二阶行列式的计算方法
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2023年2月26日发(作者：秘书论文)计算n阶行列式的若干方法举例
n阶行列式的计算方法很多,除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一
行展开②完全展开式）外,更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特
点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍
几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算
例1计算行列式
0010
0200
1000
000
n
D
n
n
解D
n
中不为零的项用一般形式表示为
112211
!
nnnnn
aaaan
.
该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于
(1)(2)
2
nn
，故
(1)(2)
2(1)!.
nn
n
Dn
2．利用行列式的性质计算
例2一个n阶行列式
nij
Da
的元素满足
,,1,2,,,
ijji
aaijn
则称D
n
为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式为零.
证明：由
ijji
aa
知
iiii
aa，即
0,1,2,,
ii
ain
故行列式D
n
可表示为
12131
12232
13233
123
0
0
0
0
n
n
nn
nnn
aaa
aaa
Daaa
aaa
由行列式的性质AA
12131
12232
13233
123
0
0
0
0
n
n
nn
nnn
aaa
aaa
Daaa
aaa
12131
12232
13233
123
0
0
(1)0
0
n
n
n
n
nnn
aaa
aaa
aaa
aaa
(1)n
n
D
当n为奇数时,得D
n
=－D
n
，因而得D
n
=0。
3．化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形,其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3计算n阶行列式
abbb
babb
D
bbab
bbba
解:这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，
n列都加到第1列上，行列式不变，得
(1)
(1)
(1)
(1)
anbbbb
anbabb
D
anbbab
anbbba
1
1
[(1)]
1
1
bbb
abb
anb
bab
bba
1
000
[(1)]
000
000
bbb
ab
anb
ab
ab
1[(1)]()nanbab
4．降阶法
降阶法是按某一行（或一列）展开行列式,这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯
定理，这样可以降低多阶,为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式
中有较多的零出现,然后再展开.
例4计算n阶行列式
0001
0000
0000
0000
1000
n
a
a
a
D
a
a
解将D
n
按第1行展开
1
000000
000000
(1)
000
000
0001000
n
n
aa
aa
Da
a
a
a
12(1)(1)nnnnaa
2nnaa
.
5．递推公式法
递推公式法：对n阶行列式D
n
找出D
n
与D
n－1
或D
n
与Dn－1
，D
n－2
之间的一种关系
——称为递推公式(其中D
n
，D
n－1
，D
n－2
等结构相同），再由递推公式求出D
n
的方法称为
递推公式法.
例5证明
1221
1000
0100
0001
n
nnn
x
x
D
x
aaaaax
12
121
,(2nnn
nn
xaxaxaxan
证明:将D
n
按第1列展开得
12321
1000
0100
0001
n
nnn
x
x
Dx
x
aaaaax
1
1000
100
(1)
001
n
n
x
a
x
1nn
axD
由此得递推公式：1nnn
DaxD
,利用此递推公式可得
112
()
nnnnnn
DaxDaxaxD
2
12nnn
aaxxD
1
11
nn
nn
aaxaxx
6．利用范德蒙行列式
例6计算行列式
12
222
1122
121212
1122
111
111
n
nn
nnnnnn
nn
xxx
Dxxxxxx
xxxxxx
解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到
把新的第n－1行的－1倍加到第n行,便得范德蒙行列式
12
222
12
1
111
12
111
()
n
nij
nij
nnn
n
xxx
Dxxxxx
xxx
例2计算1n阶行列式
1221
11111111
1221
22222222
1221
11111111
nnnnn
nnnnn
nnnnn
nnnnnnnn
aabababb
aabababb
D
aabababb
．
其中
121
0
n
aaa
．
解这个行列式的每一行元素的形状都是
nkk
ii
ab
，k0，1,2，…，n．即
i
a按降
幂排列，
i
b按升幂排列，且次数之和都是n，又因0
i
a，若在第i行（i1,2，…，n）提
出公因子n
i
a，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即
2
111
111
2
222
121
222
2
111
111
1
111
11
1
1
1
.
n
n
nnn
n
n
nnn
nnn
n
j
n
i
i
ijin
ij
ijij
jin
bbb
aaa
bbb
Daaa
aaa
bbb
aaa
b
b
a
aa
baab
≤≤
≤≤
7．加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
例7计算n阶行列式
12
12
12
12
n
n
nn
n
xaaa
axaa
Daaa
aaxa
解：
1
1
0
0
n
n
n
aa
D
D
12
1
100
2,,1
100
100
n
i
aaa
x
in
x
x
第行减第1行
(箭形行列式)
12
1
1
000
000
000
n
j
n
j
a
aaa
x
x
x
x
1
1
n
j
n
j
a
x
x
例3计算n(n≥2）阶行列式
1
2
3
1111
1111
1111
1111
n
n
a
a
Da
a
，
其中
12
0
n
aaa．
解先将
n
D添上一行一列,变成下面的1n阶行列式：
1
12
1111
0111
0111
0111
n
n
a
Da
a
．
显然,
1nn
DD
．将
1n
D
的第一行乘以1后加到其余各行，得
1
12
1111
100
0110
100
n
n
a
Da
a
．
因0
i
a，将上面这个行列式第一列加第i（2i,…，1n）列的
1
1
i
a
倍,得:
1
1
1
2
2
1
2
1
12
1
1
1111
1111
100
000
100
000
100
000
00
00
1
1
00
1
1
n
i
i
n
n
n
i
i
n
n
n
i
i
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aaa
a
，
故
12
1
1
1
n
nn
i
i
Daaa
a
8．数学归纳法
例8计算n阶行列式
1221
1000
0100
0001
n
nnn
x
x
D
x
aaaaax
解:用数学归纳法.当n=2时
212
21
1
()
x
Dxxaa
axa
2
12
xaxa
假设n=k时，有
12
121
kkk
kkk
Dxaxaxaxa
则当n=k+1时,把D
k+1
按第一列展开,得
11kkk
DxDa
1
111
()kk
kkk
xxaxaxaa
12
111
kk
kkk
xaxaxaxa
由此,对任意的正整数n，有
12
121
nn
nnnn
Dxaxaxaxa
9．拆开法
把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两
行列式之和，使问题简化以利计算。
例9计算行列式
n
D
112
122
12
n
n
nn
aaa
aaa
aaa
解：
n
D
12
122
12
n
n
nn
aaa
aaa
aaa
12
22
0
00
n
n
nn
aa
aa
a
12
2
0
00
n
n
n
aaa
a
11n
D
1211nn
aD
……
12
1
1
n
i
n
i
i
a
例4计算n(n≥2）阶行列式
11121
21222
12
12
12
12
n
n
n
nnnn
xyxynxy
xyxynxy
D
xyxynxy
．
解将
n
D按第一列拆成两个行列式的和，即
12111121
22221222
212
122
122
122
nn
nn
n
nnnnnnn
xynxyxyxynxy
xynxyxyxynxy
D
xynxyxyxynxy
．
再将上式等号右端的第一个行列式第i列(2i,3，…，n）减去第一列的i倍;第二个行列式
提出第一列的公因子
1
y，则可得到
1211121
2222222
1
22
111
222
21
12
12
12
12
12
.
12
nn
nn
n
nnnnnnn
n
nnn
xyxyxxynxy
xyxyxxynxy
Dy
xyxyxxynxy
xxxn
xxxn
yyy
xxxn
当n≥3时，
0
n
D．
当2n时，
22121
2Dxxyy．
上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把
握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算.
第1讲计算行列式的若干基本方法
计算行列式并无固定的方法．其实,同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算．因
此，除了掌握好行列式的基本性质外,针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快
地酸楚行列式．这一讲，我们将介绍一些常用的方法．
1．化为已经熟悉的行列式来计算
我们已经知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形如
0
*
A
B
，
*
0
A
B
的行列式的结果．如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形式，则不难求出
所给行列式的值．
为了叙述简便，仍用记号ijij表示互换行列式的第i行（列）与第j
行（列）；用ikjikj表示将行列式第j行（列)的k倍加到第i行(列）；用
cici表示将第i行（列)乘以非零的数c．
例1计算行列式
11231
33795
20421
357146
4410102
D
．
解这是一个阶数不高的数值行列式,通常将它化为上(下）三角行列式来计算．
231
321
431
541
23
42
11231
00102
02041
02153
00222
11231
02041
00102
02153
00222
1-12-31
0204-1
00-10-2
001-12
0022-2
D
43
523
524
11231
03041
00102
00010
00026
11231
02041
00102
00010
00006
1211612.
例5计算n阶行列式
123
123
123
123
1
1
1
1
n
n
n
n
aaaa
aaaa
Daaaa
aaaa
．
解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，
因此n列之和全同．将第2，3，…,n列都加到第一列上,就可以提出公因子且使第一列的元
素全是1．
1223
1223
1223
1223
23
23
23
1
2
3
1
1
1
2,,
2,,
1
11
11
11
1
11
111
11
1
1
nn
nn
nn
nn
n
n
n
in
i
n
n
i
i
i
i
in
in
aaaaa
a
aaaaaa
Daaaaaa
aaaaaa
aaa
aaa
aaaa
aaa
a
23
11
0100
0010
0001
111.
n
nn
ii
ii
aaa
aa
例6计算1n阶行列式
1221
11111111
1221
22222222
1221
11111111
nnnnn
nnnnn
nnnnn
nnnnnnnn
aabababb
aabababb
D
aabababb
．
其中
121
0
n
aaa
．
解这个行列式的每一行元素的形状都是nkk
ii
ab，k0，1，2,…，n．即
i
a按降幂排
列,
i
b按升幂排列，且次数之和都是n，又因0
i
a，若在第i行（i1，2，…，n）提出公
因子n
i
a，则D可化为一个转置的范德蒙行列式,即
2
111
111
2
222
121
222
2
111
111
1
111
11
1
1
1
.
n
n
nnn
n
n
nnn
nnn
n
j
n
i
i
ijin
ij
ijij
jin
bbb
aaa
bbb
Daaa
aaa
bbb
aaa
b
b
a
aa
baab
≤≤
≤≤
2．降阶法
当一个行列式的某一行（列)的元素有比较多0时，利用行列式的依行(列）展开定理将
它化为较低阶的行列式来计算．
例7计算n（n≥2）阶行列式
0001
0000
0000
1000
a
a
D
a
a
．
解按第一行展开,得
1
000
000
000
000
1
000
000
1000
n
a
a
a
a
Da
a
a
．
再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到
111
2222111nn
nnnnnDaaaaaa
．
3．拆项法
拆项法是将给定的行列式的某一行（列)的元素都写成同样多的和，然后利用性质6将
它表成一些比较容易计算的行列式的和．
例8计算n(n≥2)阶行列式
11121
21222
12
12
12
12
n
n
n
nnnn
xyxynxy
xyxynxy
D
xyxynxy
．
解将
n
D按第一列拆成两个行列式的和，即
12111121
22221222
212
122
122
122
nn
nn
n
nnnnnnn
xynxyxyxynxy
xynxyxyxynxy
D
xynxyxyxynxy
．
再将上式等号右端的第一个行列式第i列（2i,3，…，n）减去第一列的i倍；第二个行
列式提出第一列的公因子
1
y，则可得到
1211121
2222222
1
22
111
222
21
12
12
12
12
12
.
12
nn
nn
n
nnnnnnn
n
nnn
xyxyxxynxy
xyxyxxynxy
Dy
xyxyxxynxy
xxxn
xxxn
yyy
xxxn
当n≥3时，0
n
D．
当2n时，
22121
2Dxxyy．
例9计算n阶行列式
n
xaaa
axaa
D
aaxa
aaax
，（0a)．
解将第一行的元素都表成两项的和，使
n
D变成两个行列式的和，即
000
000
.
n
xaaaaa
axaa
D
aaxa
aaax
xaaaaa
axaaaxaa
aaxaaaxa
aaaxaaax
将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得：
1
000
n
xa
axaa
xaD
aaxa
aaax
．
这里
1n
D
是一个与
n
D有相同结构的1n阶行列式；将第二个行列式的第一行加到其余各
行，得:
1
022
002
000
.n
aaaaaaaa
axaaxaaa
aaxaxaa
aaaxxa
axa
于是有
1
1
n
nn
DxaDaxa
（1）
另一方面，如果将
n
D的第一行元素用另一方式表成两项之和：
000xaaaaa
仿上可得：
1
1
n
nn
DxaDaxa
（2）
将（1）式两边乘以xa，(2)式两边乘以xa，然后相减以消去
1n
D
,得：
2
nn
n
xaxa
D
．
4．加边法
在给定的行列式中添上一行和一列,得加边行列式,建立新的行列式与原行列式的联系，
以求得结果．
例10计算n(n≥2）阶行列式
1
2
3
1111
1111
1111
1111
n
n
a
a
Da
a
，
其中
12
0
n
aaa．
解先将
n
D添上一行一列，变成下面的1n阶行列式：
1
12
1111
0111
0111
0111
n
n
a
Da
a
．
显然，
1nn
DD
．将
1n
D
的第一行乘以1后加到其余各行，得
1
12
1111
100
0110
100
n
n
a
Da
a
．
因0
i
a，将上面这个行列式第一列加第i(2i，…,1n）列的
1
1
i
a
倍，得：
1
1
1
2
2
1
2
1
12
1
1
1111
1111
100
000
100
000
100
000
00
00
1
1
00
1
1
n
i
i
n
n
n
i
i
n
n
n
i
i
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aaa
a
，
故
12
1
1
1
n
nn
i
i
Daaa
a
．
5．递推法
递推法是根据行列式的构造特点，利用行列式的性质，将给定的行列式表成若干个具有
相同形状以及一些容易计算的，但阶数较低的行列式之和，然后利用这种关系式计算原行列
式的值,最后再用数学归纳法证明所得到的结果正确．这是一种颇常使用的方法，在计算范
德蒙行列式时已建立过递推关系式，本讲的例6也利用了递推关系式．
使用递推法计算行列式，一般分三个步骤，首先找出递推关系式，然后算出结果，最后
用数学归纳法证明结果正确．
例11计算n阶行列式
1221
1000
0100
0000
0001
n
nnn
x
x
x
D
x
aaaaax
．
解首先建立递推关系式．按第一列展开，得：
1
12321
11
11
1000
10000
0100
1000
0000
1
0100
0001
0001
11
n
nn
nnn
nn
nnnn
x
x
x
x
Dxa
x
x
x
aaaaax
xDaxDa
，
这里
1n
D
与
n
D有相同的结构，但阶数是1n的行列式．
现在，利用递推关系式计算结果．对此,只需反复进行代换，得：
2
2121
2
321
122
1221
nnnnnnn
nnnn
nn
nnn
DxxDaaxDaxa
xxDaaxa
xDaxaxaxa
，
因
111
Dxaxa，故
1
11
nn
nnn
Dxaxaxa
．
最后,用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的．
当1n时，显然成立．设对1n阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确．由
12
1121
1
11
nn
nnnnnn
nn
nn
DxDaxxaxaxaa
xaxaxa
，
可知,对n阶的行列式结果也成立．
根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．
例12证明n阶行列式
210000
121000
1
000121
000012
n
Dn．
证明按第一列展开，得
21
0
2
n
D．
其中,等号右边的第一个行列式是与
n
D有相同结构但阶数为1n的行列式，记作
1n
D
；
第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与
n
D有相同结构但阶数为2n的行列
式，记作
2n
D
．这样，就有递推关系式：
12
2
nnn
DDD
．
因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确
的．
当1n时，
1
2D,结论正确．
当2n时，
2
21
3
12
D，结论正确．
设对1kn≤的情形结论正确,往证kn时结论也正确．
由
12
2211
nnn
DDDnnn
可知,对n阶行列式结果也成立．
根据归纳法原理,对任意的正整数n，结论成立．
二、行列式计算方法
1。定义法
2。化为三角形行列式的方法
3.化为范得蒙行列式的方法
4。拆行（列)法
5.降级法
6。加边法
7。数学归纳法
8.递推法
9。因式分解法
本章主要内容的内在联系:
重点行列式的计算
难点行列式概念，行列式的展开定理及用定义证明行列式性质
3.化为范得蒙行列式的方法
例1计算行列式
n
n
nn
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
xxx
D
21
22
2
2
1
22
2
2
1
21
111
解作如下行列式,使之配成范德蒙行列式
nn
n
nn
nn
n
nn
nn
n
nn
n
n
yxxx
yxxx
yxxx
yxxx
yxxx
yP
21
111
2
1
1
222
2
2
1
222
2
2
1
21
1111
)(
=
nij
ji
n
i
i
xxxy
11
)()(
易知
n
D等于)(yP中1ny的系数的相反数，而)(yP中1ny的系数为
行列式性质
行列式的概念
行列式依行依列展开
n级排列
克拉默规则
nij
ji
n
k
k
xxx
1
1
)(
，因此，
n
k
nij
jikn
xxxD
1
1
)(
。
4.拆行(列）法
例2计算行列式
xyxzyz
zyx
zyx
D222.
解：
))()()((
222
222
)1()3(
22
222
)1)(()3(
yzxzxyxzyzxy
xzyzxyzxzyzxyyxzyzxyx
zyx
zyx
xyzyzxzyzyyzxzxy
zyx
zyx
D
x
zy
.
5。降级法
例3计算行列式
000
000
000
000
D。
解：易得11)1(nnnD.
6.加边法
例4计算行列式
n
n
a
a
a
a
D
1111
1111
1111
1111
3
2
1
。
解：
.)
1
1(
000
000
000
111
1
1
001
001
001
1111
1110
1110
1110
1111
21
1
2
1
1
0
,,2,1
2
1
2
1
n
n
i
i
n
n
i
i
a
ni
nn
n
aaa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
D
i
而当
0
21
n
aaa时可分只有一个因子为零或至少有两个因子为零可得同样的结果.
9.因式分解法
如果行列式D是某个变数
x
的多项式)(xf，可对行列式施行某些变换，求出)(xf的
互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为)(xg,则)()(xcgxfD，再比较)(xf
与)(xg的某一项的系数，求出
c
值。
三、行列式的计算方法
方法1化三角形法
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法.
这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形
行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，
在一般情况下,计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某
种保值变形,再将其化为三角形行列式。
例3：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004
年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：
1231
2341
34512
1221
n
nn
n
D
nnn
［分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁,所以我们要充分利用行列式的性质。
注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n—1个数是差1的,根据行列式的性质，先从第
n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n—1列,一直到第一列乘以－1
加到第2列.然后把第1行乘以－1加到各行去,再将其化为三角形行列式,计算就简单多了。
解：
1
1
(2,,)
(2,,)
1
1111111111
211111000
311112000
11111000
1000
000
100
000
200
11(1)
2
000
2000
000
100
1(1)
()
2
i
i
n
n
in
rr
in
rr
n
nn
D
nn
nnnn
n
n
n
n
n
nn
nn
n
n
n
nn
nn
n
n
(1)(2)
1
2
(1)
1
2
(1)
(1)
1
2
nn
nn
n
n
n
方法2按行(列）展开法（降阶法）
设
nij
Da为
n
阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有
1122
1,2,,
niiiiinin
DaAaAaAin
或
1122
1,2,,
njjjjnjnj
DaAaAaAjn
其中
ij
A
为
n
D中的元素
ij
a
的代数余子式
按行(列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行
（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算,这是计算行列式的
又一基本方法。但一般情况下，按行（列)展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列)
含有较多零元素时,它才能发挥真正的作用.因此，应用按行（列)展开法时，应利用行列式
的性质将某一行（列）化为有较多的零元素,再按该行（列）展开。
例4、计算20阶行列式
20
123181920
212171819
321161718
201918321
D
［分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许
多多个2阶行列式计算,需进行20！*20－1次加减法和乘法运算,这人根本是无法完成的，
更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。
注意到此行列式的相邻两列(行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：
解:
1
1
20
20118
(1,
(2,,20)
19)
111111
123181920
211111
212171819
311111
321161718
1911111
201918321
2011111
111111
302222
400222
21(1)221
2000002
2100000
ii
i
i
i
cc
rr
D
182
方法3递推法
应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n
—1阶或n-1阶与n—2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式.根据递推关系式
及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，
这种计算行列式的方法称为递推法.
［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话,即很难找
出递推关系式,从而不能使用此方法.
例5、2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：
000
100
0100
0001
n
D
11
,
nn
n
D
证明 ：其中
（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。)
［分析]此行列式的特点是:除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都
为零，这种行列式称“三对角"行列式[1]。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn—1与Dn具
有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。
证明：Dn按第1列展开,再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：
12nnn
DDD
－－
（＋）－
这是由Dn-1和Dn-2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，
计算较繁,注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可
考虑将其变形为:
11212nnnnnn
DDDDDD
－－－－－
－＝－＝（－）
或
11212nnnnnn
DDDDDD
－－－－－
－＝－＝（－）
现可反复用低阶代替高阶，有：
23
1122334
222
21
[()()](1)
nnnnnnnn
nnn
DDDDDDDD
DD
－－－－－－－
－
－＝（－）＝（－）＝（－）
＝＝（－）=
同样有：
23
1122334
222
21
[()()](2)
nnnnnnnn
nnn
DDDDDDDD
DD
－－－－－－－
－
－＝（－）＝（－）＝（－）
＝＝（－）=
因此当时
由（1）（2）式可解得：
11nn
n
D
，证毕。
方法4数学归纳法
一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值,再用数学归纳法给出猜想的证明。因
此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，
所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）
例6、证明：
2cos1000
12cos100
012cos00
sin(1)
(sin0)
sin
0002cos1
00012cos
n
n
D
方法5。利用范德蒙行列式
范德蒙行列式：
123
2222
123
1
1111
123
1111
()
n
nij
jin
nnnn
n
xxxx
xxxxxx
xxxx
例7、计算n阶行列式
1111
2222
(1)(2)(1)
(1)(2)(1)
121
1111
nnnn
nnnn
n
ananaa
ananaa
D
ananaa
1111
2222
(1)(2)(1)
(1)(2)(1)
121
1111
nnnn
nnnn
n
ananaa
ananaa
D
ananaa
解:显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它
化为范德蒙行列式的类型。
先将的第n行依次与第n-1行，n—2行，…，2行，1行对换，再将得到到的新的行列
式的第n行与第n—1行,n-2行，…,2行对换,继续仿此作法,直到最后将第n行与第n—1行
对换，这样，共经过（n—1）+（n-2)+…+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到
(1)
2
2222
1111
1111
121
(1)
(1)(2)(1)
(1)(2)(1)
nn
n
nnnn
nnnn
ananaa
D
ananaa
ananaa
上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：
nm
nm
EABEBA
(1)(1)
22
11
(1)[()()](1)()
nnnn
n
jinjin
Danianjij
5.消去法求三对角线型行列式的值
例6求n阶三对角线型行列式的值:
（1）
的构造是：主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的
元全为1，其余的元全为0.
解用消去法,把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0:首先从第二行减去第
一行的倍，于是第二行变为
其次从第三行减去第二行(指新的第二行，以下同)的倍,则第三行变为
再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为
类似地做下去，直到第n行减去第n–1行的倍，则第n行变为
最后所得的行列式为
(2）
上面的行列式是三角型行列式,它的主对角线元顺次为
93）
又主对角线下方的元全为0。故的值等于（3）中各数的连乘积,即。
注3一般的三对角线型行列式
（4)
也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值
等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积.
4．数学归结法
例5计算行列式
解：
猜测:
证明
（1）n=1,2,3时，命题成立。假设n≤k–1时命题成立,考察n=k的情形：
故命题对一切自然数n成立。