巴城老街

巴城老街

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2023年2月19日发(作者：)

2021年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校5月联考

高三数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．）

1．已知集合UR，集合(4)(1)0Axxx，3

log1Bxx，则U

ABð（）

A．13xxB．13xxC．13xxD．14xx

2．已知a为实数，复数(2)izaa（i为虚数单位），复数z的共轭复数为z，若20z，则1z（）

A．1i2B．12iC．2iD．2i

3．在等比数列n

a中，

12

10aa，

34

20aa，则

78

aa（）

A．80B．100C．120D．140

4．甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方，周庄一定要有

人去，则不同游览方案的种数为（）

A．60B．65C．70D．75

5．关于直线:10laxby，有下列四个命题：

甲：直线l经过点(0,1)；乙：直线l经过点(1,0)；

丙：直线l经过点(1,1)；丁：0ab．

如果只有一个假命题，则该命题是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

6．已知ABC△的外心为O，2,||||2AOABACAOAB



，则AOAC



的值是（）

A．3B．

3

2

C．23D．6

7．如图，已知双曲线

22

22

:1(0,0)

xy

Cab

ab

的左、右焦点分别为

1

F，

2

F，以

2

OF为直径的圆与双

曲线C的渐近线在第一象限的交点为P，线段

1

PF与另一条渐近线交于点Q，且

2

OPF△的面积是OPQ△

面积的2倍，则该双曲线的离心率为（）

A．

3

2

B．

32

2

C．2D．3

8．已知实数a，b满足7eaa，

4ln3lncbb，则ab（）

A．3B．4C．3eD．4e

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．）

9．已知a，b均为正数，且1ab，则（）

A．2abB．221abC．

41

1

ab

D．

1

3a

b



10．如图，在棱长为1的正方体

1111

ABCDABCD中，点P在线段

1

BC上运动，则下列判断中正确的是（）

A．三棱锥

1

ADPC的体积是

1

6

B．//DP平面

11

ABD

C．平面

1

PBD与平面

1

ACD所成的二面角为60

D．异面直线

1

AP与

1

AD所成角的范围是,

62









11．已知函数()2cos()0,||

2

fxx

















的图象上，对中心与对称轴

12

x



的最小距离为

4



，

则下列结论正确的是（）

A．

5

()0

6

fxfx















B．当,

62

x











时，()3fx

C．若()2cos2gxx，则()

6

gxfx















D．若44

4

sincos

5

，0,

2

















，则

4

f

















的值为

433

5



12．函数

ln

()

x

fx

x

，若

12

xx时，有12

fxfxm，是圆周率，e2.71828…为自然对数的

底数，则下列说法正确的是（）

A．

1

0

e

m

B．(2)(3)ff

C．2

12

exx

D．3ea，e3b，ec，

ed，x3s，3t，则S最大

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．在

5

2

2

x

x













的二项展开式中，

2x的系数是．

14．请写出满足条件“()(1)fxf对任意的[0,1]x恒成立，且()fx在[0,1]上不是增函数”的一个函

数：．

15．已知抛物线2:2(0)Cypxp，直线l过抛物线C的焦点与抛物线交于A，B两点，以AB为直径

的圆与抛物线的准线的公共点是(1,1)M，则直线l的斜率k．

16．无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，我国最新款的无人侦察机名叫“无侦-8”．无侦-8（如

图1所示）是一款以侦察为主的无人机，它配备了2台火箭发动机，动力强劲，据报道它的最大飞行速度

超过3马赫，比大多数防空导弹都要快如图2所示，已知空间中同时出现了A，B，C，D四个目标（目

标和无人机的大小忽略不计），其中6kmABADBDa，3km3CDa，3kmBCa，且目标A，

B，D所在平面与目标B，C，D所在平面满足二面角ABDC的大小是

2

3



，若无人机可以同时观

察到这四个目标，则其最小侦测半径为kma．

图1图2

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）

17．设a，b，c分别是ABC△中角A，B，C的对边，coscos2cos0aBbAcC．

（1）求C；

（2）若3c，求ABC△面积S的最大值．

18．已知数列n

a的前n项和为

n

S，满足1

3

12

nn

SS

nn



，

1

1a．

（1）求数列

n

a的通项公式；

（2）设

n

n

n

na

b

Sn





，数列

n

b的前n项积为

n

T，若对任意的*nN，4

n

tT恒成立，求实数t的最大值．

19．已知RtABC△中，

2

B



，4AB，1BC，E，F为AB，AC上的动点，且//EFBC，将

三角形AEF沿EF折起至如图所示，使平面ABC平面BCEF．

（1）证明：平面ABC平面ABE；

（2）求平面AFC和平面ABE所成的锐二面角的余弦值的取值范围．

20．随着我国互联网的不断发展，自媒体业飞速发展起来，抖音、快手、微信视频号等等视频自媒体APP，

几乎是全民参与．某中学社会调研社团研究抖音在生活中的普及程度，走向街头巷尾、公园，各行各业办

公室，对市民进行调研，发现约有

2

5

的人发过抖音小视频．为进一步研究，从这些被采访的人中随机抽取3

人进行调查，假设每个人被选到的可能性相等．

（1）记表示发过抖音视频的人数，求的分布列；

（2）随着研究人群范围的扩大，为提高效率，研究组在对某些行业人群集中调研时，先随机抽取一人，如

果他发过抖音小视频，就不再对该群体中其他人进行调查，如果没有发过抖音小视频，则继续随机抽取，

直到抽到一名发过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超过*nnN次，（其中n小于当次调查

的总人数），在抽样结束时，抽到的没发过抖音视频的人数为，求的数学期望．

21．已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为点F，P为C上一点，若点P到原点的距离与点P到点F的

距离都是

3

2

．

（1）求C的标准方程；

（2）动点M在抛物线C上，且在直线2x的右侧，过点M作椭圆

22

:1

43

xy

E的两条切线分别交直

线2x于A，B两点．当||10AB时，求点M的坐标．

22．已知函数22()2cosfxxax．

（1）当1a时，求()fx的导函数()fx



在,

22











上的零点个数；

（2）若关于x的不等式

222cos(2sin)()xaxafx在(,)上恒成立，求实数a的取值范围．

2021年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校5月联考

高三数学参考答案

1-8BBABCDCD

9-12BCABBDABD

13．1014．

5

()sin

2

fxx



【答案不唯一】15．216．13

17．解：（1）coscos2cos0aBbAcC，

sincossincosABBA2sincos0CC，sin2sincos0CCC

0C，sin0C，

1

cos

2

C．

0C，

2

3

C



．

（2）

2

3

C



，

2222coscababC22abab，即229abab．

222abab，223ababab，39ab，3ab．

1333

sin

244

SabCab，当且仅当3ab时取等号．

ABC△面积S的最大值为

3

3

4

．

18．解：（1）由1

3

12

nn

SS

nn



，得

n

S

n











是首项为1，公差为

3

2

的等差数列，

331

1(1)

22

n

Sn

n

n



，

23

2n

nn

S



．

当2n时，

1

32

nnn

aSSn



，

1

1a符合上式，所以32

n

an．

（2）

2(32)

31

n

n

n

nan

b

Snn







，

123

2n

nn

Tbbbb

147322

47103131

nn

nn







，

1

1

22

3(1)131

nn

nn

TT

nn









2(32)

0

(31)(34)

nn

nn







，

1nn

TT



，

1

min

1

2n

TT．

因为对任意的

*nN，4

n

tT恒成立，

所以

1

42tT，即2t．

19．解：（1）证明：由题意知EFAE，EFBE，

而AE平面ABE，BE平面ABE，AEBEE，

EF平面ABE，

//BCEF，BC平面ABE．

又BC平面ABC，平面ABC平面ABE．

（2）【解法一】延长BE，CF交于点P，则AP为平面ABE和平面ACF的交线．过B作BQAP于Q，

连接CQ．

BC平面ABC，BCAP，又BQAP，AP平面BCQ，所以BQC即为平面AFC与平

面ABE所成的角；

设AEx，则4BEx，

22(4)816ABxxx，且(2,4)x，

在RtABP△中，

ABBP

BQ

AP





4816424

816162

xx

xx







，

424

cos

216(24)

x

BQC

xx







424

(24)16(24)4

x

xx







．

令24(0,2)tx，则

2

4

cos

174

t

BQC

t





2

422

0,

3

4

17

t



















．

【解法二】设AEx，则4BEx，

22(4)816ABxxx，且(2,4)x．

由（1）知BA，BC，BE两两互相垂直，分别以BE，BC，BA为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，

则(0,0,0)B，(0,1,0)C，(0,0,816)Ax，(4,0,0)Ex，4,,0

4

x

Fx













，则

4,,816

4

x

AFxx















，4,1,0

4

x

CFx















．

设平面ACF的法向量为(,,)mabc



，则

0

0

mAF

mAF























，解得

4,

2

24

ba

ca

x

















．

取

2

1,4,

24

m

x

















，

又平面ABE的法向量为(0,1,0)n



，所以

4

cos,

2

17

2

mn

x









，

(0,2)x，所以

22

cos,0,

3

mn



















．

所以平面AFC和平面ABE所成的锐二面角的余弦值的取值范围是

22

0,

3















．

20．解：（1）由题意知

2

3,

5

B













，故的所有可能为0，1，2，3．

3

0

3

327

(0)C

5125

P













，

2

1

3

2354

(1)C

55125

P













，

2

2

3

3236

(2)C

55125

P













，

3

3

3

28

(3)C

5125

P













，的分布列为



0

12

3

P

27

125

54

125

36

125

8

125

（2）依题意，的所有可能的值是0，1，2，…，n．

当01kn时，

23

()

55

k

Pk













；

当kn时，

3

()

5

n

Pk













，

222323

()012

55555

E













1233

(1)

555

nn

nn













，①

2332323

()12

55555

E













1233

(1)

555

nn

nn













，②

由①②，得

222323

()

55555

E













111232(1)33

55555

nnn

nn

















，

233

()

555

n

E













2333

1

5555

nn



















，

33

()1

25

n

E





















．

21．解：（1）设00

,Axy，则

0

2

00

3

22

9

2

4

p

x

xpx



















，解得2p（负值舍去）．

（2）不妨设

1MA

kk，

2MB

kk，11

,Axy，22

,Bxy，2,2(2)Mttt．

设过点M作椭圆的切线方程为22ykxtt，①

由

2

22

2

3412

ykxtt

xy















，得2223482kxkttkx2

242120ttk，

由0得423244430tktkt，

所以

3

12

4

4

4

t

kk

t





，

2

12

4

43

4

t

kk

t







，

在①中令2x得，222ytkt，

2

1212

||2AByytkk42

2

4

231612

210

4

tt

t

t







，

解得

24t，点M的坐标为(4,4)．

22．解：（1）()2(sin2)fxxx



，(0)0f



，所以x0是()fx



的一个零点．

令()sin20

2

gxxxx















，则()12cos20gxx



时，

6

x



，

所以()gx在0,

6













上单调递减，在,

62













上单调递增，则

min

3

()0

662

gxg















．

又(0)0g，且0

22

x

g















，所以()gx在0,

2













上存在唯一零点

0

,

62

x















，

则()2()fxgx



在0,

2













上亦存在唯一点．

因为()fx



是奇函数，所以()fx



在,0

2















上也存在唯一零点

0

x．

综上所述，当1a时，()fx的导函数()fx



在,

22











上的零点个数为3．

（2）不等式

222cos(2sin)()xaxafx恒成立，即不等式2cos(2sin)cosxax恒成立．

令sin[1,1]xt，则等价于不等式2cos21tat……（1）恒成立，

①若

21t，即1t时，不等式（1）显然成立，此时aR；

②若11t时，不等式（1）等价于

2

cos2

1

t

a

t





……（2）

设

2

cos2

()(11)

1

t

ktt

t





，则

当01t时，





2

2

2

2cos21sin2

()

1

tttt

ht

t













，

令2()cos21sin2(01)tttttt，则2()21cos2ttt

，

2

0

2



















，0

4



















，且

2

01

24



，

()t在

2

0,

2















，,1

4













上单调递减，在

2

,

24

















上单调递增，

又(0)0，

2

10

416

x















，所以()0t在(0,1)上恒成立，

所以()ht在[0,1)上单调递减，则()(0)1hth，

显然()ht为偶函数，故()ht在[1,1]上的最大值为1，

因此1a，综上所述，满足题意的实数a的取值范围为[1,)．