能带理论
河北快运-等待的句子
2023年2月22日发(作者：描写阴天的句子)第五章固体的能带理论
1.布洛赫电子论作了哪些大体近似？它与金属自由电子论相较有哪些改良？
解：布洛赫电子论作了3条大体假设，即①绝热近似，以为离子实固定在其瞬时位置
上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处置；②单电子近似，以为一个电子在离子实和
其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格
周期性。布洛赫电子论相较于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的彼此作用，也考
虑了电子与电子的彼此作用。
2.周期场对能带形成是必要条件吗？
解：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一
个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从
而形成了一系列的能带。
N
个准持续能级的物理缘故是什么？
解：这是由于晶体中含有的总原胞数
N
通常都是专门大的，因此
k
的取值是十分密集
的，相应的能级也一样十分密集，因此便形成了准持续的能级。
4.禁带形成的缘故如何？您可否用一物理图像来描述？
解：关于在倒格矢
h
K中垂面及其周围的波矢
k
，即布里渊区界面周围的波矢
k
，由于
采纳简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使)(kE函数在布里渊区界面处“断开”，
即发生突变，从而产生了禁带。
能够用下面的图来描述禁带形成的缘故：
O
A
B
C
D
k
E(k)
Δ>0
Δ<0
a
a
图在布里渊区界面附近禁带形成的物理示意图
5.近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同的地方？
解：所谓近自由电子模型确实是以为电子接近于自由电子状态的情形，而紧束缚模型
那么以为电子在一个原子周围时，将要紧受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微
扰作用。这两种模型的相同的地方是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式
的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系
数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，能够取
得一组各展开系数知足的久期方程。那个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解
条件可求出电子能量的本征值，由此便揭露出了系统中电子的能带结构。
6.布洛赫电子的费米面与哪些因素有关？确信费米面有何重要性？
解：布洛赫电子的费米面与晶体的种类及其电子数量有关。由于晶体的很多物理进程
主若是由费米面周围的电子行为决定的，如导电、导热等，因此确信费米面对研究晶体的物
理性质及预测晶体的物理行为都有很重要的作用。
7.试述晶体中的电子作准经典运动的条件和准经典运动的大体公式。
解：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做
准经典粒子。
准经典运动的大体公式有：
晶体电子的准动量为kp；
晶体电子的速度为
)(
1
kv
k
E
；
晶体电子受到的外力为
dt
dk
F
晶体电子的倒有效质量张量为
kk
E
m
)(112
2*
k
；
在外加电磁场作用下，晶体电子的状态转变知足：
)(BvΕ
k
e
dt
d
)(
*
BvΕ
v
m
e
dt
d
8.试述有效质量、空穴的意义。引入它们有何用途？
解：有效质量事实上是包括了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电
子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，如此便
于咱们处置外力作用下晶体电子的动力学问题。
当满带顶周围有空状态
k
时，整个能带中的电流，和电流在外电磁场作用下的转变，
完全犹如存在一个带正电荷
q
和具有正质量*m、速度v(k)的粒子的情形一样，如此一个
假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶周围缺少一些电子的问题和导带底有少数电子
的问题十分相似，给咱们研究半导体和某些金属的导电性能带来了专门大的方便。
9.试述导体、半导体和绝缘体能带结构的大体特点。
解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部份地被电子填充的能带，
后者能够起导电作用，称为导带。
在半导体中，由于存在必然的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中
缺了少数电子，从而致使必然的导电性。
在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全数都是空的，由于满
带不产生电流，因此尽管存在很多电子，并非导电。
·哈斯－范·阿尔芬效应的大体原理及要紧应用。
解：在低温下强磁场中，晶体的磁化率、电导率、比热容等物理量随磁场转变而呈现
出振荡的现象，称为德·哈斯－范·阿尔芬效应。
由于德·哈斯－范·阿尔芬效应同金属费米面周围电子在强磁场中的行为有关，因此
同金属费米面结构紧密相关，因此德·哈斯－范·阿尔芬效应成为人们研究费米面的有力工
具。
)(x
k
应当知足布洛赫定理。假设晶格常数为a，电子的波函数为
（1）x
a
x
k
sin)(；
（2）
x
a
ix
k
3
cos)(；
（3）
i
k
iaxfx)()(（其中f为某个确信的函数）。
试求电子在这些状态的波矢。
解：布洛赫函数可写成)()(xuex
k
ikx
k
，其中，)()(xuaxu
kk
或写成
)()(xeax
k
ika
k
（1）
)(sinsin)(x
a
x
a
ax
ax
kk
故1ikae
a
k
)(sin)(xuex
a
eex
k
x
a
ix
a
ix
a
i
k
显然有)()(xuaxu
kk
故
x
a
x
k
sin)(的波矢是
a
。
（2）
)(
3
cos
)(3
cos)(x
a
x
i
a
ax
iax
kk
因此1ikae
a
k
)(
3
cos)(xue
a
x
ieex
k
x
a
ix
a
ix
a
i
k
显然有)()(xuaxu
kk
故
x
a
ix
k
3
cos)(的波矢
a
。
（3）)()(])1([)()(xmaxfaixfiaaxfax
k
mii
k
故1ikae0k
)()()(00xueiaxfex
k
xi
i
ai
k
故
i
k
iaxfx)()(的波矢为0。
要说明的是，上述所确信的波矢
k
并非是唯一的，这些
k
值加上任一倒格矢都是所需的
解。因为
k
空间中相差任一倒格矢的两个
k
值所描述的状态是一样的。
时，当
时，当
bnaxbanxU
bnaxbnanaxbmxU
)1(0)(
])([
2
1
)(222
其中：
ba4
，为常数。
（1）画出势能曲线，并求出其平均值；
（2）用近自由电子模型求出此晶体的第1及第2个禁带宽度。
解：（1）该周期场的势能曲线如下所示：
其势能平均值为：
22
222
3
3
6
1
4
)(
2
1
)(
)(
bm
b
dxxbm
dx
dxxU
dx
dxxU
U
b
b
b
b
b
b
（2）依照近自由电子模型，此晶体的第1及第2个禁带宽度为
11
2UE
22
2UE
其中
1
U和
2
U表示周期场)(xU的展开成傅立叶级数的第一和第二个傅立叶系数。
于是有
Ox
U
b
b
b3
b5
b7
b3
b5
22
2
1
bm
3
22
222
4
1
2
3
4
1
2
1
4
)(
2
1
4
1
)(
4
1
bm
dbme
b
dUe
b
U
b
b
b
i
b
b
b
i
2
22
222
4
2
2
3
4
2
2
22
)(
2
1
4
1
)(
4
1
bm
dbme
b
dUe
b
U
b
b
b
i
b
b
b
i
故此晶体的第1及第2个禁带宽度为
3
22
11
8
2
bm
UE
2
22
22
2
bm
UE
13.已知一维晶体的电子能带可写成：
)2cos
8
1
cos
8
7
()(
2
2
kaka
ma
kE
。
式中a是晶格常数。试求
（1）能带的宽度；
（2）电子在波矢
k
的状态时的速度；
（3）能带底部和顶部电子的有效质量。
解：（1）在能带底
0k
处，电子能量为
0)0(E
在能带顶
a
k
处，电子能量为
2
22
)(
ma
a
E
故能带宽度为
2
22
)0()(
ma
E
a
EE
（2）电子在波矢
k
的状态时的速度为
)2sin
4
1
(sin
1
)(kaka
madk
dE
kv
（3）电子的有效质量为
kaka
m
dk
Ed
m
2cos
2
1
cos
/
2
2
2*
于是有在能带底部电子的有效质量为mm2*
1
在能带顶部电子的有效质量为
mm
3
2
*
2
14.平面正六角形晶格（见图），六角形2个对边的间距是a，其基矢为
jiaa
a
2
3
21
；
y
1
a
2
a
jiaa
a
2
3
22
试求：
（1）倒格子基矢；
（2）画出此晶体的第一、二、三布里渊区；
（3）计算第一、二、三布里渊区的体积多大？
解：（1）由题意可取ka
3
，那么依照倒格子基矢的概念有
)
3
1
(
2
)(
2
321
32
1
ji
aaa
aa
b
a
)
3
1
(
2
)(
2
321
13
2
ji
aaa
aa
b
a
（2）此晶体的第一、二、三布里渊区如以下图所示
第一布里渊区
第二布里渊区
第三布里渊区
图平面正六边形晶格的布里渊区示用意
（3）由于各个布里渊区的体积都相等，且等于倒格子原胞的体积，因此第一、二、三
布里渊区的体积为
)(
21
*
321
kbbVVV
2
2
3
8
])
3
1
(
2
[)
3
1
(
2
a
aa
kjiji
15.证明正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自由电子的动能，比该区侧面中点处的电子
动能大1倍。对三维简单立方晶格，其相应的倍数是多少？
xO
图
1
b2
b
解：设正方格子的晶胞参数为a，那么其相应的倒格子也为一正方格子，而且其倒格子
基矢大小为
a
2
，由此可知位于该正方格子第一布里渊区角隅处的自由电子的波矢大小为
a
k
2
1
，而位于该区侧面中点处的电子的波矢大小为
a
k
2
。
又由自由电子动能与其波矢的关系式
m
k
E
k2
22
可知，正方格子第一布里渊区角隅处
的自由电子的动能大小为
2
22
1ma
E
k
，而位于该区侧面中点处的电子的动能大小为
2
22
22ma
E
k
，显然有
21
2
kk
EE。
由此证得正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自由电子的动能，比该区侧面中点处的
电子动能大1倍。
对三维简单立方晶格，由相同的方式能够一样证得其相应的倍数为3。
F
k表示自由电子的费米波矢，
m
k表示空间中从原点到第一布里渊区边界的最小距离，求具
有体心立方和面心立方结构的一价金属的比值
mF
kk/。
解：关于体心立方结构的一价金属，其自由电子的费米波矢为
3/1
3
3/1)
2
()
8
3
(2
a
k
F
而
a
k
m
2
，故3/1)
2
33
(/
mF
kk
关于面心立方结构的一价金属，其自由电子的费米波矢为
3/1
3
3/1)
4
()
8
3
(2
a
k
F
而
a
k
m
3
，故3/1)
3
34
(/
mF
kk。
17.一矩形晶格，原胞边长ma10102，mb10104。
（1）画出倒格子图；
（2）画出第一布里渊区和第二布里渊区；
（3）画出自由电子的费米面。
解：由题意可取该矩形晶格的原胞基矢为iaa
1
，jba
2
，由此可求得其倒格子基矢
为
iib10
1
1014.3
2
a
，jb10
2
1057.1，由此可做出此矩形晶格的倒格子图如以下
图所示：
图矩形晶格的倒格子
（2）该矩形晶格的第一布里渊区和第二布里渊区如以下图所示：
第一布里渊区
第二布里渊区
图矩形晶格的第一和第二布里渊区
（3）设该二维矩形晶格晶体含有
N
个电子，由于费米面是
k
空间占有电子与不占有电
子区域的分界面，因此有下式成立
Nk
S
F
2
2)2(
2
由此得2/12/12)(2n
S
N
k
F
上式中
S
N
n为该二维晶格晶体的电子密度。
于是可求得该二维晶格晶体的费米面的半径为
1
b
2
b
O
×1010m-1
1102/1
20
1089.0)
108
1
(14.32
mk
F
由此可做出自由电子的费米面如以下图中圆面所示：
图二维矩形晶格的费米面圆
18.证明：应用紧束缚方式，关于一维单原子链，如只计及最近邻原子间的彼此作用，其s
态电子的能带为
)2/(sin4)(2
min
kaJEkE。
式中：
min
E为能带底部的能量；
J
为交叠积分。并求能带的宽度及能带顶部和底部电子的
有效质量。
解：设s态的原子能级为
s
，当只计及最近邻格点的彼此作历时，那么用紧束缚方式
可求得该一维单原子链的s态电子能量为
近邻
s
s
k
ss
eJJkE
R
RR)()(
0
上式中0)]()([)(
2
0
ξξξξdVUJ
i
，
0)()]()()[()(*ξξξξRξRdVUJ
isis
（其中)(ξU表示晶体中的周
期性势场，也即各格点原子势场之和。)(ξV为某格点的原子势场）
由于s态波函数是球形对称的，因此在各个方向重叠积分相同。
在一维单原子链中，每一个原子周围有2个近邻格点，其格矢别离为
ia
和
ia
，由此
可知一维单原子链的s态电子能量可化为：
kaJJeeJJkE
s
kaka
s
cos2)()(
00
)2/(sin422
0
kaJJJ
s
上式中
0)()]()()[()()(*ξξξξiξiidVUaaJaJJ
ii
由此可知，当
0k
时，即能带底的能量为JJE
s
2
0min
；当
a
k
，即能带
顶的能量为JJE
s
2
0max
于是可证得一维单原子链的s态电子能量为
)2/(sin4)(2
min
kaJEkE
而且还可得能带宽度为JEEE4
minmax
由此还可求得有效质量
kaJadk
Ed
km
cos2
/)(
2
2
2
2
2*
于是可求得能带顶部的电子有效质量
Ja
a
mm
2
2
**
2
)(
能带底部的电子有效质量
Ja
mm
2
2
**
2
)0(
。
a，试依照紧束缚近似的结果，求出能带)(kE的表达式，并求出相应的电子速度)(kv和有
效质量的各个分量
m。
解：当只计及最近邻格点的彼此作历时，依照紧束缚近似可得该晶格由原子s态的形成
的能带表达式为
近邻
s
s
k
ss
eJJkE
R
RR)()(
0
…………………（1）
上式中0)]()([)(
2
0
ξξξξdVUJ
i
，
0)()]()()[()(*ξξξξRξRdVUJ
isis
（其中)(ξU表示晶体中的周
期性势场，也即各格点原子势场之和。)(ξV为某格点的原子势场）
在此二维晶格中，取原点为参考点，那么其六个近邻格点坐标值为
（a，0）（a，0）（
a
2
1
，a
2
3
），
（
a
2
1
，a
2
3
）（
a
2
1
，a
2
3
）（a
2
1
，a
2
3
）
把近邻格式
s
R代入（1）式，并考虑到s态波函数的球对称性可得：
)()(2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
10
yxyxyxyx
xx
akakakakakakakak
akak
s
eeeeeeJJkE
)]
2
3
2
1
cos()
2
3
2
1
cos([cos2
10yxyxxs
akakakakakJJ……（2）
上式中
1
J表示原点所处格点与任一最近邻格点的波函数的重叠积分的负值，并有
0
1
J。
由此可知相应的电子速度为
)(
1
)(kkv
k
E
])
2
3
sin
2
1
cos3()
2
3
cos
2
1
sin[(sin
2
1ji
yxyxx
akakakakak
aJ
选取
x
k，
y
k轴沿张量主轴方向，那么有0**
yxxy
mm，而
)
2
3
cos
2
1
cos
2
1
(cos2
/
2
1
2
2
2
2*
yxx
x
xx
akakakaJ
k
E
m
yx
y
yy
akakaJ
k
E
m
2
3
cos
2
1
cos3
/
2
1
2
2
2
2*
20.用紧束缚方式处置面心立方的s态电子，假设只计及最近邻彼此作用，试导出其能带为
)
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
(cos4)(
0
ak
akak
akak
ak
JAEkEx
zz
yy
x
并求能带底部电子的有效质量。
解：当只计及最近邻格点的彼此作历时，用紧束缚近似方式处置晶体的s态电子，其能
带)(kE的表达式可写为
近邻
s
s
kJeAEkE
R
R
0
)(
上式中
s
E
0
，0)]()([)(
2ξξξξdVUA
i
，
0)()]()()[(*ξξξξRξdVUJ
isi
（其中)(ξU表示晶体中的周期性势
场，也即各格点原子势场之和；)(ξV为最近邻格点的原子势场；
s
R为最近邻格点的位矢）。
对面心立方晶格，取原点为参考点，那么其最近邻的12个格点的位矢坐标值为
（
2
a
，
2
a
，0），（
2
a
，
2
a
，0），（
2
a
，
2
a
，0），（
2
a
，
2
a
，0）
（
2
a
，0，
2
a
），（
2
a
，0，
2
a
），（
2
a
，0，
2
a
），（
2
a
，0，
2
a
）
（0，
2
a
，
2
a
），（0，
2
a
，
2
a
），（0，
2
a
，
2
a
），（0，
2
a
，
2
a
）
将上述的12套坐标值代入上述的)(kE的表达式，可得
]{[)()(
2
)(
2
)(
2
)(
2
0
yxyxyxyx
kk
a
ikk
a
ikk
a
ikk
a
ieeeeJAEkE
][)(
2
)(
2
)(
2
)(
2
zxzxzxzx
kk
a
ikk
a
ikk
a
ikk
a
ieeee
]}[)(
2
)(
2
)(
2
)(
2
zyzyzyzy
kk
a
ikk
a
ikk
a
ikk
a
ieeee
)(
2
cos)(
2
cos)(
2
[cos2
0zxyxyx
kk
a
kk
a
kk
a
JAE
)](
2
cos)(
2
cos)(
2
cos
zyzyzx
kk
a
kk
a
kk
a
)
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
(cos4
0
ak
akak
akak
ak
JAEx
zz
yy
x
由于
0J
，因此当0
zyx
kkk时，)(kE有最小值JAEE12
0min
，即为
能带底部。
选取
x
k，
y
k，
z
k轴沿张量主轴方向，那么有0******
zyyzzxxzyxxy
mmmmmm，
而在能带底部有
2
2
2
2
2
2
2*
2
)
2
coscos
2
cos
2
cos
2
(cos
/
Ja
ak
ak
ak
ak
Ja
k
E
m
x
z
y
x
x
xx
2
2
2
2
2
2
2*
2
)
2
coscos
2
cos
2
cos
2
(cos
/
Jaak
akak
ak
Ja
k
E
m
z
yy
x
y
yy
2
2
2
2
2
2
2*
2
)
2
coscos
2
cos
2
cos
2
(cos
/
Ja
ak
akak
ak
Ja
k
E
m
x
zz
y
z
zz