余弦图像
黄埔港-北上广深人口
2023年2月23日发(作者：包英文)1
1.3.2三角函数的图象与性质
第1课时正弦、余弦函数的图象
学习目标核心素养(教师独具)
1.了解正弦函数、余弦函数的图象．
2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图
象．(重点)
3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]
上的性质．(重点、难点)
通过学习本节内容培养学
生的直观想象数学核心素
养.
正弦曲线、余弦曲线
(1)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)的图象分别叫正弦曲线
和余弦曲线(如图)．
(2)“五点法”画图
画正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，
π
2
，1
，(π，
0)，
3π
2
，－1
，(2π，0)．
画余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，
π
2
，0
，(π，
－1)，
3π
2
，0
，(2π，1)．
2
(3)正弦、余弦曲线的联系
依据诱导公式cosx＝sin
x＋
π
2
，要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的
图象向左平移
π
2
个单位长度即可．
思考：作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度制吗？
[提示]作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因
此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．
1．思考辨析
(1)正弦曲线的图象向左右无限延展．()
(2)y＝sinx与y＝cosx的图象形状相同，只是位置不同．()
(3)函数y＝cosx的图象与y轴只有一个交点．()
[答案](1)√(2)√(3)√
2．用“五点法”作y＝2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是
________．
[答案]0，
π
4
，
π
2
，
3π
4
，π
3．不等式cosx＜0，x∈[0,2π]的解集为________．
[答案]
π
2
，
3π
2
利用“五点法”作简图
【例1】用“五点法”作出下列函数的图象．
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]；
(3)y＝－1－cosx，x∈[0,2π]．
思路点拨：先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线．
3
[解](1)列表如下：
x0
π
2
π
3
2
π
2π
sinx010
－1
0
sinx－1－1
0
－1－2－1
描点连线，如图①所示．
①
(2)列表如下：
x0
π
2
π
3
2
π
2π
cosx10
－1
01
2＋cosx
32123
描点连线，如图②所示．
②
(3)列表：
x0
π
2
π
3π
2
2π
cosx10
－1
01
－1－cosx－2－1
0
－1－2
描点作图，如图③所示：
4
③
用五点法画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图
的步骤如下
(1)列表：
x0
π
2
π
3π
2
2π
sinx(或cosx)
y
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，
π
2
，y
，(π，y)，
3π
2
，y
，
(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连结起来，不要用线段进行连结．
提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，
掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
1．用“五点法”作出函数y＝3＋2cosx在一个周期内的图象．
[解]按五个关键点列表；描点并将它们用光滑的曲线连结起来．
x0
π
2
π
3π
2
2π
cosx10
－1
01
3＋2cosx
53135
5
利用正、余弦曲线解三角不等式
【例2】利用正弦曲线，求满足
1
2
＜sinx≤
3
2
的x的集合．
思路点拨：作出正弦函数y＝sinx在一个周期内的图象，然后借助图象求解．
[解]首先作出y＝sinx在[0,2π]上的图象，如图所示，
作直线y＝
1
2
，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交
点横坐标为
π
6
和
5π
6
；作直线y＝
3
2
，该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为
π
3
和
2π
3
.观察图象可知，在[0,2π]上，当
π
6
＜x≤
π
3
，或
2π
3
≤x＜
5π
6
时，不等式
1
2
＜sin
x≤
3
2
成立，
所以
1
2
＜sinx≤
3
2
的解集为
x
π
6
＋2kπ＜x≤
π
3
＋2kπ或
2π
3
＋2kπ≤x＜
5π
6
＋2kπ，k∈Z.
利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤：
1画出正弦函数y＝sinx或余弦函数y＝cosx在[0，2π]上的图象；
2写出适合不等式的在区间[0，2π]上的解集；
3把此解集推广到整个定义域上去.
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝2sinx＋1；(2)y＝sinx－cosx.
[解](1)要使y＝2sinx＋1有意义，则必须满足2sinx＋1≥0，即sinx≥
6
－
1
2
.
结合正弦曲线或三角函数线，
如图所示，知函数y＝2sinx＋1的定义域为
x
2kπ－
π
6
≤x≤2kπ＋
7π
6
，k∈Z
.
(2)要使函数有意义，必须满足sinx－cosx≥0.
在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为
π
4
，
5π
4
，再结合正弦、余弦函数的图象，
知所求定义域为
x
π
4
＋2kπ≤x≤
5π
4
＋2kπ，k∈Z
正、余弦函数图象的应用
[探究问题]
1．你能借助图象的变换作出y＝|sinx|的图象吗？试画出其图象．
提示：先画出y＝sinx的图象，然后将其x轴下方的对称到x轴的上方(x轴
上方的保持不变)即可得到y＝|sinx|的图象，如图．
7
2．方程|sinx|＝a，a∈R在[0,2π]上有几解？
提示：当a＜0时，方程|sinx|＝a无解；
当a＝0时，方程|sinx|＝a有三解；
当0＜a＜1时，方程|sinx|＝a有四解；
当a＝1时，方程|sinx|＝a有两解；
当a＞1时，方程|sinx|＝a无解．
【例3】在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判
断出方程sinx＝lgx的解的个数．
思路点拨：作图―→看图―→交点个数
―→sinx＝lgx解的个数
[解]建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，
再依次向右连续平移2π个单位，得到y＝sinx的图象．
描出点
1
10
，－1
，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连结得到y＝lgx的图象，如
图所示．
由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个．
利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数或
两函数图象的交点个数求参数的范围问题.
3．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不
同的交点，求k的取值范围．
8
[解]f(x)＝
3sinx，0≤x≤π，
－sinx，π＜x≤2π
的图象如图所示，故由图象知1＜k＜3.
教师独具
1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象
的应用．
2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题
(1)正、余弦函数图象的画法．
(2)利用正、余弦函数的图象解不等式．
(3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题．
3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定
y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：
①图象与x轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y＝sinx，x∈[0,2π]
与x轴有三个交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点
π
2
，1
，一个
最低点
3π
2
，－1
；y＝cosx，x∈[0,2π]与x轴有两个交点：
π
2
，0
，
3π
2
，0
，图
象上有两个最高点：(0,1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．
1．用“五点法”作出函数y＝3－cosx的图象，下列点中不属于五点作图中
的五个关键点的是________(填序号)．
①(π，－1)；②(0,2)；③
π
2
，3
；④(π，4)；⑤
3π
2
，1
.
①⑤[由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，
π
2
，3
，(π，4)，
3π
2
，3
，
(2π，2)，故①⑤不是关键点．]
2．函数y＝sinx与函数y＝－sinx的图象关于________对称．
x轴[在同一坐标系中画出函数y＝sinx与函数y＝－sinx的图象(略)，可
9
知它们关于x轴对称．]
3．sinx＞0，x∈[0,2π]的解集是________．
(0，π)[如图所示是y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，
由图可知满足sinx＞0，x∈[0,2π]的解集是(0，π)．]
4．用“五点法”作出y＝1－sin2x(0≤x≤2π)的简图．
[解]y＝1－sin2x＝|cosx|(x∈[0,2π])．
列表：
x0
π
2
π
3π
2
2π
cosx10
－1
01
|cosx|10101
1－sin2x10101
描点作图，如图．