log求导

发布时间：2023-06-08 作者：admin 来源：文学

log求导

-登九峰楼寄张祜

2023年2月23日发(作者：川崎病的诊断标准)

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1．基本求导公式

⑴0)(



C（C为常数）⑵1)(

nnnxx；一般地，1)(

xx。

特别地：1)(



x，xx2)(2



，

)

(





，

)(



。

⑶xxee



)(；一般地，)1,0(ln)(



aaaaaxx。

⑷

)(ln



；一般地，)1,0(

)(log



。

2．求导法则⑴四则运算法则

设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）)()())()((xgxfxgxf











；

（Ⅱ）)()()()())()((xgxfxgxfxgxf











，特别)())((xfCxCf







（C为常数）；

（Ⅲ）)0)((,

)(

)()()()(

)

)(

(













xgxfxgxf

，特别

1()

()



。

3．微分函数()yfx在点x处的微分：()dyydxfxdx





4、常用的不定积分公式

（1）













dxx

dxxc

xdxcxdxCxdxx

,),1(

1





；

（2）Cxdx

||ln

；Cedxexx；)1,0(

aaC

dxa

x；

（3）dxxfkdxxkf)()(（k为常数）

5、定积分

⑴b

dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()]()([

2121

⑵分部积分法

设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数)(),(xvxu



，则

6、线性代数

特殊矩阵的概念

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（1）、零矩阵,

22















O（2）、单位矩阵















100

010

001







I二阶,

22















(3)、对角矩阵















000





(4)、对称矩阵

















752

531

212

,Aaa

jiij

(5)、上三角形矩阵















aaa

000

222

11211





下三角形矩阵















000





(6)、矩阵转置















nnnn

aaa







22221

11211

转置后















nnnn

aaa







22212

12111

6、矩阵运算













































hdgc

fbea

7、MATLAB软件计算题

例6试写出用MATLAB软件求函数)eln(2xxxy的二阶导数y



的命令语句。

解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));

>>dy=diff(y,2)

例：试写出用MATLAB软件求函数

)eln(xxy的一阶导数y



的命令语句。

>>clear;

>>symsxy;

>>y=log(sqrt(x)+exp(x));

>>dy=diff(y)

例11试写出用MATLAB软件计算定积分2

13x

x的命令语句。

解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=(1/x)*exp(x^3);

>>int(y,1,2)

例试写出用MATLAB软件计算定积分x

xde

13的命令语句。

解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=(1/x)*exp(x^3);

>>int(y)

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MATLAB软件的函数命令

表1MATLAB软件中的函数命令

函数

MATLAB

运算符号

运算符+-*/^

功能加减乘除乘方

典型例题

例1设某物资要从产地A1，A2，A3调往销地B1，B2，B3，B4，运输平衡表（单位：吨）和运价表（单位：百

元/吨）如下表所示：

运输平衡表与运价表

销地

产地

B1B2B3B4供应量B1B2B3B4

A17311311

A241928

A3974105

需求量365620

（1）用最小元素法编制的初始调运方案，

（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。

解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：

运输平衡表与运价表

找空格对应的闭回路，计算检

验数：?

＝1，?



＝0，?

＝－2

已出现负检验数，方案需要调

整，调整量为1

调整后的第二个调运方案如

下表：

运输平衡表与运价表

销地

产地

B1B2B3B4供应量B1B2B3B4

A1527311311

A23141928

A363974105

需求量365620

求第二个调运方案的检验数：?

＝－1

已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为2

调整后的第三个调运方案如下表：

销地

产地

B1B2B3B4供应量B1B2B3B4

A1437311311

A23141928

A363974105

需求量365620

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运输平衡表与运价表

销地

产地

B1B2B3B4供应量B1B2B3B4

A1257311311

A21341928

A363974105

需求量365620

求第三个调运方案的检验数：

＝2，?

＝1，?

＝2，?

＝1，?

＝9，?

＝12

所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：

2×3＋5×3＋1×1＋3×8＋6×4＋3×5＝85（百元）

例2某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，

均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4

公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润

分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每

天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。

1．试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。

2.写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。

解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件、x2件和x3件，显然x1，x2，x3≥0

线性规划模型为

2．解上述线性规划问题的语句为：

>>clear;

>>C=-[400250300];

>>A=[445;636];

>>B=[180;150];

>>LB=[0;0;0];

>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

例3已知矩阵

















































210

101

CBA，，，求：TCAB

解：





























































































210

101

CAB

例4设y＝(1＋x2)lnx，求：y



解：

xxxxxxy

ln2))(ln1(ln)1(















例5设





，求：y



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解：

22)1(

)1(

)1(e)1()e(

xxx

















例7某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加1万元，销售该产品q百

台的收入为R(q)＝4q－0.5q2（万元）。当产量为多少时，利润最大？最大利润为多少？

解：产量为q百台的总成本函数为：C(q)＝q＋2

利润函数L(q)＝R(q)－C(q)＝－0.5q2＋3q－2

令ML(q)＝－q＋3＝0得唯一驻点q＝3（百台）

故当产量q＝3百台时，利润最大，最大利润为

L(3)＝－0.5×32＋3×3－2＝2.5（万元）

例8某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库

存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

解：库存总成本函数

1000000000

)(

令0

1000000000

)(





qC得定义域内的唯一驻点q＝200000件。

即经济批量为200000件。

例9计算定积分：1

d)e3(xxx

解：

e3)e3

(d)e3(|1

xxxxx

例10计算定积分：

2d)

解：3ln2

|)|ln2

(d)

(|3

2xxx

教学补充说明

1.对编程问题，要记住函数ex，lnx，

在MATLAB软件中相应的命令函数exp(x)，log(x)，sqrt(x)；

2对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：

xxaa



1

d（a≠－1）

7.记住两个函数值：e0＝1，ln1＝0。

模拟试题

一、单项选择题：（每小题4分，共20分）

1.若某物资的总供应量（C）总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，

并取各产地到该销地的单位运价为0，则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。

(A)等于(B)小于

(C)大于(D)不超过

2．某物流公司有三种化学原料A1，A2，A3。每公斤原料A1含B1，B2，B3三种化学成分的含量分别为0.7公斤、

0.2公斤和0.1公斤；每公斤原料A2含B1，B2，B3的含量分别为0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料A3

含B1，B2，B3的含量分别为0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。每公斤原料A1，A2，A3的成本分别为500元、300元

和400元。今需要B1成分至少100公斤，B2成分至少50公斤，B3成分至少80公斤。为列出使总成本最小的线性

规划模型，设原料A1，A2，A3的用量分别为x1公斤、x2公斤和x3公斤，则目标函数为（D）。

(A)maxS＝500x1＋300x2＋400x3(B)minS＝100x1＋50x2＋80x3

(C)maxS＝100x1＋50x2＋80x3(D)minS＝500x1＋300x2＋400x3

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3.设































A，并且A＝B，则x＝（C）。

(A)4(B)3

4．设运输某物品q吨的成本（单位：元）函数为C(q)＝q2＋50q＋2000，则运输该物品100吨时的平均成本

为（A）元/吨。

(A)170(B)250

5.已知运输某物品q吨的边际收入函数为MR(q)，则运输该物品从100吨到300吨时的收入增加量为

（D）。

(A)

)0(d)(

300

100

CqqMR(B)100

300

d)(qqMR

(C)qqMRd)((D)300

100

d)(qqMR

二、计算题：（每小题7分，共21分）

6．已知矩阵

















































210

101

CBA，，，求：AB＋C

解：































































































210

101

CAB

7.设



，求：y



解：

)1(

ln3

)1(

)1()(ln)1()(ln

xxxx





















8.计算定积分：

3d)e2(xxx

解：

e2)e2

(d)e2(|1

3xxxxx

三、编程题：（每小题6分，共12分）

9.试写出用MATLAB软件求函数)eln(2xxxy的二阶导数y



的命令语句。解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));

>>dy=diff(y,2)

10.试写出用MATLAB软件计算定积分1

dexxx的命令语句。

解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=x*exp(sqrt(x));

>>int(y,0,1)

四、应用题（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）

11.某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库

存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

解：库存总成本函数

1000000000

)(

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令0

1000000000

)(





qC得定义域内的惟一驻点q＝200000件。

即经济批量为200000件。

12.某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均

为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、

4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为

400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供

应180公斤，工时每天只有150台时。试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得

利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。

解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件、x2件和x3件，显然x1，x2，x3≥0

线性规划模型为

解上述线性规划问题的语句为：

>>clear;

>>C=-[400250300];

>>A=[445;636];

>>B=[180;150];

>>LB=[0;0;0];

>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

线性规划习题

1.某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A，B，C三种不同的原料，从工艺资料知道：每生产一

件产品甲，需用三种原料分别为1，1，0单位；生产一件产品乙，需用三种原料分别为1，2，1单位。每天原料

供应的能力分别为6，8，3单位。又知，销售一件产品甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利

润4万元。试写出能使利润最大的线性规划模型，并用MATLAB软件计算（写出命令语句，并用MATLAB软件运行）。

解：设生产甲产品

x吨，乙产品

吨。

线性规划模型为：

用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：

>>clear;

>>C=-[34];

>>A=[11;12;01];

>>B=[6;8;3];

>>LB=[0;0];

>>[X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

2.某物流公司有三种化学产品A1，A2，A3都含有三种化学成分B1，B2，B3，每种产品成分含量及价格(元/斤)

如下表，今需要B1成分至少100斤，B2成分至少50斤，B3成分至少80斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。