椭圆的公式
表扬英文-博弈心理学
2023年2月23日发(作者：心态好一切都好)椭圆定理（又名：椭圆猜想）
椭圆定理
易亚苏
（关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。）
圆完美的和谐，椭圆和谐的完美。
一、椭圆第一定义
椭圆第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两
个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。椭圆第一定义的数学表达式：MF1+MF2=2a>F1F2
（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。）
M为动点，F1、F2为定点，a为常数。在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且a>b>0；
2c表示焦距。
二、椭圆定理
（一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理）
椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴
长的椭圆焦距。该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。
附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略）
（二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理）
定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。
定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。
定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。
椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等
于椭圆周率T的数值。
（三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理）
椭圆具有三特性，也称椭圆三态。
1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内；
2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上；
3、当椭圆b 定义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位。根据椭圆第一定义，a2=b2+c2， 且a>b>0，则有：b2+c2=1（椭圆单位） 当b=c时，2b2=1（椭圆单位），b=根号1/2（椭圆单位）。 定义：K3=根号1/2，K3为椭圆第三常数。 椭圆定理Ⅲ：椭圆第三常数K3与椭圆单位决定椭圆特性。当椭圆b>c时，椭圆向心率（f）大于椭圆第三 常数（K3），椭圆离心率（e）小于椭圆第三常数（K3），椭圆为向外膨胀型；当椭圆b=c时，椭圆向心率 （f）和椭圆离心率（e）都等于椭圆第三常数（K3），椭圆为相对稳定型；当椭圆b 大于椭圆第三常数（K3），椭圆向心率（f）小于椭圆第三常数（K3），椭圆为向内收缩型。 三、椭圆周长、面积计算公式和定理 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a） 与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。 常数为体，公式为用。圆是同心圆依照勾股定理和谐组合。椭圆中有常数K1和K2，椭圆的常数与椭圆周 长、面积计算公式，一个为体，一个为用。 一、椭圆周长、面积计算公式 根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a） 与短半轴长（b）的差。 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程 （一）发现椭圆常数 常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确 定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。 椭圆的周长取值范围：4a 椭圆周长猜想：L=(2πa-4a)T（2） T是猜想的椭圆周率。将（1）等式与（2）等式合并，得： 4a<(2πa-4a)T<2πa（3） 根据不等式基本性质，将不等式（3）同除(2πa-4a)，有： 4a/(2πa-4a) 简化表达式（4）： 2/(π-2) 定义：K1=2/(π-2)；K2=π/(π-2) 计算K1、K2的值会发现K1、K2是两个非常奇特的数： K1＝1.751……K2＝2.751…… 椭圆第二常数：K2=K1+1 椭圆常数的发现过程描述简单，得来却要复杂得多。 （二）椭圆周长公式推导 长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆，却忽视了椭圆a与b的关系。定义：椭圆向心率为f，f=b/a。 根据椭圆第一定义，椭圆向心率f，有0 K1+f 定义：T=K1+f，将此等式代入等式（2）则有： L=(2πa-4a)T=2(π-2)a(K1+f) =2(π-2)a(2/(π-2)+b/a)=2πb+4(a-b) 椭圆周长计算公式：L=2πb+4(a-b) （三）椭圆面积公式推导 椭圆面积的取值范围：0 （由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。如：上式中πa2为π乘a的二次方。） 椭圆面积猜想：S=πa2T（6） T是猜想的椭圆面积率。将（5）等式与（6）等式合并，得： 0<πa2T<πa2（7） 根据不等式基本性质，将不等式（7）同除πa2，则有：0 S=πa2T=πa2(K+f)（8） 在等式（8）中K=0，f=b/a，代入等式中： S=πa2b/a=πab 椭圆面积计算公式：S=πab 关于《椭圆定理》中的T=k1+f问题 易亚苏 《椭圆定理》一文中有：“定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。 定义3：T=K1+f，T为椭圆周率”。有聪明的网友提出“定义：T=k1+f没有依据”，现就此问题作出如下分 析说明。 （一） 在《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中，有“T是猜想的椭圆周率”，并“定义：T=K1+f” （《椭圆定理》中也有此定义，见上）。《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中还有表达 式:2/(π-2) 定义：K1=2/(π-2)；K2=π/(π-2)。这样定义理当无可非议。 那么，K1 于具体椭圆而言k1 所以k1 由椭圆定义，a>b>0,因为f=b/a,即0 时，椭圆接近圆，其周长近似于2πa。当b在0与a之间变化时，形状为椭圆，其周长为L=2πb+4(a-b)。 以下作简要分析，如果把椭圆的a作为椭圆单位，那么f=B(椭圆单位)，B＝b/a（椭圆单位），其中0 也即0 注：椭圆单位的概念很重要，切记并体会其内含！在《椭圆定理》短文中首次提出了“椭圆单位”的概念，“定 义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位”。 其实T=k1+f的定义既是从椭圆中的代数内含关系推理而来，也是基于“椭圆单位”的思考而来。 （二） 研究椭圆时笔者发现了K1、K2两个非常奇特的数： K1＝1.751…… K2＝2.751…… 这两个奇特的数里包含了π，π是圆周率，f=b/a是0到1之间的小数，那么对于椭圆来说T=k1+f是一个 也包含了π的特定数，所以定义T为“椭圆周率”。椭圆周率与圆周率不同，圆周率是固定的值π，椭圆周 率是变化的值T=k1+f，它随椭圆b与a的比值变化而变化。从某种意义上说圆是椭圆的范围，由于椭圆定 义了a>b>0，所以只能称“圆是椭圆的范围”，而不能称圆是特殊的椭圆。但是在研究椭圆时以椭圆a为半 径的圆起到了很好的参考，所以笔者在《椭圆定理》中对圆和椭圆这两种几何图形，只能发出“圆完美的 和谐，椭圆和谐的完美”这样的感叹。 （三） 笔者认为任何科学研究的方法都基于：1、发现特殊现象；2、提出假设或猜想；3、利用假设或猜想做出 结论；4、对结论进行检验。《椭圆定理》就是基于这四点写出的短文。笔者认为论文不在长短，而在其价 值。当今的椭圆理论是不完整的（比如只有近似的椭圆周长计算公式，缺少标准的椭圆周长计算公式）， 那么“椭圆理论”的依据还需要靠发现来完善。任何科学的原始依据从哪里来？从发现来。对特殊现象的发 现加以总结，通过检验就可以成为理论；理论升华就是科学，科学也是理论依据的源泉。 （四） 椭圆周长无疑在4a （B＝b/a椭圆单位）从0到1的平滑变化，必然导致其椭圆周长的平滑变化。椭圆是平滑的闭合曲线，其 周长与f=b/a的变化有着必然的对应变化数学关系。所以笔者在《椭圆定理》中要定义f为椭圆向心率，f=b/a， （a>b>0）。如果引用椭圆单位，则4 在《椭圆定理》短文中有“后附《椭圆的奥秘》椭圆周长、面积验算公式表”，可惜网上尚未能表示出“验算 公式表”，相信您用Excel可以很容易作出“验算公式表”，并可以对椭圆周长计算公式L=2πb+4(a-b)进行序 列的直观检验。椭圆周长计算公式L=2πb+4(a-b)中虽然没有出现椭圆周率T，但这个公式是通过椭圆周率 T推导演变而来。常数为体，公式为用。 （五） 当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一，现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值， 这也是科学的遗憾之一，所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。笔者认为一个公式的对与错，既有 意义也没有意义，因为科学是发展的，科学是循序渐进的过程。科学探索的过程是寂寞而愉快的，但我们 要认识到今天的正确不代表明天的正确，如果没有这样的观念，科学也就难于进步。10的负50次方对古 人而言除了代表0没有其他的意义，然而10的负50次方对现代人而言可以代表0，也可以不代表0。随 着科学技术的提高，10的负N次方的意义也在发生变化。宇宙之浩大，用椭圆周长的近似公式去研究宇 宙，今天不出问题，明天必定要出大问题。人类对宇宙的认识从神话到科学、从主观到客观是不以个人的 意志为转移的，科学发展到今天，我们更要具有科学发展观。 任一部分椭圆面积 椭圆周长 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四 倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴 长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭 圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 近似L=√(4abπ^2+15(a-b)^2)(1+MN)(M=4/√15-1、N=((a-b)/a)^9)近似 L=πQ(1+3h/(10+√(4-3h))(1+MN)(Q=a+b、H=((a-b)/(a+b))^2、M=22/7π-1、 M=((a-b)/a)^33.697、) 标准L＝Qπ(1+h^2/4+h^4/4^3+h^6/4^4+5^2*h^8/4^7+7^2*h^10/4^8…)(h＝ (a-b)/(a+b)，Q＝a+b，) 几何图形及计算公式查询 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长 C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα 平行四边形 a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角 S＝ah ＝absinα 菱形 a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长 S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形 a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长 S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆 r－半径 d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形 l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数 S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r]-(r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360-b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2+bh/2 ≈2bh/3 圆环 R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径 S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4 椭圆 D－长轴 d－短轴 S＝πDd/4 立方图形 名称符号面积S和体积V 正方体a－边长 S＝6a2 V＝a3 长方体 a－长 b－宽 c－高 S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 棱柱 S－底面积 h－高 V＝Sh 棱锥 S－底面积 h－高 V＝Sh/3 棱台 S 1 和S 2 －上、下底 面积 h－高 V＝h[S 1 +S 2 +(S 1 S 1 )1/2]/3 拟柱体 S 1 －上底面积 S 2 －下底面积 S 0 －中截面积 h－高 V＝h(S 1 +S 2 +4S 0 )/6 圆柱 r－底半径 h－高 C—底面周长 S 底 —底面积 S 侧 —侧面积 S 表 —表面积 C＝2πr S 底 ＝πr2 S 侧 ＝Ch S 表 ＝Ch+2S 底 V＝S 底 h ＝πr2h 空心圆柱 R－外圆半径 r－内圆半径 h－高 V＝πh(R2-r2) 直圆锥 r－底半径 h－高 V＝πr2h/3 圆台 r－上底半径 R－下底半径 h－高 V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3 球 r－半径 d－直径 V＝4/3πr3＝πd2/6 球缺 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径 V＝πh(3a2+h2)/6 ＝πh2(3r-h)/3 a2＝h(2r-h) 球台 r 1 和r 2 －球台上、 下底半径 h－高 V＝πh[3(r 1 2＋r 2 2)+h2]/6 圆环体 R－环体半径 D－环体直径 r－环体截面半径 d－环体截面直径 V＝2π2Rr2 ＝π2Dd2/4 桶状体 D－桶腹直径 d－桶底直径 h－桶高 V＝πh(2D2＋d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物线形)