方程怎么检验
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2023年2月22日发(作者：高等数学习题)龙源期刊网
探究解方程(组)的检验问题
作者：宋扬
来源：《数学教学通讯·初等教育》2014年第06期
［摘要］解方程包含着“解方程”和“检验”两个步骤，并且缺一不可，无论解哪类方程
（组）都是如此，本文就解方程（组）的检验问题进行一些研讨.
［关键词］解方程（组）；检验；恒等变形；同解原理
解方程（组）是从已知探求未知的重要途径，它在中学尤其是初中教学里所占比重较大.
尽管在方程（组）的教学中，无论对概念、解法还是应用似乎感到问题不大，但从理论上讲还
有许多问题需要加以研究.本文就解方程（组）的检验问题进行一些研讨.
在解一元一次方程时，初中课本对“检验”有不同的提法：先提出“检验”的步骤，这时是把
检验作为解方程的步骤之一；然后提出“自己检验最好用口算”，这里对检验好像还作要求，只
不过对检验方式作了改进；最后连检验提都不提了.那么究竟要不要检验？在解二元一次方程
组时，有的写了检验，有的不写；对三元一次方程组又说“检验一般不必写出”；在解一元二次
方程和简单的高次方程时，对“检验”只字不提.这一系列的处理是否妥当？回答是肯定的.一言
蔽之：凡是解整式方程（组）不必检验！如果真要检验，其作用也只是为验算正确与否，故这
种检验可以省略.
解分式方程或无理方程时情况就大不相同了.解分式方程时，课本对检验是这样要求的：
“用同一个整式（各公式的最简公分母）去乘分式方程的两边，约去分母，化为整式方程时，
最简公分母有可能为零，产生增根，所以必须检验.为了简便起见，通常把求得的整式方程的
根，逐一代入变形时所乘的整式（最简公分母）进行检验：如果不使所乘的整式为零，就是原
方程的根；如果使所乘的整式为零，就是增根，必须舍去.”在解无理方程时，课本对检验是这
样要求的：“为了把无理方程变形为有理方程，需要将方程的两边都乘方相同的次数，这样就
有产生增根的可能.因此解无理方程时，必须把变形后得到的有理方程的根逐一代入原方程进
行检验.如果适合，就是原方程的根；如果不适合，就是增根.”那么，不禁要问：①对这两种
情况为什么必须检验？②可能产生增根的原因何在？③检验时，分式方程和无理方程在提法上
又为什么不一样？
我们都有这样的经验：一元一次方程的求解，是经过一系列变形将其化为最简方程ax=b
（a≠0)而解决的；一元二次方程（以及一些特殊的高次方程）是通过因式分解把它降次化为一
元一次方程来求解的；分式方程是通过去分母化为整式方程来求解的；无理方程是经过方程两
边同乘方相同的次数后，化为有理方程来求解的；二元（多元）一次方程组是通过代入消元或
加减消元，将其化为一元一次方程求解；其他方程（组）是通过降次、消元化为一元一次方程
求解.总之，在解各类方程（组）的过程中，总要通过各种变形，最后化归为一元一次方程求
解.所用的变形有下述两大类型：
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（1）在方程两边同加减一个数或一个整式；同乘一个不等于零的数或式子；同乘方若干
次；代入消元或加减消元等，这类变形称为等式变形.
（2）在方程的一边（或两边各自）进行的如去括号、合并同类项、约分、通分、分解因
式以及利用公式■·■=■，lga2=2lga等变形，这类变形称为恒等变形（在方程的定义域内）.
这两类变形对所要解的方程的解到底会不会发生影响？这就是我们要解决的问题.研究了
方程（组）的同解理论后，对前面的若干问题就会有令人满意的答案.
先看两个实例：
例1?摇解方程：2x+3=1.
方程两边同加-3，有2x=-2；方程两边同乘■，得x=-1.于是我们认为x=-1是方程的解.似
乎原方程经过变形后，所得方程的解就一定是原方程的解.其实这种理解是不完全正确的.
例2?摇解方程：■=－2.
方程两边平方，得2x+1=4；方程两边同加-1，得2x=3.方程两边同乘■，得x=■.显然，该
解并不是原方程的解.因此，不能认为原方程经过变形后，所得方程的解就一定是原方程的解.
从逻辑上讲，原命题“若a则b”正确，未必其逆命题“若b则a”正确.落实在例1和例2
上，就是这个道理.就例2而言，第一步推导过程：■=－2?圯2x+1=4?圯2x=3?圯x=■；第二步
推导过程：x=■?圯2x=3?圯2x+1=4，得不出原来的■=－2.由于不是每一步推导都可逆，于是
x=■也不是原方程的解.?摇?摇
所谓解方程，包含“解方程”和“检验”两个步骤，并且缺一不可，无论解哪类方程（组）都
是如此.如果解了方程就认为，得出的结果就是原方程的解，那么实际上就是用“若a则b”正确
同时代替了“若b则a”也正确.对于“推导的每一步都可逆”这种可逆性（一种等价关系），取个
名称，叫做同解.
根据循序渐进的教学原则，又涉及学生的知识面的局限性和可接受性，在初中要阐述较多
的同解性理论是不符合实际的，课本在具体处理上做到了恰到好处.对于一元一次方程的解
法，课本总结了五个步骤：（1）去分母，（2）去括号，（3）移项，（4）合并同类项，
（5）系数化为1，而这五个步骤均是方程的同解变形，所有的“检验”步骤可以省略，如果检
验，作用只是为了验算计算正确与否.理解了这个道理，就不难理解课本在解一元一次方程
时，对检验的三种处理办法：要求详细检验；简略检验（用口算）；不检验.
对于一元二次方程的解题方法，课本上介绍了四种，它们的每一个步骤都是同解变形，也
就没有提出检验的必要，整式方程（含一元高次方程）都是如此.然而，在解其他类型的方程
（如分式方程、无理方程等）时，未必步步都可逆，出现了非同解变形.
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先看一个分式方程的例子，解方程■+■－■=1，解得x■=2，x■=1.当x=2时，原方程的分
母为零，显然不可能是原方程的根，它是增根.增根产生于何处？按照上述解分式方程的一般
步骤，所有的增根（如果有的话）都在去分母时所乘最简公分母等于零的那些值上，所以检验
时只需将所求的根逐个代入原分式的最简公分母看是否为零.假如使分式方程有意义而方程的
两端不相等，那么一定是计算错误.
由此可见，解分式方程可能产生增根有两种观点：一种是用一个可能等于零的式子去乘以
原方程的两边，就没有同解定理作保证；另一种是由分式方程变为整式方程时，对方程的两侧
进行恒等变形，使定义域发生了改变而引起的.
再看一个无理方程的例子，解方程■=7－x，解得x■=5，x■=10，易知x=10是原方程的增
根.无理方程产生增根的原因之一，是在原方程有理化过程中使所乘式子（此式是由相应的乘
方而得到的）得零而引起的.但这是不是无理方程产生增根的唯一原因呢？答案是否定的.例
如，解方程■·■=■①，通过恒等变形，得到■=■②，解得x■=3，x■=-2，经检验，x=-2是原方
程的增根.方程①的定义域是x∈［1，+∞），而方程②的定义域是x∈［－5，－1］∪［1，
+∞），比较方程①②的定义域，方程②的定义域比方程①的定义域扩大了［-5，-1］部分，而
增根x=-2恰好就在进行恒等变形时，定义域扩大的那一部分中，这就是解无理方程可能产生
增根的第二个原因.
由此可见，解无理方程可能产生增根的原因有两个：一个是由于乘方运算，把共轭因式的
根带进去了，这时把最后的解代入原方程，表现为左端≠右端；另一个是在进行根式变形时，
定义域的扩大所引起的，这时把最后的解代入原方程时，表现为使某个根式无意义.因而无理
方程检验的方法和作用都与分式方程不一样.在检验方法上，分式方程可简单地代入所乘的最
简公分母，看其是否等于零来判断是否为增根；而无理方程必须代入原方程检验.
非同解变形可能产生增根，但方程的非同解变形也可能引起失根（也称丢根、减根）.对
于由于方程定义域的变化，而引起根的增减可以总结为：方程两端进行恒等变形时，若定义域
扩大，则可能产生增根，其增根必在定义域扩大的那一部分里；若定义域缩小，则可能产生失
根，所失的根一定在定义域被缩掉的那部分里.
可以以解对数方程和三角方程为例来分析增减根的情况，其原因往往是在解方程中不可避
免地要进行一些恒等变形，随之引起方程定义域的变化所造成的.例如lgx2=lg9，lg（x2-4）-
lg（x+2）=1，解这类方程，往往不是失根，就是增根，但有时候也可以避免.如lgx2=lg9，若
推出2lgx=2lg3，得到x=3，就将x=-3这一个根丢了；若推出x2=9，得到x=±3，这就避免了
丢根的情况.至于解三角函数，也同样如此.
同解原理是解方程的理论基础，所以，不管是初中阶段的整式方程、分式方程、无理方
程，还是高中阶段的对数方程、三角方程，个人认为解方程（组）的两个步骤缺一不可，特别
是“检验”的步骤至关重要.
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