的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r

n

C(0,1,2,,)rn.

③项数：共(1)r项，是关于a与b的齐次多项式

④通项：展开式中的第1r项rnrr

n

Cab叫做二项式展开式的通项。用

1

rnrr

rn

TCab





表示。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n项。

②顺序：注意正确选择

a

,b,其顺序不能更改。()nab与()nba是不同的。

③指数：

a

的指数从

n

逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到

n

，是升幂排列。

各项的次数和等于

n

.

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rn

nnnnn

CCCCC

项的系数是

a

与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令1,,abx0122(1)()nrrnn

nnnnn

xCCxCxCxCxnN

精选

令1,,abx0122(1)(1)()nrrnnn

nnnnn

xCCxCxCxCxnN

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

0,n

nn

CC·1kk

nn

CC

②二项式系数和：令1ab,则二项式系数的和为0122rnn

nnnnn

CCCCC，

变形式1221rnn

nnnn

CCCC。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令1,1ab，则0123(1)(11)0nnn

nnnnn

CCCCC，

从而得到：024213211

1

22

2

rrnn

nnnnnnn

CCCCCCC

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

012

210

0123

0123

()

()

1,(1)

1,(1)

nnnnnnn

nnnnn

nnnnnnn

nnnnn

n

n

n

n

axCaxCaxCaxCaxaaxaxax

xaCaxCaxCaxCaxaxaxaxa

xaaaaaa

xaaaaaa













024

135

(1)(1)

,()

2

(1)(1)

,()

2

nn

n

nn

n

aa

aaaa

aa

aaaa











⑤二项式系数的最大项：

如果二项式的幂指数

n

是偶数时，则中间一项的二项式系数2

1

2

n

nn

CT



取得最大值。

精选

如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数

1

2

1

2

n

nn

TC





,

1

2

1

2

n

nn

CT





同时取

得最大值,且。

⑥系数的最大项：

求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

为

121

,,,

n

AAA



，设第1r项系数最大，应有1

12

rr

rr

AA

AA















，从而解出r来。

2

1

2

1



n

n

n

n

CC