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2023年2月19日发(作者：)第1页，共8页
2018-2019
学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共
4
小题，共
16.0
分）
1.如果
α
是第三象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.函数，的反函数是（）
A.B.
C.D.
3.在△
ABC
中，三个内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
．已知
2acosB=c
，且满足
sinAsinB
（
2-cosC
）
=sin2+，则△
ABC
为（）
A.锐角非等边三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形
4.已知函数
f
（
x
）
=cos
（
3x+φ
）满足
f
（
x
）
≤f
（
1
）恒成立，则（）
A.函数一定是奇函数B.函数一定是奇函数
C.函数一定是偶函数D.函数一定是偶函数
二、填空题（本大题共
10
小题，共
40.0
分）
5.
2019°
是第
______
象限．
6.已知角
α
的终边经过点
P
（
2
，
-3
），则
sinα=______
7.已知
tanα=2
，则=______
．
8.函数
y=
的定义域为
______
．
9.已知，，，则
=______
．
10.已知，
在第二象限，则=______
．
11.方程
5sinx=4+2cos2x
的解集为
______
．
12.已知，则
=______
．
13.将函数
y=sin2x
的图象先沿
x
轴向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的
2
倍（纵坐标不
变）后得到函数
y=f
（
x
）图象，对于函数
y=f
（
x
）有以下四个判断：
①该函数的解析式为；
②该函数图象关于点
，
对称；
③该函数在
，上是增函数；
④若函数
y=f
（
x
）
+a
在
，上的最小值为
1
，则．
其中正确判断的序号是
______
（写出所有正确判断的序号）．
14.已知△
ABC
中，
7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC
，则
=______
．
三、解答题（本大题共
4
小题，共
44.0
分）
15.已知．
（
1
）求
sinαcosα
的值；
（
2
）若
α
为第二象限的角，求的值．
16.已知函数
f
（
x
）
=Asin
（
ωx+φ
）（其中
＞，＞，＜＜）的相邻对称轴之间的距离为，且该函
数图象的一个最高点为
，
．
（
1
）求函数
f
（
x
）的解析式和单调递增区间；
（
2
）若
，，求函数
f
（
x
）的最大值和最小值．
第2页，共8页
17.如图，甲、乙两个企业的用电负荷量
y
关于投产持续时间
t
（单位：小时）的关系
y=f
（
t
）均近似地满
足函数
f
（
t
）
=Asin
（
ωx+φ
）
+b
（
A
＞
0
，
ω
＞
0
，
0
＜
φ
＜
π
）．
（
1
）根据图象，求函数
f
（
t
）的解析式；
（
2
）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过
9
，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟
m
（
m
＞
0
）小时投产，求
m
的最小值．
第3页，共8页
18.在锐角△
ABC
中，已知，
△
，若点
D
是线段
BC
上一
点（不含端点），过
D
作
DE
⊥
AB
于
E
，
DF
⊥
AC
于
F
．
（
1
）若△
AEF
外接圆的直径长为，求
EF
的值；
（
2
）求
BC
的取值范围；
（
3
）问点
D
在何处时，△
DEF
的面积最大？最大值为多少？
第4页，共8页
答案和解析
1.【答案】
B
【解析】
解：
α
是第三象限的角，
则
α
（
2kπ+π
，
2kπ+
），
kZ
，
所以（
kπ+
，
kπ+
），
kZ
；
所以可以是第一、第三、或第四象限角．
故
选
：
B
．
先写出角
α
的范
围
，再除以
3
，从而求出角的范
围
，看出是第几象限角．
本
题
考
查
了角的范
围
与象限角的判断
问题
，是基
础题
．
2.【答案】
D
【解析】
解：函数的反函数是
y=-cosx
，
x[0
，
π]
，
故
选
：
D
．
根据反三角函数的定
义
即可求出
本
题
主要考
查
反正弦函数的定
义
和性
质
，属于基
础题
．
3.【答案】
C
【解析】
解：将已知等式
2acosB=c
，利用正弦定理化
简
得：
2sinAcosB=sinC
，
∵
sinC=sin
（
A+B
）
=sinAcosB+cosAsinB
，
∴
2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB
，即
sinAcosB-cosAsinB=sin
（
A-B
）
=0
，
∵
A
与
B
都
为
△
ABC
的内角，
∴
A-B=0
，即
A=B
，
已知第二个等式
变
形得：
sinAsinB
（
2-cosC
）
=
（
1-cosC
）
+=1-cosC
，
-[cos
（
A+B
）
-cos
（
A-B
）
]
（
2-cosC
）
=1-cosC
，
∴
-
（
-cosC-1
）（
2-cosC
）
=1-cosC
，
即（
cosC+1
）（
2-cosC
）
=2-cosC
，
整理得：
cos
2
C-2cosC=0
，即
cosC
（
cosC-2
）
=0
，
∴
cosC=0
或
cosC=2
（舍去），
∴
C=90°
，
则
△
ABC
为
等腰直角三角形．
故
选
：
C
．
已知第一个等式利用正弦定理化
简
，再利用
诱导
公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正
弦函数公式化
简
，得到
A=B
，第二个等式左
边
前两个因式利用
积
化和差公式
变
形，右
边
利用二
倍角的余弦函数公式化
简
，将
A+B=C
，
A-B=0
代入
计
算求出
cosC
的
值为
0
，
进
而确定出
C
为
直
角，即可确定出三角形形状．
此
题
考
查
了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，
积
化和差公式，二倍角的余弦函数公式，
熟
练
掌握正弦定理是解本
题
的关
键
，属于中档
题
．
4.【答案】
D
【解析】
解：由函数
f
（
x
）
=cos
（
3x+φ
）
满
足
f
（
x
）
≤f
（
1
）恒成立，
得函数
f
（
x
）的
图
象关于直
线
x=1
对
称，
即函数
f
（
x+1
）一定
为
偶函数，
故
选
：
D
．
由三角函数
图
象的性
质
及函数
图
象的平移得：函数
f
（
x
）
=cos
（
3x+φ
）
满
足
f
（
x
）
≤f
（
1
）恒成立，得
函数
f
（
x
）的
图
象关于直
线
x=1
对
称，即函数
f
（
x+1
）一定
为
偶函数，得解．
本
题
考
查
了三角函数
图
象的性
质
及函数
图
象的平移，属中档
题
．
5.【答案】三
【解析】
解：
2019°=360°×5+219°
，是第三象限角．
故答案
为
：三．
根据
终边
相同的角化
为
k•360°+α
，
kZ
，
α[0°
，
360°
）即可．
本
题
考
查
了
终边
相同的角的定
义
与
应
用
问题
，是基
础题
．
6.【答案】
【解析】
第5页，共8页
解：
∵
角
α
的
终边经过
点
P
（
2
，
-3
），
则
x=2
，
y=-3
，
r=|OP|==
，
∴
sinα==
，
故答案
为
：
-
．
由
题
意利用任意角的三角函数的定
义
，求得
sinα
的
值
．
本
题
主要考
查
任意角的三角函数的定
义
，属于基
础题
．
7.【答案】
【解析】
解：
tanα=2
，
则
===
．
故答案
为
：
直接利用同角三角函数基本关系式化
简
所求的表达式
为
正切函数的形式，代入求解即可．
本
题
考
查
同角三角函数基本关系式以及三角函数化
简
求
值
，考
查计
算能力．
8.【答案】
[2kπ-，
2kπ+]
，
kZ
【解析】
解：根据函数
y=
，可得
cosx≥0
，可得
2kπ-≤x≤2kπ+
（
kZ
），
故函数的定
义
域
为
[2kπ-
，
2kπ+]
，
kZ
，
故答案
为
：
[2kπ-
，
2kπ+]
，
kZ
．
根据函数
y=
，可得
cosx≥0
，再
结
合余弦函数的
图
象，求得
x
的范
围
．
本
题
主要考
查
余弦函数的
图
象的特征，解三角不等式，属于基
础题
．
9.【答案】
【解析】
解：由，
得
-cos
，即
cos
，
∴
sinα=
，
则
tanα==
．
∴
=-cot
（）
=-tanα=
．
故答案
为
：．
由已知求得
cosα
，
进
一步得到
tanα
，再由
诱导
公式求．
本
题
考
查
三角函数的化
简
求
值
，考
查诱导
公式及同角三角函数基本关系式的
应
用，是基
础题
．
10.【答案】
2
【解析】
解：若在第二象限，
∴
cosα=-
，
则
=====2
，
故答案
为
：
2
根据同角三角函数关系以及三角函数的倍角公式
进
行化
简
即可．
本
题
主要考
查
三角函数的化
简
和求
值
，利用同角三角函数关系以及三角函数倍角公式是解决
本
题
的关
键
．
11.【答案】
{x|x=arcsin+2kπ
，或
x=π-arcsin+2kπ
，
kZ}
【解析】
解：方程
5sinx=4+2cos2x
可化
为
5sinx=4+2
（
1-2sin
2
x
），
即
4sin
2
x+5sinx-6=0
，
解得
sinx=
，或
sinx=-2
（不合
题
意，舍去）；
所以
该
方程的解集
为
{x|x=arcsin+2kπ
，或
x=π-arcsin+2kπ
，
kZ}
．
故答案
为
：
{x|x=arcsin+2kπ
，或
x=π-arcsin+2kπ
，
kZ}
．
方程化
为
关于
sinx
的一元二次方程，求出
sinx
的
值
，再写出方程的解集．
本
题
考
查
了三角函数方程的求解与
应
用
问题
，是基
础题
．
12.【答案】
【解析】
第6页，共8页
解：由，得
2sinα=
，
∴
，
则
tanα=
．
由
tan==1
，解得
tan=
（舍）或．
∴
===
．
故答案
为
：．
由已知等式求得
tanα
，展开二倍角的正切求得
tan
，再由两角差的正切求解．
本
题
考
查
三角函数的化
简
求
值
，考
查
两角和与差的三角函数，考
查计
算能力，是中档
题
．
13.【答案】③④
【解析】
解：根据
题
意知，
f
（
x
）
=sin
（
x
），令
x=
则
，
y=≠0
∴①②
错误
；由三角函数的性
质
知
③④
正确；
故答案
为
③④
．
运用三角函数
图
象的平移
变
化及三角函数的性
质
可解决此
问题
．
本
题
考
查图
象的
变换
及三角函数的性
质
的
简单应
用．
14.【答案】
【解析】
解：
7sin
2
B+3sin
2
C=2sin
2
A+2sinAsinBsinC
，
由正弦定理可得：
7b
2
+3c
2
=2a
2
+2bcsinA
，
∴
a2
=
，又
a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA
，
∴
=b2
+c
2
-2bccosA
，
化
为
：
2
（
sinA-2cosA
）
==≥2=2
，
当且
仅
当
b=c
时
取等号．
即
2sin
（
A-θ
）
≥2
，其中
tanθ=2
，
sinθ=
，
cosθ=
．
即
sin
（
A-θ
）
≥1
，又
sin
（
A-θ
）
≤1
，
∴
sin
（
A-θ
）
=1
．
∴
A-θ=+2kπ
，即
A=θ++2kπ
，
kN*
．
∴
sin
（
A+
）
=sin
（
θ+++2kπ
）
=cos
（
θ+
）
=
（
cosθ-sinθ
）
=×
（
-
）
=-
．
∴
=cos
（）
=sin
（
A+
）
=
．
故答案
为
：
-
．
由已知
结
合正弦定理可得：
7b
2
+3c
2
=2a
2
+2bcsinA
，由余弦定理可得：
a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA
，化
为
：
2
（
sinA-2cosA
）
==≥2=2
，
进
一步得到
sin
（
A-θ
）
≥1
，又
sin
（
A-θ
）
≤1
，可得
sin
（
A-θ
）
=1
．得到
A=θ++2kπ
，
kN
*
．求出
sin
（
A+
），再由
诱导
公式得答案．
本
题
考
查
了正弦定理余弦定理、基本不等式的性
质
、和差公式，考
查
了推理能力与
计
算能力，
属于
难题
．
15.【答案】解：（
1
）∵，∴平方得
sin2α+2sinαcosα+cos2α=，
得
2sinαcosα=-1=-，
得
sinαcosα=-
．
（
2
）若
α
为第二象限的角，
sinα
＞
0
，
cosα
＜
0
，
则=+===-．
【解析】
（
1
）利用同角三角函数关系，利用平方
进
行
计
算即可
（
2
）利用三角函数的
诱导
公式
进
行化
简
求解即可
本
题
主要考
查
三角函数
值
的化
简
和求
值
，利用同角三角函数关系以及三角函数的
诱导
公式是
解决本
题
的关
键
．
16.【答案】解：（
1
）由题意有：
A=2
，
T=π
，即
ω==2
，
由当
x=
时，函数
f
（
x
）取最大值，即
2×+φ=2k，解得
φ=2kπ
，又
0
＜
φ
＜
，所以
φ=
，
即
f
（
x
）
=2sin
（
2x+
），
第7页，共8页
令
2kπ≤2x+，得：
k
，（
kZ
）
故函数
f
（
x
）的解析式为：
f
（
x
）
=2sin
（
2x+
）．
函数
f
（
x
）的单调递增区间为：
[kπ
，
k]
（
kZ
）．
（
2
）当
，，
则
2x+[，]
，
所以
2sin
（
2x+
）
[1
，
2]
，
故函数
f
（
x
）的最大值为
2
，最小值为
1
．
【解析】
（
1
）由三角函数解析式的求法得：由
题
意有：
A=2
，
T=π
，即
ω==2
，由当
x=
时
，函数
f
（
x
）取
最大
值
，即
2×+φ=2k
，解得
φ=2kπ
，又
0
＜
φ
，所以
φ=
，即
f
（
x
）
=2sin
（
2x+
），
（
2
）由三角函数的
值
域的求法得：当，
则
2x+[
，
]
，所以
2sin
（
2x+
）
[1
，
2]
，得
解．
本
题
考
查
了三角函数解析式的求法及三角函数的
值
域，属中档
题
．
17.【答案】（本题满分为
14
分）
解：（
1
）由图知
T=12=
，∴
ω=
，…（
1
分）
A+b=5
，
b-A=3
，可得：
A=1
，
b=4
，…（
3
分）
∴
f
（
t
）
=sin
（x+φ
）
+4
，
代入（
0
，
5
），得
φ=+2kπ
，
又
0
＜
φ
＜
π
，
∴
φ=…（
5
分）
即
f
（
t
）
=sin
（
t+）
+4
，…（
6
分）
（
2
）设乙投产持续时间为
t
小时，则甲的投产持续时间为（
t+m
）小时，
由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间
t
变化的关系式为：
f
（
t
）
=cost+4
；
同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：
f
（
t+m
）
=cos
（
t+m
）
+4
；
两企业用电负荷量之和
f
（
t+m
）
+f
（
t
）
=cos
（
t+m
）
+cost+8
（
t≥0
）；
------
（
8
分）
依题意，有
f
（
t+m
）
+f
（
t
）
=cos
（
t+m
）
+cost+8≤9
恒成立，
即
cos
（
t+m
）
+cost≤1
恒成立，
展开有：（
cosm+1
）
cost-sinmsint≤1
恒成立，
------
（
10
分）
∵（
cosm+1
）
cost-sinmsint=Acos
（
t+ϕ
），
（其中，
A=，
cosϕ=；
sinϕ=
）；
∴
A=≤1
，
-----------------------
（
11
分）
整理得到：
cosm≤-，
------------------------
（
12
分）
依据余弦函数图象得：+2kπ≤m≤+2kπ
，（
kZ
），
即
12k+4≤m≤12+8
，取
k=0
得：
4≤m≤8
∴
m
的最小值为
4
．
-----------------------
（
14
分）
【解析】
（
1
）根据
图
象最
值
求
A
，
b
，根据周期求出
ω
，利用特殊点求出
φ
的
值
，可求函数
f
（
t
）的解析式．
（
2
）
设
乙投
产
持
续时间为
t
小
时
，
则
甲的投
产
持
续时间为
（
t+m
）小
时
，依
题
意，有
f
（
t+m
）
+f
（
t
）
=cos
（
t+m
）
+cost+8≤9
恒成立，展开由三角函数恒等
变换
化
简
整理可得：
cosm≤-
，依据
余弦函数
图
象得：
+2kπ≤m≤+2kπ
，（
kZ
），取
k=0
得
m
的范
围
，从而可求
m
的最小
值
．
本
题
考
查
三角函数
图
象和性
质
及其
应
用、恒等
变换
等知
识
，考
查
建立三角函数模型，数据
处
理
能力、运算求解能力和抽象概括能力，考
查
函数与方程的思想、
转
化与化
归
的思想，属于中档
题
．
18.【答案】解：（
1
）∵在锐角△
ABC
中，，∴
sinA=
，
∵
△
bc
•，
∴
bc=13
，
∵△
AEF
外接圆的直径长为，
由正弦定理可得，==，
∴
EF=3
；
（
2
）在△
ABC
中，由余弦定理得，
BC2=b2+c2-2bccosA
=b2+c2-10≥2bc-10=16
，
第8页，共8页
当且仅当
b=c=时取等号，
∴
BC≥4
；
BC
的取值范围：
[4
，
+
）；
（
3
）设，则，
∵，
∴
AB
•
AC=
，
∵
DE
⊥
AB
于
E
，
DF
⊥
AC
于
F
，
∴，，
∴，，
∵
=
=
=-，
∴当
x=3
时，的最大值为，．
∴当
x=3
时，三角形
ABD
与三角形
ADC
面积相等
∴
D
为
BC
的中点，
∴当
D
为
BC
的中点时，△
DEF
的面积最大，最大值为．
【解析】
（
1
）根据面
积为
6
可得
bc
，然后由正弦定理可得
EF
；
（
2
）用余弦定理得到
BC
2
=b
2
+c
2
-2bccosA
，然后用重要不等式可得
BC
的范
围
；
（
3
）
设
，然后根据面
积
关系将
△
DEF
的面
积
用
x
表示出来，再用一元二次函数求其最
大
值
即可．
本
题
考
查
了等
边
三角形的面
积计
算公式、余弦定理、全等三角形的性
质
，考
查
了推理能力与
计
算能力，属于中档
题
．