积分求面积
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2023年2月23日发(作者：悯农一古诗)用定积分求面积的技巧
求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定
积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.
一、巧选积分变量
求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便.
例1求抛物线22yx与直线
4yx
围成的平面图形的面积．
例2解析：如图1，解方程组
22
4
yx
yx
，
，
得两曲线的变点为
(22)(84)，，，
．
方法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是
两部分之和，即
33
28
288
22
022
02
42
22(24)22418
3032
Sxdxxxdxxxx|||
．
方法二：选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即
2
4
234
2
2
11
4418
226
y
Syydyyy
|．
点评：从上述两种解法可以看出，对y积分比对x积分计算简捷.因此，应用定积分求
平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y积分时，积分函数应
是
()xy
，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为2
1
4
2
xyxy，
的形式，然后求
得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，
即定积分的值不会改变.
二、巧用对称性
在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计
算过程的常用手段.
例2求由三条曲线2241yxyxy，，所围图形的面积.
解析：如图2，因为224yxyx，是偶函数，根据对称性，
只算出y轴右边的图形的面积再两倍即可．
解方程组
2
1
yx
y
，
，
和
24
1
yx
y
，
，
得交点坐标
(11)(11)(21)(21)，，，，，，，
．
方法一：选择x为积分变量，
则
22
12
231232
011
01
114
212
444123
xx
Sxdxdxxxx
|||．
方法二：可以选择y为积分变量，求解过程请同学们自己完成.
点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.
三、分割计算
例3求由抛物线243yxx及其在点
(03)M，
和点
(30)N，
处两条切线所围成的
图形的面积．
解析：由243yxx，得
24yx
，
0
4
x
y
∴|
，过M点的切线方程为
43yx
；
3
2
x
y
|
，过
N
点的切线方程为
26yx
．
又可求得两切线交点的横坐标为
3
2
x
，
故所求面积
3
3
22
2
3
0
2
9
(43)(43)[(26)(43)]
4
Sxxxdxxxxdx．
点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作x轴垂线，
将图形分割成两部分，分别用定积分求解.同学们应注意掌握这种分割的处理方法.
求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应
用．
一、两个常用公式
公式一：由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b与y＝0所围成的曲边梯形的面积A为
A＝|()|b
a
fxdx．
特别地，⑴当f(x)≥0时(如图1)，A＝
()
b
a
fxdx；
⑵当f(x)≤0时(如图2)，A＝－()
b
a
fxdx；
⑶当f(x)有正有负时(如图3)，A＝()
c
a
fxdx－()
b
c
fxdx．
公式二：由连续曲线y＝f(x)，y＝g(x)，f(x)≥g(x)
及直线x＝a，x＝b所围成的图形(如图4)的面积A为
A＝[()()]b
a
fxgxdx．
二、应用举例
例1由y＝x3，x＝0，x＝2，y＝0围成的图形
面积．
分析：先画出图象，利用公式1转化为定积分问
题即可解决．
解：⑴如图1，由公式1，得
S＝
2
3
0
xdx＝4244
0
111
|204
444
x．
评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形
的面积区别．定积分是一种积分和的极限，可为正，也
可为负或零，而平面图形的面积在一般意义上总为
正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯
形的面积，然后将它们加在一起．
例2⑴由曲线y＝x2，y2＝x所围成图形的面积．
⑵由y＝
1
4
x2－1，y＝
1
2
x，y＝
3
4
x在第一象限所围成图形的面积．
分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分．
解：⑴如图2，所求面积为阴影部分．
x
y
o
x
y
o
()yfx
()yfx
a
a
b
b
c
x
y
oa
b
()yfx
1图
2图
3图
x
y
oa
b
()yfx
()ygx
4图
x
y
o
2
1图
解方程组
2
2
yx
yx
，得交点(0，0)，(1，1)，由公式2，得
S＝
1
2
0
()xxdx＝
3
3
1
2
0
2211
()|
33333
x
x．
⑵如图3，解方程组
2
1
1
4
1
2
yx
yx
和
2
1
1
4
3
4
yx
yx
，
得x＝0，x＝1＋
5
(负的舍去)，x＝4．
由公式2，得图形面积
S＝
15
0
31
()
42
xdx＋
4
2
15
11
[(1)]
42
xxdx
2155
6
．
x
y
o
1
2图
x
y
o
3图
15
4
3
4
yx
1
2
yx
2
1
1
4
yx