高一数学必修一知识点总结

高一数学必修一知识点总结

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高中数学必修1知识点

第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用；

第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用；

第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念：

1、集合的含义：

2、集合的中元素的三个特性：

〔1〕元素确实定性；〔2〕元素的互异性；〔3〕元素的无序性

3、集合的表示：

〔Ⅰ〕列举法：

〔Ⅱ〕描述法：

4、常用数集及其记法：

非负整数集〔即自然数集〕N；正整数集N*或N+；整数集Z；有理数集Q；实数集R

5、"属于〞的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，

a不属于集合A记作aA

6、集合的分类：

1．有限集含有有限个元素的集合

2．无限集含有无限个元素的集合

3．空集不含任何元素的集合

二、集合间的根本关系

集合相等，子集，真子集，空集等定义

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集、并集、全集与补集的定义

2.性质：A∩A=A，A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.

⑴C

U

(C

U

A)=A⑵(C

U

A)∩A=Φ⑶(C

U

A)∪A=U

(4)(C

U

A)∩(C

U

B)=C

U

(A∪B)(5)(C

U

A)∪(C

U

B)=C

U

(A∩B)

二、函数的有关概念

1．函数的概念：(看课本)

注意：1、如果只给出解析式y=f(*)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义

的实数的集合；

2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充：

能使函数式有意义的实数*的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分

式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的

底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些根本函数通过四则运算结合而成的.则，它的定义域是使各

局部都有意义的*的值组成的集合.〔6〕指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证

实际问题有意义.

(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

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一样函数的判断方法：①定义域一致；②表达式一样(两点必须同时具备)

函数图像

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出*,y的一些对应值并列表，以(*,y)为坐标在坐标系内描出相应

的点P(*,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法：

常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换

Ⅰ、对称变换:

〔1〕将y=f(*)在*轴下方的图象向上翻得到y=∣f(*)∣的图象如：书上P21例5

〔2〕y=f(*)和y=f(-*)的图象关于y轴对称。如

1x

xxyaya

a











与

〔3〕y=f(*)和y=-f(*)的图象关于*轴对称。如

1

logloglog

aa

a

yxyxx与

Ⅱ、平移变换:由f(*)得到f(*a)左加右减；由f(*)得到f(*)a上加下减

(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发

现解题中的错误。

4．区间的概念与表示

5．映射

定义：〔看课本〕

说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则

有"方向性〞，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；

③对于映射f：A→B来说，则应满足：〔Ⅰ〕集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一

的；〔Ⅱ〕集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；〔Ⅲ〕不要求集合B中的每一个元

素在集合A中都有原象。

6、函数的表示法：

解析法；图象法；列表法

注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

*分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；〔2〕分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域

是各段值域的并集．

*如果y=f(u),(u∈M),u=g(*),(*∈A),则y=f[g(*)]=F(*)，(*∈A)称为f是g的复合函数。

7．函数单调性〔定义〕

〔1〕．增函数

注意：1、函数的单调性是在定义域内的*个区间上的性质，是函数的局部性质；

2、必须是对于区间D内的任意两个自变量*

1

，*

2

；当*

1

<*

2

时，总有f(*

1

)

2

)〔或f(*

1

)＞f(*

2

)〕。

〔2〕图象的特点

如果函数y=f(*)在*个区间是增函数或减函数，则说函数y=f(*)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区

间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：

1任取*

1

，*

2

∈D，且*

1

<*

2

；2作差f(*

1

)－f(*

2

)；3变形〔通常是因式分解和配

方〕；4定号〔即判断差f(*

1

)－f(*

2

)的正负〕；5下结论〔指出函数f(*)在给定的

区间D上的单调性〕．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性：复合函数f[g(*)]的单调性与构成它的函数u=g(*)，y=f(u)

的单调性密切相关，其规律如下：

复合函数单调性：口诀：同增异减

注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性一样的区间和在一起写成其并集.

u=g(*)y=f(u)y=f[g(*)]

增增增

增减减

减增减

减减增

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〔4〕判断函数的单调性常用的结论

①函数

()yfx

与

()yfx

的单调性相反；

②当函数

()yfx

恒为正或恒有负时，

1

()

y

fx



与函数

()yfx

的单调性相反；

③函数

()yfx

与函数

()yfxC

〔C为常数〕的单调性一样；

④当C>0〔C为常数〕时，

()yfx

与

()yCfx

的单调性一样；

当C<0〔C为常数〕时，

()yfx

与

()yCfx

的单调性相反；

⑤函数

()fx

、

()gx

都是增〔减〕函数，则

()()fxgx

仍是增〔减〕函数；

⑥假设

()0,()0fxgx

且

()fx

与

()gx

都是增〔减〕函数，则

()()fxgx

也是增〔减〕函数；

假设

()0,()0fxgx

且

()fx

与

()gx

都是增〔减〕函数，则

()()fxgx

也是减〔增〕函数；

8．函数的奇偶性〔定义〕

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对

称；2确定f(－*)与f(*)的关系；3作出相应结论：假设f(－*)=f(*)或f(－*)－f(*)=0，则f(*)是偶函数；

假设f(－*)=－f(*)或f(－*)＋f(*)=0，则f(*)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，

假设不对称则函数是非奇非偶函数.假设对称，(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-*)=±f(*)比较困难，可考

虑根据是否有f(-*)±f(*)=0或f(*)/f(-*)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.

函数奇偶性的性质

①奇函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，则其单调性完全一样；

偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，则其单调性恰恰相反.

②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.

③假设()fx为偶函数，则()()(||)fxfxfx.

④假设奇函数()fx定义域中含有0，则必有(0)0f.

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成"一个奇函数()Fx与一个偶函数()Gx的和〔或

差〕〞.如设)(xf是定义域为R的任一函数，则

()()

()

2

fxfx

Fx



，

()()

()

2

fxfx

Gx





.

⑥复合函数的奇偶性特点是："内偶则偶，内奇同外〞.

⑦既奇又偶函数有无穷多个〔()0fx，定义域是关于原点对称的任意一个数集〕.

9、函数的解析表达式

〔1〕函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对

应法则，二是要求出函数的定义域.

〔2〕求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，A、如果函数解析式的构造时，可

用待定系数法；B、复合函数f[g(*)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当表达式较简单

时，也可用凑配法；C、假设抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(*)

10．函数最大〔小〕值〔定义见课本p30页〕

〔1〕利用二次函数的性质〔配方法〕求函数的最大〔小〕值；

〔2〕利用图象求函数的最大〔小〕值；

〔3〕利用函数单调性的判断函数的最大〔小〕值：如果函数y=f(*)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，

c]上单调递减则函数y=f(*)在*=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(*)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]

上单调递增则函数y=f(*)在*=b处有最小值f(b)；

第二章根本初等函数

一、指数函数

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〔一〕指数与指数幂的运算〔这局部初中接触过，要注意分数指数幂的运算〕

〔二〕指数函数及其性质

01

图

像

性质

定义域R,值域〔0，+∞〕

〔1〕过定点〔0，1〕,即*=0时，y=1

(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数

〔3〕当*>0时,0

当*1

〔3〕当*>0时,y>1;

当*<0时,0

二、对数函数

〔一〕对数〔概念〕

〔1〕常用对数：以10为底的对数,

10

loglgNN记为；

〔2〕自然对数：以无理数e为底的对数的对数,logln

e

NN记为．

〔3〕log

a

a=1,log

a

1=0特别地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0

对数恒等式：logN

aaN

〔二〕对数的运算性质

如果a>0，a¹1，M>0，N>0有：

3、

loglognn

aa

MnM（R）

注意：换底公式log

lg

log0,1,0,1,0

loglg

c

a

c

b

b

baaccb

aa



①

a

b

b

alog

1

log②loglogloglog

abca

bcdd••③loglog

m

n

a

a

n

bb

m



〔二〕对数函数〔概念〕

对数函数的图像与性质：对数函数log

a

yx(a>0，且a≠1)

logMNloglog

aaa

MN•（）

0＜a＜1a＞1

图

像

y

*0

(1,0)

y

*

0

(1,0)

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性

质

定义域：〔0，＋∞〕值域：R

过点(1,0),即当*＝1时,y＝0

在(0,+∞)上是减函数在(0,+∞)上是增函数

当*>1时，y<0

当*=1时，y=0

当0<*0

当*>1时，y>0

当*=1时，y=0

当0<*<1时，y<0

重要结论：在log

a

b中，当a,b同在(0,1)或(1,+∞)内时，有log

a

b>0;

当a,b不同在(0,1)内，或不同在(1,+∞)内时,有log

a

b<0.

口诀：底真同大于0〔底真不同小于0〕.

〔其中，底指底数，真指真数，大于0指log

a

b的值〕3、如图，

底数a对函数xy

a

log的影响。

规律:底大枝头低,头低尾巴翘。

4考点：

Ⅰ、log

a

b,当a,b在1的同侧时,log

a

b>0；当a,b在1的异侧时,log

a

b<0

Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进展讨论。掌握利用单调性比较对数的大

小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用〔1〕的知识不能解决的插进1(=log

a

a)进展

传递。

Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。

Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=log

a

a，用y=1去截图象得到对应的底数。

Ⅴ、y=a*(a>0且a≠1)与y=log

a

*(a>0且a≠1)互为反函数，图象关于y=*对称。

〔三〕幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中*是自变量，α为常数．

2、幂函数性质归纳．

〔1〕所有的幂函数在〔0，+∞〕都有定义，并且图象都过点〔1，1〕；

〔2〕α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+∞〕上是增函数．特

别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上

凸；

〔3〕α<0时，幂函数的图象在〔0，+∞〕上是减函数．在第一象限

内，当*从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，

当*趋于+∞时，图象在*轴上方无限地逼近*轴正半轴．

3、比较大小：(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值

〔如:0,1.〕；(3)变形后比较；(4)作差比较

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y=f(*),使f(*)=0的实数*叫做函数的零点。〔实质上是函数y=f(*)与*轴交点

的横坐标〕

2、函数零点的意义：方程f(*)=0有实数根⇔函数y=f(*)的图象与*轴有交点⇔函数y=f(*)有零点

3、零点定理：函数y=f(*)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,则函数y=f(*)在区间〔a,b〕

至少有一个零点c，使得f(c)=0,此时c也是方程f(*)=0的根。

4、函数零点的求法：求函数y=f(*)的零点：

〔1〕〔代数法〕求方程f(*)=0的实数根；

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〔2〕〔几何法〕对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(*)的图象联系起来，并利用函数的性

质找出零点．

5、二次函数的零点：二次函数f(*)=a*2+b*+c(a≠0)．

1〕△＞0，方程f(*)=0有两不等实根，二次函数的图象与*轴有两个交点，二次函数有两个零点．

2〕△＝0，方程f(*)=0有两相等实根〔二重根〕，二次函数的图象与*轴有一个交点，二次函数有一个二重

零点或二阶零点．

3〕△＜0，方程f(*)=0无实根，二次函数的图象与*轴无交点，二次函数无零点．

二、二分法

1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(*),通过不断地把函数f(*)的零点所在的区间一

分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

2、用二分法求方程近似解的步骤:

⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定准确度ε；

⑵求区间(a,b)的中点c;

⑶计算f(c),

①假设f(c)=0,则c就是函数的零点；

②假设f(a)f(c)<0,则令b=c〔此时零点*

0

∈(a,c)〕

③假设f(c)f(b)<0,则令a=c〔此时零点*

0

∈(c,b)〕

(4)判断是否到达准确度ε：即假设|a-b|<ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵~⑷

三、函数的应用：

二次函数模型：y=a*2+b*+c(a≠0)先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的话

代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。

一元二次方程a*2+b*+c=0〔a>0〕的根的分布

两个根都在〔m,n)内两个有且仅有一个在〔m,n)内*

1

∈(m,n)*

2

∈(p,q)

f(m)f(n)<0

两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于K

y

*n

m

mn

m

npq

0

2

()0

()0

b

mn

a

fm

fn



























()0

()0

()0

()0

fm

fn

fp

fq























-

.z.

f(k)<0

y

*kk

k

0

2

()0

b

k

a

fk





















0

2

()0

b

k

a

fk



















