三角函数图像与性质

三角函数图像与性质

-思维导图数学

--

三角函数的图像与性质

一、正弦函数、余弦函数的图像与性质

二、正切函数的图象与性质

定义域

{|,}

2

xxkkZ





函数y＝sinxy＝cosx

图

象

定义域

RR

值域[－1,1][－1,1]

单调性

递增区间：

2,2()

22

kkkZ













递减区间：

3

2,2()

22

kkkZ













递增区间：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)

递减区间：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)

最值

x＝2kπ＋

π

2

(k∈Z)时，y

max

＝1；

x＝2kπ－

π

2

(k∈Z)时，y

min

＝－1

x＝2kπ(k∈Z)时，y

max

＝1；

x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y

min

＝－1

奇偶性奇函数偶函数

对称性

对称中心：(kπ，0)(k∈Z)（含原点）

对称轴：x＝kπ＋

π

2

，k∈Z

对称中心：(kπ＋

π

2

，0)(k∈Z)

对称轴：x＝kπ，k∈Z（含y轴）

最小正周期

2π2π

--

值域

R

单调性

递增区间

(,)()

22

kkkZ





奇偶性奇函数

对称性

对称中心：

(,0)()

2

k

kZ



（含原点）

最小正周期

π

三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换

1.由

xysin

的图象得到

)sin(xAy

(

0,0A

)的图象

xysin

方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移

操作向左平移φ个单位

横坐标变为原来的

1



倍

结果

)sin(xyxysin

操作

横坐标变为原来的

1



倍

向左平移





个单位

结果

)sin(xy

操作纵坐标变为原来的A倍

结果

)sin(xAy

注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一

定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。

2.

)sin(xAy

(

0,0A

)的性质

（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：

将

x

看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出；

（2）奇偶性：只有当



取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：

)sin(xAy

，当

k

时为奇函数，当

2



k

时为偶函数；

（3）最小正周期：



2

T

--

3.y＝Asin(ωx＋φ),x∈[0,+∞)(

0,0A

)中各量的物理意义

(1)A称为振幅；(2)

2

T







称为周期；(3)

1

f

T



称为频率；

(4)

x

称为相位；(5)



称为初相(6)



称为圆频率.