十字相乘法分解因式
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2023年2月25日发(作者：边界元法)十字相乘法分解因式
1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘
再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次
方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算
量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用
十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘
法比较难学。
5、十字相乘法解题实例：
1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目
例1把m²+4m-12分解因式
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成
-2×6时，才符合本题
解：因为1-2
1╳6
所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）
例2把5x²+6x-8分解因式
分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，
常数项分为-4×2时，才符合本题
解：因为12
5╳-4
所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3解方程x²-8x+15=0
分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为1-3
1╳-5
所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0
所以x1=3x2=5
例4、解方程6x²-5x-25=0
分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以
分成-1×25，-5×5，-25×1。
解：因为2-5
3╳5
所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0
所以x1=5/2x2=-5/3
2)、用十字相乘法解一些比较难的题目
例5把14x²-67xy+18y²分解因式
分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7,18y²
可分为y.18y,2y.9y,3y.6y
解:因为2-9y
7╳-2y
所以14x²-67xy+18y²=(2x-9y)(7x-2y)
例6把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式
解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=10x²-（27y+1）x-（28y²-25y+3）4y-3
7y╳-1
=10x²-（27y+1）x-（4y-3）（7y-1）
=[2x-（7y-1）][5x+（4y-3）]2-（7y–1）
5╳4y-3
=（2x-7y+1）（5x+4y-3）
说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y-1），再用十字相乘法
把10x²-（27y+1）x-（4y-3）（7y-1）分解为[2x-（7y-1）][5x+（4y-3）]
解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=（2x-7y）（5x+4y）-（x-25y）-32-7y
=[（2x-7y）+1][（5x-4y）-3]5╳4y
=（2x-7y+1）（5x-4y-3）2x-7y1
5x-4y╳-3
说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x-7y）（5x+4y）,再把（2x-7y）
（5x+4y）-（x-25y）-3用十字相乘法分解为[（2x-7y）+1][（5x-4y）-3].
例7：解关于x方程：x²-3ax+2a²–ab-b²=0
分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解
解：x²-3ax+2a²–ab-b²=0
x²-3ax+（2a²–ab-b²）=0
x²-3ax+（2a+b）（a-b）=01-b
2╳+b
[x-（2a+b）][x-（a-b）]=01-（2a+b）
1╳-（a-b）
所以x1=2a+bx2=a-b如何使用十字相乘法分解因式及练习题
形如2X2表示的是2X的平方
例1把2x2－7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
11
23
1×3+2×1=5
13
21
1×1+2×3=7
1－1
2－3
1×(－3)+2×(－1)=－5
1－3
2－1
1×(－1)+2×(－3)=－7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数
－7.
解2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).
一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，
即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1c1
a2c2
a1a2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项
系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，
即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常
叫做十字相乘法.
例2把6x2－7x－5分解因式.
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同
的排列方法，其中的一种
21
3－5
2×(－5)+3×1=－7
是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因
式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把
常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是
1－3
15
1×5+1×(－3)=2
所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).
例3把5x2+6xy－8y2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项
及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，
即
12
5－4
1×(－4)+5×2=6
解5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法
运算，把变形后的多项式再因式分解.
问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，
然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项
式，就可以用十字相乘法分解因式了.
解(x－y)(2x－2y－3)－2
=(x－y)[2(x－y)－3]－2
=2(x－y)2－3(x－y)－2
=[(x－y)－2][2(x－y)+1]
=(x－y－2)(2x－2y+1).
1－2
2+1
1×1+2×(－2)=－3
指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
三、课堂练习
1.用十字相乘法分解因式：
(1)2x2－5x－12；(2)3x2－5x－2；(3)6x2－13x+5；
(4)7x2－19x－6；(5)12x2－13x+3；(6)4x2+24x+27.
2.把下列各式分解因式：
(1)6x2－13xy+6y2；(2)8x2y2+6xy－35；(3)18x2－21xy+5y2；(4)2(a+b)2+(a+b)(a
－b)－6(a－b)
四、小结
1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：
(1)正确的十字相乘必须满足以下条件：
a1c1
在式子中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的
a2c2
两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b.
(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1
是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中
的一次项的系数，c2是常数项.
(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把
它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.
2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.
3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法
分解因式，如例4.
五、作业
1.用十字相乘法分解因式：
(1)2x2+3x+1；(2)2y2+y－6；(3)6x2－13x+6；(4)3a2－7a－6；
(5)6x2－11xy+3y2；(6)4m2+8mn+3n2；
(7)10x2－21xy+2y2；(8)8m2－22mn+15n2.
2．把下列各式分解因式：
(1)4n2+4n－15；(2)6a2+a－35；(3)5x2－8x－13；(4)4x2+15x+9
(5)15x2+x－2；(6)6y2+19y+10；(7)20－9y－20y2；
(8)7(x－1)2+4(x－1)(y+2)－20(y+2)