哈密尔顿算子

哈密尔顿算子

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2023年2月23日发(作者：枸杞盆景)

∇：向量微分算子、哈密尔顿算子、Nabla算子、劈形算子，倒三角算子是一个微分算子。

Strictlyspeaking,∇delisnotaspecificoperator,but

ratheraconvenientmathematicalnotationforthosethreeoperators,thatmakesmany

symbolcanbeinterpretedasavector

ofpartialderivativeoperators,anditsthreepossiblemeanings—gradient,divergence,

andcurl—canbeformallyviewedastheproductofscalars,dotproduct,andcross

product,respectively,ofthedel"operator"withthefield.

Δ、∇2or∇·∇：拉普拉斯算子（Laplaceoperator），定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。

,

gradF=▽F，梯度（gradient），标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度

指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。▽f=

divF=▽·F,散度(divergence),是算子▽点乘向量函数,矢量场的散度是一个标量函数，与

求梯度正好相反,divF表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，描述了通量

源的密度，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度。当divF>0，表示该点有散发通量

的正源；当divF<0表示该点有吸收通量的负源；当div=0，表示该点为无源场。即闭合

曲面的面积分为0是无源场，否则是有源场。

rotF或curlF=∇×F,旋度(curl，rotation)，是算子▽叉乘向量函数,矢量场的旋度依然是

矢量场，意义是向量场沿法向量的平均旋转强度，向量场在曲面上旋量的总和等于该向量

场沿该曲面边界曲线的正向的环量，也就是封闭曲线的线积分。旋量为0的向量场叫无旋

场，只有这种场才有势函数，也就是保守场。即闭合环路的线积分为0是无旋场，否则就

是有旋场。

基本关系：

一个标量场f的梯度场是无旋场，也就是说它的旋度处处为零：

一个矢量场F的旋度场是无源场，也就是说它的散度处处为零：

F的旋度场的旋度场是：

亥姆霍兹分解、亥姆霍兹定理或矢量分析基本定理：对于任意足够平滑、快速衰减的三维

矢量场可解为一个保守矢量场和一个螺线矢量场的和。简单的说就是任何矢量都可以分解

为简单的无旋场和无源场之和，即其标量位和矢量位两部

分。Helmholtz'stheorem,alsoknownasthefundamental

theoremofvectorcalculus,statesthatanysufficientlysmooth,rapidlydecayingvector

fieldinthreedimensionscanberesolvedintothesumofanirrotational(curl-free)vector

fieldandasolenoidal(divergence-free)vectorfield;thisisknownastheHelmholtz

decomposition.