去绝对值符号的方法
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2023年2月26日发(作者：e路通)绝对值知识点及练习
1、定义：1几何定义：一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作｜a｜,
读作“绝对值a”;
2代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的
绝对值是0.实数a的绝对值是：|a|
①a为正数时,|a|=a不变
②a为0时,|a|=0
③a为负数时,|a|=-a为a的绝对值
任何数的绝对值都大于或等于0,因为距离没有负的;
2、实数的绝对值具有以下性质：
1|a|大于等于0实数的绝对值是非负实数;
2|-a|=|a|互为相反数的两实数绝对值相等;
3-|a|小于等于a小于等于|a|;
4|a|>b可以推出ab,ab可以推出|a|>b;
5|a·b|=|a|·|b|;
6|a|/|b|=|a/b|b≠0;
7|a+b|小于等于|a|+|b|,当且仅当a、b同号时,等式成立;
8|a-b|大于等于||a|-|b||,当且仅当a、b同号时,等式成立;
9a属于R时,|a|的平方等于|a|的平方;
特别提醒：1绝对值具有非负性,即|a|≥0；
2绝对值相等的两个数,它们相等或互为相反数；
30是绝对值最小的有理数;
3、利用绝对值比较大小
1利用绝对值比较两个负数的大小
两个负数比较大小,绝对值大的反而小．
比较的具体步骤：
①先求两个负数的绝对值；
②比较绝对值的大小；
③根据“两个负数,绝对值大的反而小”作出判断．
2几个有理数的大小比较
①同号两数,可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数,绝对值大的数较大；b.两个负数,绝
对值大的反而小．
②多个有理数的大小比较,需要先将它们按照正数、0、负数分类比较,然后利用各数的绝对
值或借助于数轴来进一步比较．
4、利用绝对值解决实际问题
绝对值的产生来源于实际问题的需要,反过来又可以运用它解决一些实际问题,主要有以下
两类：
1判断物体或产品质量的好坏
可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度,绝对值越小,越接近标准,质量就越好．
方法：
①求每个数的绝对值；
②比较所求绝对值的大小；
③根据“绝对值越小,越接近标准”作出判断．
2利用绝对值求距离
路程问题中,当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程,求最后的总路程时,实际上就是求绝
对值的和．
方法：
①求每个数的绝对值；
②求所有数的绝对值的和；
③写出答案．
5、去绝对值符号的几种常用方法：
1利用定义法去掉绝对值符号
根据实数含绝对值的意义,即|
x
|=
(0)
(0)
xx
xx
,有|
x
|<
c
(0)
(0)
cxcc
c
；
|
x
|>
c
(0)
0(0)
(0)
xcxcc
xc
xRc
或
2利用不等式的性质去掉绝对值符号
利用不等式的性质转化|
x
|<
c
或|
x
|>
cc
>0来解,如|
axb
|>
cc
>0可为
axb
>
c
或
axb
<－
c
；|
axb
|<
c
可化为－
c
<
ax
+
b
<
c
,再由此求出原不等式的解集;
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解,也可利用结论“
a
≤|
x
|≤
ba
≤
x
≤
b
或－
b
≤
x
≤－
a
”来求解,这是种典型的转化与化归的数学思想方法;
3利用平方法去掉绝对值符号
对于两边都含有“单项”绝对值的不等式,利用|
x
|
2
=
2x
可在两边脱去绝对值符号来解,这样
解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷,解题时还要注意不等式两边变
量与参变量的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类讨论,只有不等
式两边均为非负数式时,才可以直接用两边平方去掉绝对值,尤其是解含参数不等式时更必须
注意这一点;
4利用零点分段法去掉绝对值符号
所谓零点分段法,是指：若数1
x
,2
x
,……,n
x
分别使含有|
x
－1
x
|,|
x
－2
x
|,……,|
x
－n
x
|的代数
式中相应绝对值为零,称1
x
,2
x
,……,n
x
为相应绝对值的零点,零点1
x
,2
x
,……,n
x
将数轴分为
m
+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝
对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨
论绝对值不等式,最后应求出解集的并集;零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,
这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化;
5利用数形结合去掉绝对值符号
解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对值的几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴
上两点间的距离求解;数形结合法较为形象、直观,可以使复杂问题简单化,此解法适用于
||||xaxbm
或
||||xaxbm
m
为正常数类型不等式;对
||||axbcxdm
或<
m
,当|
a
|≠|
c
|时一般不用;
1、对于形如︱a︱的一类问题
只要根据绝对值的3个性质,判断出a的3种情况,便能快速去掉绝对值符号;
当a>0时,︱a︱=a性质1,正数的绝对值是它本身；
当a=0时︱a︱=0性质2,0的绝对值是0；
当a<0时；︱a︱=–a性质3,负数的绝对值是它的相反数;
2、对于形如︱a+b︱的一类问题
我们只要把a+b看作是一个整体,判断出a+b的3种情况,根据绝对值的3个性质,便能快速去
掉绝对值符号,正确进行化简;
当a+b>0时,︱a+b︱=a+b性质1,正数的绝对值是它本身；
当a+b=0时,︱a+b︱=0性质2,0的绝对值是0；
当a+b<0时,︱a+b︱=–a+b=–a-b性质3,负数的绝对值是它的相反数
3、对于形如︱a-b︱的一类问题
同样,按上面的方法,我们仍然把a-b看作一个整体,判断出a-b的3种情况,根据绝对值的3个
性质,去掉绝对值符号;
但在去括号时最容易出现错误;如何快速去掉绝对值符号,条件非常简单,只要你能判断出a与
b的大小即可;因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小,所以当a>b时,︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b.请记
住口诀：无论是大减小,还是小减大,去掉绝对值,都是大减小;
4、对于数轴型的一类问题,
根据3的口诀来化简,更快捷有效;如︱a-b︱的一类问题,只要判断出a在b的右边,便可得到
︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b;
5、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算
万变不离其宗,还是把绝对值号里的式子看成一个整体,把它与0比较,大于0直接去绝对值
号,小于0的整体前面加负号;
练习
一、选择
1、绝对值为4的有理数是A.±4B.4C.-4D.2
2、两个数的绝对值相等,那么A.这两个数一定是互为相反数；B.这两个数一定相等；
C.这两个数一定是互为相反数或相等；D.这两个数没有一定的关系
3、绝对值小于4的整数有个个个个
4、绝对值与相反数都是它的本身个个个D.不存在
5、若m为有理数,且那么m是A.非整数B.非负数C.负数D.不为零的数
6、下列说法中,错误的是
A、一个数的绝对值一定是正数B、互为相反数的两个数的绝对值相等
C、绝对值最小的数是0D、绝对值等于它本身的数是非负数
7、下列结论中,正确的有
①符号相反且绝对值相等的数互为相反数；②一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上离
原点越远；③两个负数,绝对值大的它本身反而小；④正数大于一切负数；⑤在数轴上,右边
的数总大于左边的数.
A、2个B、3个C、4个D、5个
8、一个数的绝对值是它本身,那么这个数是
A正数B正数或零C零D有理数
9、如果一个数的绝对值是,那么这个数是
AB－C或－D以上都不对
10、任何有理数的绝对值都是
A正数B负数C有理数D正数或零
11、在－－8,|－1|,－|0|,－0.0001这四个有理数中,负数共有
A4个B3个C2个D1个
12、在数轴上和表示－3的点的距离等于5的点所表示的数是
A－8B2C－8和2D1
13、9与－13的绝对值的和是
A22B－4C4D－22
14、数－|－3|的相反数是
A－3BC3D3
15、设a是最小的正整数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a+b+c等
于A－1B0C1D2
二、填空
1正数的绝对值是____,负数的绝对值是_____,零的绝对值是_____,绝对值等于1的有理
数是____________．
2从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数离开原点的_______．
349是______的相反数,它是______的绝对值．
4|－5|的相反数是________．
5如果一个数的绝对值等于那么这个数是___________．
6绝对值小于的所有整数是________．
7-3的绝对值是_______,绝对值是3的数是________.
8一个数a在数轴上的对应点在原点的左侧,且,则︱a︱=__________.
9绝对值最小的数是_____；最大的负整数是_____．
10绝对值小于3的所有自然数是____．
11一个有理数的相反数小于原数,这个数是____．
12已知︱x︱－︱y︱=2,且y=－4,则x=____;
13已知︱x︱=2,︱y︱=3,则x+y=____;
14已知︱x+1︱与︱y－2︱互为相反数,则︱x︱+︱y︱=____;
15式子︱x+1︱的最小值是,这时,x值为____;
三、拓展提高：
1．如果a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为2,求式子a+b+m－cd的值;
2、．某司机在东西路上开车接送乘客,他早晨从A地出发,去向东的方向正方向,到晚上送走
最后一位客人为止,他一天行驶的的里程记录如下单位：㎞
+10,—5,—15,+30,—20,—16,+14
1若该车每百公里耗油3L,则这车今天共耗油多少升
2据记录的情况,你能否知道该车送完最后一个乘客是,他在A地的什么方向距A地多远