吉布斯现象
吴德绳-最美心头一亮时
2023年2月22日发(作者：委派函)(一)连续时间信号经采样、截断后的序列为Xn(n)，其频谱函数XN(ejw)，并不随序列末
端补零而改变，信号的频率分辨率为Fs/N.序列末端补零只能提高信号频谱显示的分辨率。
换句话说，如果连续时间信号在离散化或时域加窗截断过程中，由于频谱泄漏或混叠等原因
已造成信号频谱中信息的失真，则无论怎么补零做DFT，都无法再恢复已损失的信息。
提高信号的频率分辨率只有提高信号的采样频率或增加序列的截断长度N(信号的持续
时间加长)。
1）数据后面补零-------不能提高信号的频率分辨率
序列末端补零后，尽管信号的频谱不会变化，但对序列做补零后L点DFT后，计算出
的频谱实际上是原信号频谱在[0,2*pi)区间上L个等间隔采样，从而增加了对真实频谱采样
的点数，并改变了采样点的位置，这将会显示出原信号频谱的更多的细节。故而数据后面补
零可以克服栅栏效应。
2）数据间隔补零-------不能提高信号的频率分辨率
3）数据插值
相当于提高了信号的采样率，可以提高信号的频率分辨率
（二）
【原创】补零与离散傅里叶变换的分辨率[DSP]发布时间：2009-11-2119:57:52
离散傅里叶变换(DFT)的输入是一组离散的值，输出同样是一组离散的值。在输入信号而言，
相邻两个采样点的间隔为采样时间Ts。在输出信号而言，相邻两个采样点的间隔为频率分
辨率fs/N，其中fs为采样频率，其大小等于1/Ts，N为输入信号的采样点数。这也就是说，
DFT的频域分辨率不仅与采样频率有关，也与信号的采样点数有关。那么，如果保持输入
信号长度不变，但却对输入信号进行补零，增加DFT的点数，此时的分辨率是变还是不变？
答案是此时分辨率不变。从时域来看，假定要把频率相差很小的两个信号区分
开来，直观上理解，至少要保证两个信号在时域上相差一个完整的周期，也即是相位相差
2*pi。举个例子，假定采样频率为1Hz，要将周期为10s的正弦信号和周期为11s的正弦信
号区分开来，那么信号至少要持续110s，两个信号才能相差一个周期，此时周期为10s的那
个信号经历的周期数为11，而11s的那个信号经历的周期书为10。转化到频域，这种情况
下，时域采样点为110，分辨率为1/110=0.00909，恰好等于两个信号频率只差（1/10-1/11）。
如果两个信号在时域上不满足“相差一个完整周期“的话，补零同样也不能满足“相差一个完
整周期”，即分辨率不发生变化。另外，从信息论的角度，也很好理解，对输入信号补零并
没有增加输入信号的信息，因此分辨率不会发生变化。
那么，补零到底会带来什么样的影响呢？因为DFT可以看做是对DTFT的采样，
补零仅是减小了频域采样的间隔。这样有利于克服由于栅栏效应带来的有些频谱泄露的问
题。也就是说，补零可以使信号能在频域被更细致地观察。如果不满足上述“至少相差一个
完整周期”的要求，即便是如DTFT一般在频域连续，也无法分辨出两个信号。
那么，影响DFT分辨率最本质的物理机制是什么呢？在于DFT的积累时间，
分辨率为积累时间T的倒数。这点从数学公式上可以很容易得到：
fs/N=1/（N*Ts）=1/T
举个例子说，如果输入信号的时长为10s，那么无论采样频率为多少，当然前提是要满
足奈奎斯特定理，其分辨率为1/10=0.1Hz
（三）
频谱分析
前面指出，DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以
得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。
前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信
号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当
的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。
信号混叠（假频）：
混叠(aliasing)，在讯号频谱上可称作叠频；主要来自於对连续时间讯号作取样以数位
化时，取样频率低於两倍奈奎斯特频率。
当混叠发生时，原始讯号无法从取样讯号还原。
若取样频率选取不当将造成高频讯号和低频讯号混叠在一起，因此无法完美地重建出原
始的讯号。为了避免此情形发生，取样前必须先做滤波的动作。
两个不同的正弦波却有相同的样本值
。蓝色正弦波的频率较低；红色正弦波的频率较高。
奈奎斯特准则
如上图所示若取样的频率太低就会产生取样的结果和原来的样本不同的状况若一样
本的频谱是带限频谱也就是在某一频率ǀWnǀ之外都为0的频谱那麼取样频率Ws就必须
要大於两倍的Wn才不至於使频谱产生交叠也因此产生失真
数学式Ws>=2Wn即奈奎斯特准则
假频（alias）：
抽样数据产生的频率上的混淆。某一频率的输入信号每个周期的抽样数少于两个时，在
系统的的输出端就会被看作是另一频率信号的抽样。抽样频率的一半叫作褶叠频率或尼奎斯
特频率fN；大于尼奎斯特频率的频率fN+Y，会被看作小于它的频率fN-Y。这两个频率fN+Y
和fN-Y相互成为假频，如一个信号每4ms抽样，或每秒抽250个样，尼奎斯特频率就是
125Hz。如果50Hz在通频带内，而又不用去限频滤波器，则200赫也将通过，并且在输出
端显示为50Hz。为了消除假频，在抽样前要用去假频滤波器将大于尼奎斯特频率的倾率掉。
相对于尼奎斯特频率褶叠产生的通频带称为假频通带，或称旁瓣、二次瓣。假频是所有抽样
系统的一个固有性质。它也适用于数字地震记录组合爆炸和组合检波时的抽样，以及离散测
站上重力测量的抽样等等。
假频：原始信号9Hz，采样的频率为10Hz，此时，看到的信号是1Hz的信号。这种出
现的与真实频率不一致的现象成为“假频”。
当信号频率高于采样频率的一半时，会出现数字采样过的信号与原来的信号不一致。
当信号频率为【尼奎斯特频率：采样频率=尼奎斯特频率*2】时，其表现的信号频率为
采样频率减去原始信的频率。即信号频率以尼奎斯特频率为转轴，对折到的频率。如本例，
尼奎斯特频率为5，原始信号频率为9，则对着的频率为1；
可见，采样定理其实就是对每个正弦信号，能够拟合到其振幅，相位，初相位。因此，
在某一个周期内必须有三个点。用cftool便可以检验。因此，采样频率等于尼奎斯特频率也
不行。必须保证在所采样的某个周期中有三个点（其他周期都为两个点也行）。
当信号大于采样频率时，表现出来的频率会出现循环【0：尼奎斯特频率】的循环
频谱泄露：
截断信号时域上相当于是乘以了rectangularwindow，于是造成了频谱泄漏的问题。
对于频率为fs的正弦序列，它的频谱应该只是在fs处有离散谱。但是，在利用DFT求
它的频谱做了截短，结果使信号的频谱不只是在fs处有离散谱，而是在以fs为中心的频带
范围内都有谱线出现，它们可以理解为是从fs频率上“泄露”出去的，这种现象称为频谱“泄
露”。
在实际问题中遇到的离散时间序列x(n)通常是无限长序列，因而处理这个序列的时
候需要将它截短。截短相当于将序列乘以窗函数w(n)。根据频域卷积定理，时域中x(n)和
w(n)相乘对应于频域中它们的离散傅立叶变换X(jw)和W(jw)的卷积。因此，x(n)截矩后
的频谱不同于它以前的频谱。为了减小频谱“泄露”的影响，往往在FFT处理中采用加
权技术，典型的加权序列有Hanning、Blackman、Gaussian等窗序列。此外，增加窗序列的
长度也可以减少频谱“泄露”。小说几句。时域上乘上窗函数，相当于频域进行卷积。长
度为无穷长的常数窗函数，频域为delta函数，卷积后的结果和原来一样。如果是有限矩形
窗，频域是Sa函数，旁瓣电平起伏大，和原频谱卷积完，会产生较大的失真。窗的频
谱，越像delta函数（主瓣越窄，旁瓣越小），频谱的还原度越高。于是，就产生了那么多
bt的窗函数。加窗就不可避免频谱泄漏，典型的加权序列有Hanning、Blackman、Gaussian
等窗序列主要是为了降低降低旁瓣，对于降低频谱泄漏效果远不如增加窗序列的长度明
显吧。周期信号加窗后做DFT仍然有可能引起频谱泄露，设fs为采样频率，N为采样
序列长度，分析频率为：m*fs/N（m=0，1....)，以cos函数为例，设其频率为f0,如果f0不
=m*fs/N，就会引起除f0以外的其他m*fs/N点为非零值，即出现了泄露。DFT作为有
限长的运算，对于无限长的信号必须要进行一定程度的截断，既然信号已经不完整了，那么
截断后的信号频谱肯定就会发生畸变，截断由窗函数来完成，实际的窗函数都存在着不同幅
度的旁瓣，所以在卷积时，除了离散点的频率上有幅度分量外，在相邻的两个频率点之间也
有不同程度的幅度，这些应该就是截断函数旁瓣所造成
栅栏效应（PicketFenceEffect）
N点序列的DFT只能在有限的N个频点上观察频谱，这相当于从栅栏的缝隙中观察景
色，对于了解信号在整个频域上的特性是不够的。为了观察到其他频率的信息，需要对原信
号x[n]做一些处理，以便在不同的频点上采样。
将原来在DTFT频域上的采样点数增加到M点，这样采样点位置变为。则对应的DFT
成为
若在序列x[n]之后补上M-N个零，设为x'[n]，则上式变为
因此将x[n]补零再做DFT就可以得到x[n]的DTFT在其他频率上的值，相当于移动了
栅栏，因而能够从其他位置进行观察。
频谱分辨率
N点DFT的频谱分辨率是2π/N。栅栏效应一节指出可以通过补零观察到更多的频点，
但是这并不意味着补零能够提高真正的频谱分辨率。这是因为x[n]实际上是x(t)采样的主
值序列，而将x[n]补零得到的x'[n]周期延拓之后与原来的序列并不相同，也不是x(t)的采
样。因此与是不同离散信号的频谱。对于补零至M点的x'的DFT，只能说它的分辨率2π/M
仅具有计算上的意义，并不是真正的、物理意义上的频谱。频谱分辨率的提高只能在满足采
样定理的条件下增加时域采样长度来实现。
吉布斯效应（Gibbseffect，Gibbsphenomenon）
Inmathematics,theGibbsphenomenon,isthepeculiarmannerinwhichtheFourierseriesof
apiecewisecontinuouslydifferentiableperiodicfunctionbehavesatajumpdiscontinuity:thenth
partialsumoftheFourierserieshaslargeoscillationsnearthejump,whichmightincreasethe
rshootdoesnotdieoutasthe
frequencyincreases,butapproachesafinitelimit.[1]
将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合
成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的
项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。这种现象称为吉布斯现象。
Approximationofsquarewavein5stepsApproximationofsquarewavein25stepsApproximation
ofsquarewavein125stepsTheGibbsphenomenoninvolvesboththefactthatFouriersums
overshootatajumpdiscontinuity,andthatthisovershootdoesnotdieoutasthefrequency
increases.