广东高考数学

广东高考数学

-电商实习周记

2023年2月23日发(作者：深度千分尺)

2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3

至8页。共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A

或B）用铅笔涂写在答题卡上，同时将才生号条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2．每小题选出答案后，用铅笑把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：

三角函数的积化和差公式

)]cos()[cos(

2

1

sinsin

)]sin()[sin(

2

1

sincos

)]sin()[sin(

2

1

cossin













正棱台、圆台的侧面积公式

lS)cc(

2

1







台侧

其中

c

、

c

分别表示上、下底面周长，

l

表示斜高或母线长

台体的体积公式

hSSSV)S(

3

1







台体

其中

S

、

S

分别表示上、下底面积，

h

表示高。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合],43,2,1[A，那么A的真子集的个数是：

（A）15（B）16（C）3（D）4

（2）在复平面内，把复数i33对应的向量按顺时钟方向旋转

3



，所得向量对应的

复数是：

（A）23（B）i32（C）3i3

（D）3+i3

（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是

2

，3，6，这个长方体对角线

的长是：

（A）23（B）3

2

（C）6（D）6

（4）已知

sin＞

sin

，那么下列命题成立的是

（A）若、是第一象限角，则

cos＞

cos



（B）若、是第二象限角，则

tg＞

tg



（C）若、是第三象限角，则

cos＞

cos



（D）若、是第四象限角，则

tg＞

tg



（5）函数xxycos的部分图象是

（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的

部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额税率

不超过500元的部分

5%

超过500元至2000元的部分

10%

超过2000元至5000元的部分

15%

„„

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于

（A）800~900元（B）900~1200元（C）1200~1500元（D）1500~2800元

（7）若

a

＞

b

＞1，

















2

lg),lg(lg

2

1

,lglg

ba

RbaQbaP，则

（A）R＜P＜Q（B）P＜Q＜R（C）Q＜P＜R（D）P＜R＜Q

（8）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是

（A）















4

cos2



（B）















4

sin2





（C）1cos2（C）1sin2

（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是

（A）





2

21

（B）





4

41

（C）



21

（D）





2

41

（10）过原点的直线与圆2x+2y+

x4

+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程

是

（A）xy3（B）xy3（C）xy

3

3

（D）xy

3

3



（11）过抛物线

)0(2aaxy的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF

与FQ的长分别是p、q，则

p

1

+

q

1

等于

（A）

a2

（B）

a2

1

（C）

a4

（D）

a

4

（12）如图，

OA

是圆雏底面中心

O

互母线的垂线，

OA

绕轴

旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹

角的余弦值为

（A）

32

1

（B）

2

1

（C）

2

1

（D）

n2

1

2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚，并在试卷右上角填上座位号。

题号二

三

总分

2

分数

得分评卷人

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安

排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共

有种（用数字作答）。

（14）椭圆

1

49

22



yx

的焦点

1

F、

2

F

，点P为其上的动点，当∠

1

F

P

2

F

为钝角时,

点P横坐标的取值范围是。

（15）设

n

a

是首项为1的正项数列，且（n+1）

0

1

2

2

1



nnnn

aanaa

(n=1，2，3，„)，

则它的通项公式是

n

a。

（16）如图，E、F分别为正方体面ADD

1

A

1

、面BCC

1

B

1

的中

心，则四边形BFD

1

E在该正方体的面上的射影可能

是。

（要求：把可能的图序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤。

得分评卷人

（17）（本小题满分12分）

已知函数Rxxxy,cossin3

（Ⅰ）当函数取得最大值时，求自变量

x

的集合；

（Ⅱ）该函数的图象可由)(sinRxxy的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

得分评卷人

（18）（本小题满分12分）

设

n

a为等比数例，

nnn

aaannaT

121

2)1(，已知

1

1

T

，

4

2

T

。

（Ⅰ）求数列

n

a的首项和公式；

（Ⅱ）求数列

n

T的通项公式。

得分评卷人

（19）（本小题满分12分）

如图，已知平行六面体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

的底面ABCD上菱形，且∠C

1

CB=∠C

1

CD=

∠BCD，

（Ⅰ）证明：C

1

C⊥BD；

（Ⅱ）当

1

CC

CD

的值为多少时，能使A

1

C⊥平面C

1

BD？

请给出证明。

得分评卷人

（20）（本小题满分12分）

设函数

axxxf1)(2，其中

0a

。

（Ⅰ）解不等式)(xf≤1；

（Ⅱ）证明：当

a

≥1时，函数)(xf在区间[0，+∞]上是单调函数。

得分评卷人

（21）（本小题满分12分）

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售

价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的

抛物线段表示。

（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式)(tfp；

写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式)(tgQ；

（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）

得分评卷人

（22）（本小题满分14分）

如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为



，双曲线过C、

D、E三点，且以A、B为伪点，当

4

3

3

2

时，求双曲线离心率c的取值范围。

2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学试题参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如

果考生的解法与本解答不局，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细

则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的

一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空不给中间分。

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

A型卷答案

（1）A（2）B（3）D（4）D（5）D（6）C（7）B（8）

C（9）A

（10）C（11）C（12）D

B型卷答案

（1）C（2）B（3）D（4）D（5）D（6）A（7）B（8）

A（9）C（10）A（11）A（12）D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

（13）252（14）

5

3

5

3

x

（15）

n

1

（16）○2○3

三、解答题

（17）本小题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能以及

运算能力。满分12分。

解：（1）



































6

sincos

6

cossin2

cos

2

1

sin

2

3

2

cossin3



xx

xx

xxy

Rxx













,

6

sin2



。„„

„„3分

取得最大值必须且只需

即

,,2

3

,,2

26

Zkkx

Zkkx













所以，使函数取得最大值的自变量

x

的集合为

},,2

3

|{Zkkxx



„„„„6分

（Ⅱ）变换的步骤是：

（1）把函数xysin的图象向左平移,

6



得到„„„„9分















6

sin



xy的图象；

（2）令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到















6

sin2



xy的图象；

经过这样的变换就得到函数xxycossin3的图

象。„„„„12分

（18）本小题主要考查等比数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分。

（Ⅰ）解：设等比数列

n

a以比为q，则

)2(2,

121211

qaaaTaT

。„„„„2分

∵

4,1

21

TT

，

∴

2,1

1

qa

。„„„„4分

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知

2,1

1

qa

，故11

1

2nn

n

qaa,

因此，1221222)1(1nn

n

nnT，„„„„6

分

∴

22-

21

222

-

2222

]21222)1(1[-

21222)1(2

2

1

12

1-n2

12























n

n

nn

n

nn

nnn

n

~

-

n

-n

nn

nn

TTT







12)2(nn。„„„„12

分

解法二：设

nn

aaaS

21

。

由（Ⅰ）知12n

n

a。

∴

12

2211





n

n

n

S

„„„„6分

∴

分

分

1222

21

222

222

121212

10S

)()(a

2)1(

1

21

121211

121













n

n

)-n(

)-()-()(

SS

aaaaaa

aaannaT

n

n

nn

nn

n

nn

nnn



























（19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分。

（Ⅰ）证明：连结

1

A

1

C、

AC

和BD交于

O

，连结

OC

1

。

∵四边形ABCD是菱形，

∴

AC

⊥BD，

BC

=

CD

。

又∵∠

BC

1

C=∠

1

DCC

，

CC

1

=

CC

1

，

∴

DCCBCC

11



，

∴

1

CB=

1

CD，

∵

OBDO

∴

BDOC

1

，3分

但

OOCACBDAC

1

,

，

∴BD平面

1

AC

。

又

CC

1

平面

1

AC

，

∴

CC

1

BD。„„„„6分

（Ⅱ）当1

1



CC

CD

时，能使

CA

1

平面

BDC

1

。

证明一：

∵1

1



CC

CD

，

∴

CCCDBC

1



，

又

CDCCBCBCD

11



，

由此可推得

DCBCBD

11



。

∴三棱锥

BDCC

1



是正三棱锥。„„„„9分

设

CA

1

与

OC

1

相交于

G

。

∵

ACCA//

11

，且

11

CA：

2OC

：1，

∴

GC

1

：

GO

=2：1。

又

OC

1

是正三角形

BDC

1

的BD边上的高和中线，

∴点

G

是正三角形

BDC

1

的中心，

∴

CG

平面

BDC

1

，

即

CA

1

平面

BDC

1

。„„„„12分

证明：

由（Ⅰ）知，

BC

平面

1

AC

，

∵

CA

1

平面

1

AC

，∴

CABD

1



。„„„„9分

当1

1



CC

CD

时，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同

CABD

1



的正法可得

CABC

11



。

又

BBCBD

1



，

∴

CA

1

平面

BDC

1

。„„„„12分

（20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想

方法和运算、推理能力，满分12分。

（Ⅰ）解：不等式1)(xf即

axx112，

由此得

ax11

，即

0ax

，其中常数

0a

。

所以，原不等式等价于











.0

,)1(122

x

axx

即











02)1(

,0

2axa

x

„„„„3分

所以，当

10a

时，所给不等式的解集为}

1

2

0|{

2a

a

xx



；

当

1a

时，所给不等式的解集为}0|{xx。„„„„6分

（Ⅱ）证明：在区间),0[上任取

21

,xx

使得

21

xx

分9.

11

)(

)(

11

)(11)()(

2

2

2

1

21

21

21

2

2

2

1

2

2

2

1

21

2

2

2

121





































a

xx

xx

xx

xxa

xx

xx

xxaxxxfxf

∵1a,1

112

2

2

1

21





且

xx

xx

，

∴0

112

2

2

1

21a

xx

xx







，

又

0

21

xx

，

∴

0)()(

21

xfxf

，

即

)()(

21

xfxf

。

所以，当

1a

时，函数)(xf在区间),0[上是单调递减函数。„„„„12分

（21）本小题主要考查由函数图建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学

知识解决实际问题的能力，满分12分。

解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为













300t2003002

200,t0,300

)(

t

t

tf

分2

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

300t0,100)150(

20

1

)(2ttg。„„„„4分

（Ⅱ）设

t

时刻的纯收益为)(th，则由题意得

)(th=)(tf)(tg，

即

)(th=



















300t200,

2

1025

2

7

200

1

-

200,t0,

2

175

2

1

200

1

2

2

tt

tt

„„„„6分

当

2000t

时，配方整理得

)(th=100)50(

200

1

2t。

所以，当

50t

时，)(th取得区间[0，200]上的最大值100；

当

300200t

时，配方整理得

)(th=100)350(

200

1

2t，

所以，当

300t

时，)(th取得区间（200，300）上的最大值87.5„„„„

10分

综上，由

5.87100

可知，)(th在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时

50t

，

即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最

大。„„„„12分

（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算

能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分。

解：如图，以AB的垂直平分线为轴，直线AB为

x

轴，建立直角坐标系xO，则

CD轴。

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对

称，„„„„2分

依题意，记),(,,),0,(

00

2

yxEhCcAc，其中||

2

1

ABc为双曲线的半焦距，

h

是梯

形的高，由定比分点坐标公式得

.

1

,

)1(2

)2(

1

0

2

0































h

c

c

x

c

设双曲线的方程为

1

2

2

2

2



b

y

a

x

，则离心率

a

c

e，由点C、E在双曲线上，将点C、E

坐标和

a

c

e代入双曲线的方程，得

1

42

22



b

he

，○1

1

11

2

42

2

22

2



































b

he









.○2„„„„

7分

由○1式得1

4

2

2

2



e

b

h

，○3

将○3式代入○2式，整理得

21)44(

4

2



e

，

故

2

3

1

2



e

„„„„10分

由题设

4

3

3

2

得，

4

3

2

3

1

3

2

2







e

。

解得107e，

所以，双曲线的离心率的取值范围为[10,7]，„„„„14分