齐次方程的通解

齐次方程的通解

来和我划船-rre

2023年2月23日发(作者：孔繁森简介)

二阶常系数齐次线性方程的解法

前面我们已经知道了，无论是线性齐次方程和非齐次方程，它们的通解结构虽然知

道，但通解的寻求却是建立在已知特解的基础上。但是，即使对二阶线性齐次方程，

特解的寻求也没有一般的方法。但是对于常系数的二阶线性齐次方程，它的通解可按

一定的方法很容易求的。

二阶线性齐次方程的解法

二阶线性齐次方程的一般形式为：，其中a

1

，a

2

为实常数。

我们知道指数函数eax求导后仍为指数函数。利用这个性质，可适当的选择常数ρ，

使eax满足方程上面的方程。我们可令：，代入上面的

方程得：

因为eax≠0，所以：

这样，对于上面二次方程的每个根ρ，eax就是方程的一个解。方

程就被称为方程的特征方程。根据这个代数方程的

根的不同性质，我们分三种不同的情况来讨论：

1.特征方程有两个不等的实根的情形

设此两实根为。于是是齐次方程的两个

特解，由于它们之比不等于常数，所以它们线性独立，因此，方程的

通解为：

其中c

1

，c

2

为实常数。

2.特征方程有重根的情形

此时特征方程的重根应为：，于是只能得到的一个特解：

，我们可根据常数变易法再求其另一个特解为：.于是方程

的通解为:

3.特征方程有共轭复根的情形

设共轭复根为，那末是方程

的两个线性独立的解，但是这种复数形式的解使用不方便，为了得到

实数形式的解，利用欧拉公式：，为此可以得到方程

的通解：

由上面可知，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为：

1.对照方程写出其特征方程：；

2.求出特征方程的两个根：ρ

1，

ρ

2

3.根据ρ

1，

ρ

2

是不同实根，相同实根，共轭复根，分别利用上面的公式写出

原方程的通解。

例题：求方程的通解.

解答：此方程的特征方程为：

它有两个不相同的实根，因此所求的通解为：

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