信号分析
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2023年2月25日发(作者：小学英语教学设计)62
第3章信号分析及处理
3．1知识要点
3.1.1数字信号处理基础
1.数字信号处理的基本步骤有哪些？
（1）信号的预处理：是指在数字处理之前，把信号变成适于数字处理的形式，以减
小数字处理的困难。
（2）A／D转换：是将预处理以后的模拟信号经采样、量化并转换为二进制数的过程。
（3）分析计算：对采集到的数字信号进行分析和计算，可用数字运算器件组成信号
处理器完成，也可用通用计算机。
（4）结果显示：一般采用数据和图形显示结果。
2.什么是时域采样？采样定理的内容是什么？
采样相当于在连续信号上“摘取”一系列离散的瞬时值，是利用采样脉冲序列从连续
时间信号中抽取一系列离散样值，使之成为采样信号的过程，是把连续时间信号变成离散
时间序列的过程。为了保证采样后的信号能真实地保留原始模拟信号的信息，使采样后的
信号仍可准确的恢复其原始信号，采样信号的频率必须至少为原信号中最高频率成分的2
倍，这一基本法则，称为采样定理。
3.什么是量化和量化误差？
把采样信号经过舍入或截尾的方法变为只有有限个有效数字的数字信号，即从一组有
限个离散电平中取一个来近似代表采样点的信号实际幅值电平，这一过程称为量化。由量
化引起的信号量化电平与信号实际电平之间的差值称为量化误差。
4.什么是混叠、截断和泄漏？
由于采样信号频谱发生变化，而出现高、低频成分发生混淆的一种现象叫混叠。截断
就是将信号乘以时域的有限宽矩形窗函数。截断后信号的能量在频率轴分布扩展到现象称
为泄漏。
5.什么是窗函数？常用的窗函数有哪些？各有何特点？如何选择？
为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函
数。常用的窗函数有矩形窗、三角窗、汉宁（Hanning）窗、海明（Hamming）窗、高斯窗。
(1)矩形窗：优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进
了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。
(2)三角窗：三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无
负旁瓣。
(3)汉宁（Hanning）窗：汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小且衰减速度也较快，
从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗，但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频
63
率分辨力下降。
(4)海明（Hamming）窗：海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同，海明窗加
权的系数能使旁瓣达到更小且比汉宁窗衰减速度慢。
(5)高斯窗：高斯窗谱无负的旁瓣，主瓣较宽，频率分辨力低，常被用来截断非周期
信号。
对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣
频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体
的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，
如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。
6.什么是频域采样、时域周期延拓和栅栏效应？
在频域中用脉冲序列乘以信号的频谱函数过程称为频域采样。在频域中用脉冲序列乘
信号的频谱函数在时域中相当于将信号与一脉冲序列做卷积，结果是将时域信号平移至各
脉冲位置重新构图，从而相当于在时域中将窗内的信号波形在窗外进行周期延拓。对一信
号进行采样，实质上就是“摘取”采样点上的对应函数值，其效果有如透过栅栏的缝隙观
看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余景象被栅栏挡住视为零，这种现象
被称为栅栏效应。
3.1.2相关分析
1.什么叫相关、相关系数和相关函数？
相关是指变量之间的线性关系。当两个随机变量之间具有某种关系时，随着某一个变
量数值的确定，另一个变量却可能取许多不同的值，但取值有一定的概率统计规律，这时
称两个随机变量存在着相关关系。描述变量x，y之间线性相关程度叫相关系数，用式（3-1）
表示：
yx
yx
xy
yxE
)])([(
（3-1）
式中：E为数学期望；μx为随机变量x的均值,μx=E[x]；μy为随机变量y的均值,
μy=E[y]；σx,σy为随机变量x、y的标准差。
变量)(tx和变量)(ty在不同时刻的乘积平均来描述如式（3-2）所示称为相关函数。
T
T
xy
dttytx
T
R
0
)()(
1
lim）（（3-2）
2.什么叫自相关函数？有何特点？
)(tx是各态历经随机过程的一个样本函数，)(tx是)(tx时移后的样本，这定义
自相关函数为）（
x
R如式（3-3）所示：
T
T
x
dttxtx
T
R
0
)()(
1
lim）（（3-3）
自相关函数性质有：
64
（1））（
x
R为实偶函数。
（2）时延值不同，）（
x
R不同，但
0时，）（
x
R的值最大，并等于信号的均方
值。
（3））（
x
R值的取值范围为2
2
2
2)(
xxxxx
R。
（4）但时，)(tx和)(tx之间不存在联系。
（5）但信号)(tx为周期函数时，自相关函数）（
x
R也是同频率的周期函数。
3.什么叫互相关函数？有何特点？
两个各态历经过程的随机信号)(tx和)(ty的互相关函数）（
xy
R定义如式（3-2）所示。
互相关函数具有下列性质：
（1）互相关函数是可正可负实函数。
（2）互相关函数是非奇非偶函数。
（3）互相关函数的峰值不在
0
处。
（4）互相关函数的取值范围为
yxyxxyyxyx
R)(。
（5）两个统计独立的随机信号，但均值为零时，这0）（
xy
R。
（6）两个不同频率的周期信号的互相关函数为零。
3.1.3功率谱分析
1.什么叫自功率谱密度函数和互功率谱密度函数？
随机信号的自功率谱密度函数（自谱）是该随机信号自相关函数的傅立叶变换，记为
)(fS
x
，与自相关函数组成一对傅立叶变换对如式（3-4）所示，式（3-4）也成为微纳-辛
钦公式。
dfefSR
deRfS
fj
xx
fj
xx
2
2
)()(
)()(
（3-4）
随机信号的互功率谱密度函数（互谱）是该随机信号互相关函数的傅立叶变换，记为
)(fS
xy
，与互相关函数组成一对傅立叶变换对，如式（3-5）所示。
dfefSR
deRfS
fj
xyxy
fj
xyxy
2
2
)()(
)()(
（3-5）
2.巴塞伐尔定理的内容是什么？
巴塞伐尔定理内容为在时域中计算的信号总能量,等于在频域中计算的信号总能量，
如式（3-6）所示。
dffXdttx
2
2)()(
（3-6）
65
3.什么叫相干函数？
用来评价测试系统的输入与输出信号之间的因果关系的函数叫相干函数)(2f
xy
，如
式（3-7）所示。
)()(
)(
)(
2
2
fSfS
fS
f
yx
xy
xy
1)(02f
xy
（3-7）
3．2例题解析
【例3.1】对信号)10.2sin()(
1
tAtx和)50.2sin()(
2
tAtx进行采样处理，采样间
隔T
s
=1/40，即采样频率f
s
=40Hz。请比较两信号采样后的离散序列的状态。
解：因采样频率f
s
=40Hz，则t=nT
s
，所以
1sss
10
()sin(2)sin()
402
xnTAnTAnT
2ssss
505
()sin(2)sin()sin()
4022
xnTAnTAnTAnT
图3.1)(
1
tx和)(
2
tx时域波形图
经采样后，两信号的时域波形如图3.1所示，在采样点上两者的瞬时值(图3.1中的“×”
点)完全相同，即获得了相同的数学序列。这样，从采样结果(数字序列)上看，就不能分辨
出数字序列来自于x
1
(t)还是x
2
(t)，不同频率的信号x
1
(t)和x
2
(t)的采样结果的混叠，造成了
“频率混淆”现象。
【例3.2】对一模拟信号作数字化频谱分析，要求分析的频率范围是：0～200Hz，频率分
辨率是Hzf1。求采样频率
c
f和采样点数N。
解：为了防止混叠，先对信号作低通滤波。截止频率应定为所要求分析的频率范围的
上界，即Hzf
s
200，此外，根据采用定理，采样频率应为
cs
ff2，考虑到滤波器有
过度带，在实际工作中，
s
f一般取
cs
ff)4~3(，现取Hzff
cs
60020033。
根据频率分辨率的要求，可确定采样点数
N
为：
600
1
6001
f
f
ft
Ns
t为采样间隔，为了便于做
FFT
运算，采样点数
N
取为
1024
。
66
解析：若抗混低通滤波器有较陡的过渡带，这采样频率可取低些，例如取
cs
ff5.2，
则Hzf
c
5002005.2，这样
N
只需取
512
便可满足频率分辨率的要求，从而大大节
省后续的计算时间和存储空间。
【例3.3】求正弦函数)sin()(
0
txtx的自相关函数。
解：具有圆频率为、幅值为
0
x、初始相位为的正弦函数，是一个零均值的各态
历经随机过程。其平均值可用一个周期
0
T的平均值计算，其自相关函数为：
dtttx
T
dttxtx
T
RTT
T
x
0
0
2
0
0
0
])(sin[)sin(
1
)()(
1
lim）（
/2
0
T，令t
，则
/ddt，所以
cos
2
)sin(sin
2
)sin(sin
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
x
d
x
d
x
R
x
）（
解析：周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，其幅值与原周期信号的幅值
有关，而丢失了原信号的相位信息。
【例3.4】求两个同频率的正弦函数)sin()(
0
txtx，)sin()(
0
tyty的
互相关函数)(
xy
R。
解：因为信号是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均值，
故：
T
T
xy
dttytx
T
R
0
)()(
1
lim）（
])(sin[)sin(
1
0
0
0
0
0tytx
T
T
)cos(
2
1
00
yx
解析：互相关函数不仅保留了原信号幅值的信息，而且保留了相位差的信息。
【例3.5】已知信号的自相关函数
00
2cos)(fxR
x
，试确定该信号的均方值2
x
、均
方根值
rms
x和自功率谱)(fS
x
。
解：
0
2)0(xR
xx
，0
rms
x，dteRfSfj
xx
2)()(
)]()([
2
)(
00
0ffff
x
fS
x
其自功率谱图是两个强度为2/
0
x的脉冲。
【例3.6】已知两个随机信号)(tx和)(ty联合平稳，其互相关函数为：
0
2cos)()(ueR
xy
，求其互功率谱)(
xy
S及)(
yx
S。
解：deRSj
xyxy
)()(
67
deeeedeejj
jj)(
2
1
cos00
0
2
0
0
2
deejjjj][
2
1
)2(
0
)2(
00
2
0
2
00
)2(
2
)
2
1
2
1
(
2
1
j
j
jjjj
根据互谱性质有：
2
0
2)2(
2
)()(
j
j
SS
xyyx
【例3.7】一线性系统，其传递函数为
Ts
sH
1
1
)(，当输入信号为tfxtx
00
2sin)(时，
求：（1）)(fS
y
；（2）)(
y
R；（3）)(fS
xy
；（4）)(fR
xy
。
解：(1)线性系统的输入、输出关系为：
)()()(2fSfHfS
xy
dfefSRfj
yy
2)()(
)()()(fSfHfS
xxy
已知tfxtx
00
2sin)(，则
0
2
02cos
2
)()()(f
x
dttxtxR
x
)(
4
)()(
0
2
0
2ff
x
deRfSfj
x
由此可得：
)(
)2(1
1
)()()(
2
2
0
2fS
Tf
fSfHfS
xxy
)(.
4
.
)2(1
1
0
2
0
2
0
ff
x
Tf
(2)求)(
y
R有两种方法。其一是利用)(fS
y
的傅立叶逆变换；其二是先求出)(ty，
再求)(
y
R，其三是直接利用公式
)()()(2
xy
RfHR
求。下面用第一种方法。
dfeff
x
Tf
dfefSRfjfj
yy
2
0
2
0
2
0
2)(.
4
.
)2(1
1
)()(
)2cos(
)2(1
1
.
20
2
0
2
0
f
Tf
x
（3）由)()()(fSfHfS
xxy
可得：
)(.
4
.
21
1
)(
0
2
0
0
ff
x
Tfj
fS
xy
68
(4))(
xy
R可以由)(fS
xy
的傅立叶逆变换求得，也可以直接由)(tx、)(ty积分求得：
dttftf
Tf
x
dttytxR
xy
])(2sin[).2sin(
)2(1
)()()(
00
2
0
2
0
)2cos(
)2(1
2
1
0
2
0
2
0
f
Tf
x
【例3.8】用相关分析法确定深埋地下的输油管裂损位置，以便开挖维修。
解：如图3.2所示。漏损处K可视为向两侧传播声音的声源，在两侧管道上分别放置
传感器1和2。因为放置传感器的两点相距漏损处距离不等，则漏油的声响传至两传感器
的时间就会有差异，在互相关函数图上
m
处有最大值，这个
m
就是时差。设
s
为两传
感器的安装中心线至漏损处的距离，
v
为音响在管道中的传播速度，则2/
m
s。用m
来确定漏损处的位置，即线性定位问题，其定位误差为几十厘米，该方法也可用于弯曲的
管道。
图3.2利用相关分析进行线性定位实例
【例3.9】图
3.3
（
a
）汽车变速箱正常工作时的功率谱图，图
3.3
（
b
）是由汽车变速箱上
测取的振动加速度信号经功率谱分析处理后所得的实际功率谱图，试分析该变速箱的工作
状态。
(a)变速箱正常工作时的谱图(b)变速箱不正常工作时的谱图
图3.3汽车变速箱的振动功率谱图
答：一般地，正常运行的机器其功率谱是稳定的，而且各谱线对应零件不同运转状态
的振源。在机器运行不正常时，例如，转系的动不平衡、轴承的局部损伤、齿轮的不正常
等，都会引起谱线的变动。图
3.3
（
b
）中，在
9.2Hz
和
18.4Hz
两处出现额外峰谱，这显示
了机器的某些不正常，而且指示了异常功率消耗所在的频率，这就为寻找与此频率相对应
的故障部位提供了依据。
【例3.10】图3.4是船用柴油机润滑油泵压油管振动x(t)和压力脉动间y(t)的相干分析
69
结果。其中，润滑油泵转速为n=781r/min，油泵齿轮的齿数为Z=14，测得油压脉动信号和
压油管振动信号y(t)，试分析引起油管振动的主要原因。
(a)油泵压油管振动x(t)的自谱图
(b)压力脉动y(t)的自谱图
(c)x(t)与y(t)的相干分析图
图3.4油压脉动与油管振动的相干分析图
答：压油管压力脉动的基频为
Hz
nz
f24.182
600
，由图3.4可以看到，当ƒ=ƒ
0
=182.24
Hz时，
2
xy
(ƒ)≈0.9；当ƒ=2ƒ
0
=361.12Hz时，
2
xy
(ƒ)≈0.37；当ƒ=3ƒ
0
=546.54Hz时，
2
xy
(ƒ)
≈0.8；当ƒ=4ƒ
0
=722.24Hz时，
2
xy
(ƒ)≈0.75；„„齿轮引起的各次谐频对应的相干函数值
都很大，而其他频率对应的相干函数值都很小，由此可见，油管的振动主要是由油压脉动
引起的。从x(t)和y(t)的自谱图也明显可见油压脉动的影响。
3．3习题
1.判断题
3-1A/D转换就是把模拟信号转换成连续的数字信号。
3-2只要采样频率足够高，在频域中就不会引起泄漏。
3-3如果采样频率不能满足采样定理，则会导致频谱混叠。
3-4只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠。
3-5对一个具有有限频谱)~0(
c
f的连续信号采样，若满足12
sc
Tf,采样后得到的
输出信号能恢复为原来的信号。（
s
T为采样时间间隔）
3-6选择好的窗函数对信号进行截取，可以达到能量不泄漏的目的。
70
3-7正弦信号的自相关函数，使原有的相位信息不变。
3-8信号的自相关函数为脉冲函数，则其功率谱密度函数必为常数。
3-9相关系数是表征两个变量间线性相关的密切程度，其值越大则相关越密切。
3-10互相关函数的最大值一定在0处。
3-11互相关函数是可正可负实函数。
3-12互相关函数是两个信号在频域上的关系。
3-13互相关函数是在频域中描述两个信号相似程度的函数。
3-14自相关函数是实偶函数，互相关函数也是实偶函数。
3-15相关函数和相关系数一样都可以用它们数值的大小来衡量两函数的相关程度。
3-16设信号x(t)的自功率谱密度函数为常数，则x(t)的自相关函数为常数。
3-17互相关函数是非奇非偶函数
3-18两个正弦信号间存在同频一定相关，不同频一定不相关。
3-19三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。
3-20相干函数的取值在-1与+1范围。
2.选择题
3-21数字信号处理涉及的步骤是
A.模数转换，数字信号处理，数模转换；B.采样，量化，计算；C.平移，反褶，相乘；
D.编码，传输，解码。
3-22在测试的结果分析中，相关是变量之间的。
A.线性关系；B.函数关系；C.物理联系；D.近似关系
3-23若采样信号频谱中的最高频率分量频率为2000Hz，则根据采样定理，采样频率
应选择为。
A.小于2000Hz；B.等于2000Hz；C.小于4000Hz；D.大于4000Hz
3-24当两信号的互相关函数在t
0
有峰值，表明其中一个信号和另个信号时移t
0
时，相
关程度。
A.最低；B.最高；C.适中；D.一般
3-25相干函数的取值在______范围。
A.+1与-1；B.0与+1；C.-1与0；D.任意取值
3-26正弦信号的自相关函数，使原有的相位信息______。
A.不变；B.丢失；C.相移；D.变为90°
3-27已知信号x(t)与y(t)的互相关函数为R
xy
（τ），则y(t)与x（t）的互相关函数R
yx
(τ)
为______。
A.R
xy
（τ）；B.R
xy
（-τ）；C.-R
xy
（τ）；D.-R
xy
（-τ）
3-28设信号x(t)的自相关函数为脉冲函数，则其功率谱密度函数必为______。
A.脉冲函数；B.有延时的脉冲函数；C.零；D.常数
3-29自相关函数是一个函数。
A．奇；B.偶；C.非奇非偶；D.三角
3-30对连续信号进行采样时，采样频率越高，但保持信号的记录时间不变时，则。
A.泄漏误差就越大；B.量化误差就越小；C.采样点数就越多；D.频域上的分辨率就越
71
低
3-31把连续时间信号进行离散化时产生混叠的重要原因是。
A.记录时间太长；B.采样间隔太宽；C.记录时间太短；D.采样间隔太窄
3-32A/D转换器是将信号转换成信号的装置。
A.随机信号；B.模拟信号；C.周期信号；D.数字信号
3-33已知信号的自相关函数为cos3
，这该信号的均方值为。
A.9；B.3；C.3；D.6
3-34数字信号的特征是。
A.时间上离散，幅值上连续；B.时间、幅值上离散；C.时间上连续，幅值上量化；D.
时间、幅值上都连续。
3-35两个同频率正弦信号的互相关函数。
A.保留二信号的幅值频率信息；B.只保留幅值信息；C.保留二信号的幅值、频率、相
位差信息。
3-36两个不同频率的简谐信号，其互相关函数为。
A.周期信号；B.常数；C.零
3-37信号)(tx的自功率谱密度函数)(fS
x
是。
A.)(tx的傅立叶变换；B.)(tx的自相关函数的傅立叶变换；C.与)(tx的幅值谱相等
3-38信号)(tx和)(ty的互谱)(fS
xy
是。
A.)(tx和)(ty的卷积的傅立叶变换；B.)(tx和)(ty傅立叶变换的乘积；C.)().(tytx的
傅立叶变换；D.互相关函数)(
xy
R的傅立叶变换
3-39测得某信号的相关函数为一余弦曲线，则其是正弦信号的。
A.可能；B.不可能；C.必定；D.自相关函数；E.互相关函数
3-40正弦信号)sin()(
0
txtx的自相关函数为。
A.sin2
0
x；B.cos
2
2
0
x
；C.sin
2
2
0
x
；D.cos2
0
x
3.填空题
3-41在相关分析中，自相关函数保留了原信号的信息，丢失了信息，
互相关函数这保留了信息。
3-42信号)(tx的自相关函数定义式是)(
x
R=，信号)(tx和)(ty互相关
函数的定义式是)(
xy
R=。
3-43自相关函数)(
x
R是一个周期函数，这原信号是一个；而自相关函数
)(
x
R是个脉冲信号时，这原信号是。
3-44已知某信号的自相关函数50cos100)(
x
R，这该信号的均方值
为。
3-45相关分析在工业中的主要应用有、和等应用。
3-46自谱)(fS
x
反映信号的频域结构，由于它反映的是的平方，因此其频
域结构特征更为明显。
72
3-47在同频检测技术中，两信号的频率与相关关系可用、来进行概括。
3-48常用的窗函数有。
3-49频率混叠是由于引起的，泄漏时由于所引起的。
3-50测试信号中的最高频率为100Hz，为了避免发生混叠，时域中的采样间隔应小于
s。
3-51若信号满足关系式)(.)(txkty，（式中k为常数），则其互相关系数为。
3-52频率不同的两个正弦信号，其互相关函数为。
3-53同频率的正弦信号和余弦信号，其互相关函数为。
3-54)(fS
x
和)(fS
y
分别为系统输入和输出的自谱，)(fH为系统的频响函数，它们
之间的关系满足：)(fS
y
=。如果)(fS
xy
是它们的互谱，则)(fS
xy
=。
3-55当=0时，信号的自相关函数值为，它也等于信号的。
3-56自相关函数能将淹没在噪声中信号提取出来，其保持不变，
而丢失了信息。
3-57采样定理的表达式是，其目的是为了避免信号在频域内发生混叠现
象。混叠发生在频率处。
3-58巴塞伐尔定理说明了信号在时域中计算的总能量等在频域中计算的总能量，其数
学表达式为。
3-59对周期信号应进行截断，这是获得准确频谱的先决条件。
3-60信号经截断后，其带宽将变为，因此，无论采样频率多高，将不可避免
地发生从而导致。
4．问答题
3-61信号处理的目的是什么？
3-62信号处理有哪些主要方法？各方法主要内容是什么？
3-63数字信号处理方法与模拟信号处理方法有何不同？
3-64为了符合采样定理，使信号在做数字处理时不发生混叠，可采取哪些措施？
3-65用框图说明数字信号处理的基本步骤。
3-66信号在加窗处理后会产生什么后果？如何抑制这种后果？
3-67截断会使信号的频谱发生什么变化？
3-68窗函数性能的三个频域指标是什么？对其有何要求？
3-69什么是矩形窗？它的频谱有何特点？
3-70什么是三角窗？它的频谱有何特点？
3-71什么是汉宁(Hanning)窗？它的频谱有何特点？
3-72什么是指数窗？它的频谱有何特点？
3-73对随机信号或周期信号进行加窗处理应选用哪种窗函数？说明理由。
3-74对冲击或瞬态信号进行加窗处理应选用哪种窗函数？说明理由。
3-75栅栏效应对周期信号处理有何影响？如何避免？
3-76试述正弦波信号、正弦波加随机噪声信号、窄带随机噪声信号和宽带随机噪声信
号自相关函数的特点。
3-77输入信号)(tx和输出信号)(ty的相干函数值为0、1及0～1之间，说明什么？
3-78测得某信号的相关函数图形如图3.5所示，试分析该图形是)(
x
R图形还是
73
)(
xy
R图形？为什么？从中可获得该信号的哪些信息？
图3.5相关函数图形
3-79相关分析在工程上有哪些应用？
3-80功率谱分析在工程上有哪些应用？
5．分析计算题
3-81已知某信号的自相关函数100cos100)(
x
R，试求（1）该信号的均值
x
；
（2）均方值2
x
；（3）功率谱)(fS
x
。
3-82已知某信号的自相关函数为
250sin
264
)(
x
R，试求该信号的均方值2
x
及均方根值
rms
x。
3-83已知一平稳随机信号)(tx的自相关函数为10cos102510)(10eR
x
，
求)(tx的均值、均方值及方差。
3-84已知某信号的自相关函数为)0(
4
1
)(2eR
x
，求它的自谱)(fS
x
。
3-85某信号的自相关函数为)0(2cos.
4
1
)(
0
2feR
x
，求它的自谱)(fS
x
。
3-86已知限带白噪声的功率谱密度为
0
)(0
S
fS
xBf
Bf
，求其自相关函数。
3-87已知矩形脉冲函数)(tx幅值为1，宽度为2，如图3.6所示，试求其自相关函数。
图3.6矩形脉冲时域波形图
3-88求的自相关函数，其中
0
)(
atAe
tx
)0(
)0,0(
t
at
3-89已知均值为零的信号)(
1
tx的自相关函数为)(
1
x
R，则当)()()(
1
txxtx时，
74
求)(
x
R的表达式(
x
为)(tx的直流分量)。
3-90信号)(tx由两个频率和相位均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为
)cos()cos()(
222111
tAtAtx，求该信号的自相关函数)(
x
R。
3-91应用巴塞伐尔定理求dttc)(sin2
的积分值。
3-92某系统输入信号为)(tx，输出信号为)(ty，且)()(
0
Ttxty。试求)(tx的自
相关函数)(
x
R与互相关函数)(
xy
R之间的关系。
3-93图3.7所示两信号)(tx和)(ty，求当
0时，)(tx和)(ty的互相关函数值
)0(
xy
R。说明理由。
图3.7题3-93图
3-94对三个正弦信号ttx2cos)(
1
，ttx6cos)(
2
，ttx10cos)(
3
进行采样，
采样频率Hzf
s
4。求三个采样输出序列，比较这三个结果并解释频率混叠现象。
3-95某一系统的输入信号为)(tx，若输出信号)(ty与输入信号)(tx波形相同，并且输
入的自相关函数)(
x
R和输入-输出的互相关函数的关系为)()(TRR
xyx
，说明该系
统起什么作用？
3-96若)(t是平稳随机过程，自相关函数为)(tR
，试求它通过图3.8所示的系统后
信号)(
0
t的自相关函数及功率谱密度。
图3.8题3-96图
3-97试求功率谱密度函数2)(
0
NS
N
的理想白噪声通过理想低通滤波器后的噪声
功率谱密度函数)(
y
S、自相关函数)(
y
R和输出的噪声功率
y
P。
3-98如图3.9所示，用轮廓仪对一机械加工表面的粗糙度检测信号a(t)进行自相关分
析，得到了其相关函数Ra(
)。试根据Ra(
)分析造成机械加工表面的粗糙度的原因。
延时T
相加
75
(a)粗糙度检测信号a(t)的波形(b)a(t)的自相关函数Ra()的图形
图3.9表面粗糙度的相关检测法
3-99图3.10所示是利用互相关分析法在线测量热轧钢带运动速度的测试系统。试说明
其测试原理。
图3.10利用相关分析法进行相关测速
3-100试设计利用互相关函数对汽车司机座位的振动是由发动机引起的，还是由后桥
引起的测试分析系统。
3．4习题解答
1．判断题解答
3-1×；3-2×；3-3√；3-4×；3-5×；3-6×；3-7×；3-8√；3-9×；3-10×；3-11√；3-12
×；3-13×；3-14×；3-15×；3-16×；3-17√；3-18√；3-19√；3-20×。
2．选择题解答
3-21A；3-22A；3-23D；3-24B；3-25B；3-26B；3-27B；3-28D；3-29B；3-30C；
3-31B；3-32B;D；3-33B；3-34B；3-35C；3-36C；3-37B；3-38D；3-39C;D；3-40B。
76
3．填空题解答
3-41幅值与频率；相位；幅值、频率、相位差
3-42
T
T
dttxtx
T0
)()(
1
lim；
T
T
dttytx
T0
)()(
1
lim
3-43同频率的周期信号；宽带随机信号或白噪声
3-44100
3-45同频检测；相关滤波；信号成分类别的识别
3-46)(fX
3-47同频一定相关；相关一定同频
3-48矩形窗、三角窗、汉宁（Hanning）窗、海明（Hamming）窗、高斯窗
3-49采样频率过低；信号截断
3-500.005
3-51±1
3-520
3-530
3-54
)(.)(2fSfH
x
；)().(fSfH
x
3-55最大值；均方值
3-56周期；频率；相位
3-57
cs
ff2；2/
s
f
3-58
dffXdttx22)()(
3-59整周期
3-60无限宽；混叠；误差
4.问答题解答
3-61答：（1）消除或削弱混杂在信号中的噪声、干扰，提高信噪比。
（2）将信号中感兴趣的部分强化、突出，以利分析。
（3）修正信号波形的畸变，减小测试误差。
（4）将信号变换为更符合要求的形式，便于分析、识别和解释。
3-62答：（1）频谱分析法：研究信号的频域构成。
（2）相关分析法：研究信号在不同时刻的相似性和关联性。
（3）功率谱分析法：从频域中提供相关法分析说能提供的所有信息。
3-63答：模拟信号处理方法是直接对连续时间信号进行分析处理的方法，其分析过程
是按照一定的数学模型所组成的运算网络来实现的，即使用模拟滤波器、乘法器、微分放
大器等一系列模拟运算电路构成模拟处理系统来获取信号的特征参数，如均值、均方根值、
自相关函数、概率密度函数、功率谱密度函数等；而数字信号处理方法是用数字方法处理
77
信号，它可以在专用的数字信号处理仪上进行，也可以在通用计算机上或DSP芯片上通过
编程实现。在运算速度、分辨力和功能等方面，数字信号处理技术都优于模拟信号处理技
术。
3-64答：（1）提高采样频率；
（2）降低信号中的最高频率。
3-65答：数字信号处理的基本步骤如图3.11所示。
图3.11数字信号处理系统框图
3-66答：信号在加窗处理后会产生泄漏，从而造成频谱函数的皱折效应，使频谱失真。
为了抑制这种后果，可采用增长截断长度或采样不同的窗函数措施。
3-67答：截断实际上是在时域进行乘积，由傅里叶变换的特性，时域乘积会导致频域
作卷积，因此，截断后信号的频谱等于原信号的频谱与窗函数的频谱作卷积。
3-68答：(1)3dB带宽B：它是主瓣归一化幅值20lg|W(f)/W(0)|下降到-3dB时的带宽。
当时间窗的宽度为，采样间隔为TS时，对应于N个采样点，其最大的频率分辨率可达到
1/(NTs)=1/，令
f=1/，则B的单位可以是
f。
(2)最大旁瓣峰值A(dB)：A越小，由旁瓣引起的谱失真越小。
(3)旁瓣谱峰渐进衰减速度D。
对时间窗的一般要求是其频谱(也叫做频域窗)的主瓣尽量窄，以提高频率分辨率；旁
瓣要尽量低，以减少泄漏。
3-69答：矩形窗属于时间变量的零次幂窗，它的时域表达式为
0
1
)(tw
Tt
Tt
，
其时域波形及频谱如图3.12所示。该窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负
旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。
图3.12矩形窗的时域及频域波形
3-70答：三角窗也称费杰(Fejer)窗，是幂窗的一次方形式，它的时域表达式为
0
1
)(
Tt
tw
Tt
Tt
，其时域波形及频谱如图3.13所示。三角窗与矩形窗比较，主
瓣宽约等于矩形窗的2倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。
78
图3.13三角窗的时域及频域波形
3-71答：汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为
0
2
cos
2
1
2
1
)(
T
t
tw
Tt
Tt
，其
时域波形及频谱如图3.14所示，和矩形窗比较，汉宁窗的旁瓣小得多，因而泄漏也少得多，
但是汉宁窗的主瓣较宽，致使频率分辨能力较差。
图3.14汉宁窗的时域及频域波形
3-72答：指数窗的意义为
0
)(
ate
tw
0
0
t
t
，
0a
，其时域波形及频谱如图3.15
所示，指数窗的特点是无旁瓣，主瓣较宽，频率分辨力低。
图3.15指数窗的时域及频域波形
3-73答：在截取随机信号或对周期信号的截断为非整周期时，被截取的信号两端会产
生不连续的简短点，从而会在频谱中产生额外高频成分，造成泄漏误差。汉宁窗可有效地
抑制泄漏，因此对随机信号或周期信号可加汉宁窗。
3-74答：冲击和瞬态过程的情况与随机和周期信号有所不同，这些信号随时间而衰减，
一般来说，开始时信号的信噪比较好，随着相应信号的减弱，信噪比变差。如果仍对这种
信号加汉宁窗，由于汉宁窗对信号起始端的平滑与削弱作用，则会大大影响到信号的最重
要部分。因此一般不加汉宁窗而加矩形窗（适用于冲击过程）或指数窗（适用于衰减振动
过程）。
3-75答：由于周期信号的频谱是离散的，栅栏效应会使周期信号的非采样点上重要的
信息被忽略，从而丟失的频率成分是重要的或具有特征的信息，导致整个信号处理失去意
义或失败。对周期信号处理，避免栅栏效应的极为有效的措施是“整周期截取”。
79
3-76答：（1）单一频率正弦波信号的自相关函数是同频率的余弦函数，永不衰减。
（2）正弦波加随机噪声信号的自相关函数具有明显的周期性，并且在时都不
衰减。
（3）窄带随机噪声信号的自相关函数具有缓慢的衰减性，在时，0)(
x
R。
（4）宽带随机噪声信号的自相关函数具有很快的衰减性，稍大时，0)(
x
R。
3-77答：相干函数值为0，表示输出信号和输入信号不相干，输出完全是由干扰、噪
声说引起的；相干函数为1时，表示输出信号与输入信号完全相干，习题不受干扰而且系
统是线性的；相干函数值在0～1之间，表示三种可能，一是测试中可能有外界噪声干扰，
二是输出可能是输入与其它输入的综合输出；三是联系输入信号)(tx和输出信号)(ty的系
统可能是非线性的。
3-78答：由相关分析可知，自相关函数)(
x
R是一个偶函数，它在)0(
x
R处有最大值；
互相关函数)(
xy
R是非偶函数，它在)0(
xy
R处也不一定为最大。因题图中图形为非偶函数
图形，且在
0
处相关函数值不是最大值，所以该图形是互相关函数)(
xy
R的图形。由
图中还可知，信号)(tx和)(ty是两个同频的周期信号，圆频率为，均值为零，对应的信
号幅值为
0
x、
0
y，两信号相位差为，则有A
yx
2
00，
T
2
，
T
2
。
3-79答：应用相关分析可以辨识不同类别信号、有效地检测出信号中有无周期成分、
线性定位和相关测速测距；还可以分析复杂信号的频谱、在混有周期成分的信号中提取特
定的频率成分等。
3-80答：应用功率谱分析可获取系统的频率结构特性、测定系统的滞后时间、对设备
进行故障诊断和对选择机械振动特性进行检测等。
5.分析计算题解答
3-81解：（1）由于100cos100)(
x
R为周期不衰减的余弦函数，则原信号)(tx应
为同频率的正弦信号，即tAtx100sin)(，根据信号均值的定义得：
T
x
tdtA
T0
0100sin
1
（2）根据自相关函数的性质可知信号的均方值为：
100)0100cos(100)0(2
xx
R
（3）信号的频率为Hzf50
0
，根据自谱的定义得:
]100cos100[)]([)(FRFfS
xx
)]50()50([50ff
3-82解：
250
250sin(
6400250sin
264
)(
x
R
所以6400
250
250sin(
6400lim)0(
0
2
xx
R
8064002
xrms
x
80
3-83解：给出的相关函数中存在有周期分量，令2510)(10
1
eR
x
，
10cos10)(
2
x
R则)()()(
21
xxx
RRR，而)(
2
x
R是周期分量，其均值为0，所
以)(tx的均值为：
25)2510(lim)(lim10
1
2
eR
xx
，5
x
，均方值为45)0(2
xx
R，
方差为202545222
xxx
3-84解：根据自谱的定义有：
deedeRfSfjfj
xx
2
2
2.
4
1
).()(
0
)22(
0
)22(dedefjfj
22)2(4
22
1
22
1
4
1
f
fjfj
3-85解：由题3-84可知：
222
2
44
)
4
1
(
f
eF
而)]()([
2
1
)2(cos
000
fffffF
两信号在时域中的乘积的傅立叶变换等于该两信号的傅立叶变换在频域中的卷
积，即：
)2(cos)
4
1
()2cos.
4
1
(
0
2
0
2fFeFfeF
所以该信号的自谱为：
)]()([
2
1
44
)(
00
222
ffff
f
fS
x
2
0
222
0
22)(44)(44
2
1
ffff
3-86解：dfeSdfefSRfj
B
B
fj
xx
2
0
2)()(
)2(sin2)]2sin(2[
2
)(
20
0
22
0
BcBSBj
j
S
ee
j
S
BBj
解析：限带白噪声的自相关函数为一
csin
函数，带宽越大，
csin
函数的尖峰越突出。
3-87解：已知矩形脉冲函数
)2t0(t0
)02(1
)(
或
t
tx
对非周期信号，自相关函数为
2
0
02
20
22
2
2
0
)()()()(
或
dttxdttxtxR
x
81
3-88解：瞬态信号的自相关函数表示为：
dttxtxR
x
)()()(
aaattaat
x
e
a
A
e
a
A
dteeAR
2
|
2
)(
2
0
)2(
2
0
)(2
3-89解：
T
T
x
dttxtx
T
R
0
)().(
1
lim)(
T
xx
T
dttxtx
T0
11
)]()].[([
1
lim
)(
1
2
xx
R
3-90解：设)cos()(
1111
tAtx，)cos()(
2222
tAtx，则
1
2
1
1
cos
2
)(
A
R
x
，
2
2
2
2
cos
2
)(
A
R
x
，由)()()(
21
txtxtx可得)(tx的自相关
函数为：
)()()()()(
212211
xxxxxxx
RRRRR
因为
21
，所以0)()(
1221
xxxx
RR
所以
2
2
2
1
2
1
21
cos
2
cos
2
)()()(
AA
RRR
xxx
3-91解：由于抽样函数的频谱是窗函数，如图3.16所示，根据巴塞伐尔定理有：
2
1
1
222)(sin
ddttc
图3.16抽样函数时域波形及频域波形图
3-92解：因为)()(
0
Ttxty，所以)()(
0
Ttytx，根据定义有：
T
T
x
dttxtx
T
R
0
)()(
1
lim)(
)()()(
1
lim
0
0
0
TRdtTtytx
Txy
T
T
所以)()(
0
TRR
xyx
3-93解：由于方波信号)(ty的傅立叶级数展开式为
)3sin
3
1
(sin
4
)(
00
ttty
，仅有基频分量的频率
0
与)(tx的频率一致。根据同
频相关，不同频不相关的原则，在互相关函数中奖仅存基频
0
成分。并且由图示可知，)(ty
基频分量
t
0
sin
4
与ttx
0
cos)(间存在有90的相位差，所以互相关函数表达式如下：
82
)90cos(
2
)(00
yx
R
xy
当
0时，0)0(
xy
R
3-94解：时域采样脉冲序列为：
n
nTtng)()(，)(tx的采样序列为：
)()().()().()(
ˆ
nTxnTttxtgtxnx
n
当采样频率Hzf
s
4时，这采样间隔41
s
T，所以有：
nnnxnx
2
cos)
4
1
.2cos()
4
1
()(
ˆ
11
nnnxnx
2
3
cos)
4
1
.6cos()
4
1
()(
ˆ
22
nnnxnx
2
5
cos)
4
1
.10cos()
4
1
()(
ˆ
33
所以)()()(
321
nxnxnx，说明不同频率的信号经相同频率采样，其结构却一样了，
原因在于后者不满足采样定理，发生了频率混叠。
3-95答：因为)(ty与)(tx的波形形状相同，可设)()(
0
TtAxty，其中
A
、
0
T为
常数，则有:
T
T
x
dttxtx
T
R
0
)()(
1
lim)(,
T
T
xy
dttytx
T
R
0
)()(
1
lim)(
T
T
dtTtAxtx
T0
0
)()(
1
lim，由)()(TRR
xyx
得恒等式为：
T
T
T
T
dtTTtAxtx
T
dttxtx
T0
0
0
)()(
1
lim)()(
1
lim
显然可得
1A
，TT
0
，所以)()(Ttxty，可见该系统为一延时系统。
3-96解：)()()(
0
Tttt
故
dttt
T
RT
T
)()(
1
lim)(
0
0
00
dtTttTtt
T
T
T
)()()][()([
1
lim
0
dtTtTttTtTtttt
T
T
T
0
)()()()()()()()(
1
lim
)()()(2)()()()(TRTRRRTRTRR
根据)()(fSR
可得自谱为：
fTjfTjefSefSfSfS
22
0
)()()(2)(
)()2cos1(2fSfT
3-97解：设理想低通滤波器的截止频率为
c
，这频域的系统函数可表示为：
83
0
)(d
tjKe
H
其它
c
所以22|)(|KH，输出功率谱密度函数为:
2)()()(
0
2
2NKSHS
Ny
自相关函数为：
cc
jj
yy
cfNKde
NK
deSRc
c
sin
4
)(
2
1
)(
0
2
0
2
输出噪声功率为
cyy
fNKRP
0
2)0(
3-98解：观察a(t)的自相关函数Ra(t)，发现Ra(t)呈周期性，这说明造成粗糙度的原因
之一是某种周期因素。从自相关函数图可以确定周期因素频率为
HzTf6)35.0(11。
根据加工该工件的机械设备中的各个运动部件的运动频率(如电动机的转速，拖板的往
复运动次数，液压系统的油脉动频率等)，通过测算和对比分析，运动频率与6Hz接近的部
件的振动，就是造成该粗糙度的主要原因。
3-99答：测试系统由性能相同的两组光电池、透镜、可调延时器和相关器组成。在沿
钢板运动的方向上相距d处的下方，安装两个凸透镜和两个光电池。当运动的热轧钢带表
面的反射光经透镜聚焦在相距为d的两个光电池上时，反射光强弱的波动，通过光电池转
换成电信号，经可调延时器延时，再把这两个电信号进行互相关分析，当可调延时等于钢
带上某点在两个测点之间经过所需的时间时，互相关函数为最大值。所测钢带的运动速度
为v=d/。
3-100答：在发动机、司机座位、后桥上布置加速度传感器，如图3.17所示，然后将
输出信号放大并进行相关分析。根据相关分析波形可以判断汽车司机座位的振动是由发动
机引起的，还是由后桥引起的。例如相关分析结果如图3.17所示，就可以认为发动机与司
机座位的相关性较差，而后桥与司机座位的互相关较大，因此，可以认为司机座位的振动
主要由汽车后桥的振动引起的。
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图3.17汽车司机座位振动测试系统图