数列的单调性

数列的单调性

comware-青山绿水的诗句

2023年2月22日发(作者：动感签名)

数列单调性问题探究

☉辽宁省沈阳市教育研究院王恩宾

【期刊名称】中学数学

【年(卷),期】2015(000)009

【总页数】6

【文献来源】/academic-journal-cn_middle-school-

mathematics_thesis/

这是一堂关于高三复习中数列问题的一个小的专题·该课对数列的单调性与函数

的单调性进行了有机的结合，将二者的区别与联系进行了剖析·利用信息技术将

数列的单调性和函数的单调性进行了形象的描绘，在此过程中数形结合思想得

到了渗透·通过对问题不同解法的探求，开拓了学生的视野，发散了学生的思

维·通过编写相似题型，激发了学生的学习潜力，拓宽了眼界，培养了创新能力

和创新意识·

一、开场白

师：同学们好，前面已经复习了函数和数列的基础知识，对数列与函数有了比

较深入的了解·数列和函数有着千丝万缕的联系，数列可以看作是一个函数，当

自变量为正整数（或它的有限子集）时，自变量从小到大依次取值时所对应的

一列函数值·因为从数列第二定义可以看出数列就是一列函数值，所以很多数列

问题都可以借助函数的性质进行解答·

二、巩固基础

师：在前面给大家的导学案中给出了学生自主学习的内容，下面请各小组在小

组内用2分钟时间交流、修正自主学习的问题，并请一名同学进行实物展示自

主学习的第一个问题·

生1：我要展示的是自主学习部分的问题1·

问题1：数列的单调性的定义·

递增数列的定义：如果数列｛an｝满足an＜an+1，那么称数列｛an｝为递增

数列；

递减数列的定义：如果数列｛an｝满足an＜an+1，那么称数列｛an｝为递减

数列·

师：生1同学关于数列递增、递减的定义非常准确，但有时在证明数列的递增

（或递减）时还经常应用an-1＜an（或an-1＞an），此时一定要注意n≥2，

n∈N+这一前提条件，即证明后一定要验证n=1时结论是否成立，这是学生

解题过程中经常出现错误的地方，一定要引起足够的重视·

生2：我要展示的是自主学习部分的问题2·

问题2：等差数列、等比数列的单调性·

师：该同学很好地将等差数列和等比数列这两个重要数列递增、递减的条件进

行了整理，做的非常好·如果将等差数列、等比数列单调递增、递减的这些条件

和结论通过图像的形式进行记忆，那么效果会更好·如图1所示，是老师作出的

数列an=a1qn-1在a1＞1，q＞1时，条件、结论、图像三者有机结合的一个

反映数列单调递增的图像·请同学们课后用GeoGebra软件将其他情况下数列增

减性的图像作出来·

三、源于教材

师：导学案上两个自主探究的问题都是选自教材上的问题，下面我们研究第一

个问题·

问题3：（必修5P39）已知两个等差数列的公差不相等，但第5项相等，这两

个等差数列中除了第5项外，还有序号相同且数值相等的项吗？为什么？

生3：设等差数列｛an｝，｛bn｝的公差分别为d1，d2，且d1≠d2，

a5=b5·假设两个等差数列中除了第5项外，还有序号相同且数值相等的项，那

么an=a5+（n-5）d1=bn=b5+（n-5）d2，得到d1=d2，与已知d1≠d2相

矛盾·因此，两个等差数列中除了第5项外，没有其他序号相同且数值相等的项·

师：该同学利用反证法推导出等差数列不存在项数和项完全相同的情况，推理

过程很严谨·还有没有同学用其他方法解答此问题？

生4：因为等差数列an=a1+（n-1）d1=d1n+（a1-d1）可以看作是自变量

为正整数（或有限子集）的一次函数（或常数），当自变量从小到大依次取值时，

对应的是一列函数值，所以点（n，an）一定落在直线p：y=d1x+（a1-d1）

上·

同理：点（n，bn）一定落在直线q：y=d2x+（a1-d2）上·因为两个数列

｛an｝，｛bn｝具有相同的第5项，所以直线p，q有一个交点（5，a5）·因为

两条直线在斜率不同的情况下最多只能有一个交点，不会有第二个交点，所以

也不会存在这样的数列，除了第五项之外再有序号相同且数值相等的项·

师：该同学将等差数列的通项公式与一次函数图像有机地建立联系，将抽象的

代数问题几何化，借助几何图形直观形象地对问题进行了阐述·虽然没有画图，

但数形结合思想在解答中完美地得到了体现，值得鼓励·

师：自主探究中还要求探究问题4·

问题4：（必修5P48）已知两个等比数列的公比不相等，但第5项相等，这两

个等比数列中除了第5项外，还有序号相同且数值相等的项吗？为什么？

生5：设等比数列｛an｝，｛bn｝的公比分别为q1，q2，且q1≠q2，

a5=b5·假设两个等比数列中除了第5项外，还有序号相同且数值相等的项，那

么an=a5·qn-51=bn=b5·qn-52，得到qn-51=qn-52，如果n-5为偶数，那

么q1=-q2是符合要求的，与已知q1≠q2不矛盾·

因此，两个等比数列中除了第5项外，还有其他序号和数值均相等的项·

例如：等比数列an=2n-1，bn=（-2）n-1的奇数项相同，偶数项互为相反数·

师：图2所示的是给出的公比互为相反数的两个等比数列的图像的对照图·当公

比为负数时，对应的数列为摆动数列，正负交替出现，图中三角形点、圆形点

部分分别为的图像（注意三角形点和圆形点重合的点）·

师：前面回顾了数列单调性的定义，下面用5分钟时间结合数列单调性的定义

各小组给出教材上问题5的不同的解题思路和解题方法·

问题5：（必修5P28）若数列｛an｝的通项公式是an=是第几项？

生6：要判定数列项的最大值和最小值，可以先判定数列的变化规律，根据数

列的变化规律再考虑数列的最大项和最小项·

师：该同学首先利用定义判定了数列的变化规律，再利用分离系数的方法确定

数列各项的大小关系，推理过程严密·但是，此种方法运算的过程比较麻烦，对

抽象思维的要求比较高，计算量较大，因此用此种方法很多同学还存在一些困

难·除了用上面的方法确定数列项的大小外还可以用什么方法解答？

生7：在前面的方法中考虑到可以将此式抽象为反比例函数，此函数的图像可

以利用反比例函数图像向右平移个单位，向上平移1个单位得到，再利用反比

例函数图像和性质来分析对应的数列问题·

方法二：如图3所示，首先，作出函的图像，它是两条双曲线；

其次，在函数图像上作出数列的各个点（n，an）；

第三，根据函数图像数形结合就可以得到第10项最大，第9项最小·

师：方法二是根据数列的各项是函图像上点的纵坐标这一特点，再利用函数f

（x）的单调性的特点，借助数形结合思想得到数列的最大项为a10·此种方法

的优点是能够利用分离系数的方法作出分式函数的图像，直观形象、易于理

解·同时利用函数的图像解决数列的单调性问题时，很容易理解数列的单调性与

函数的单调性的区别所在·此种解法的缺点是在作函数的图像时，平移的量一定

要准确，这样才能更好地利用图像研究数列问题·因为该题两个非常接近10的

数，所以在坐标系中描绘此数值时一定要准确·

师：哪位同学还能提出不同的解题思路？

生8：我们小组是结构来分析的，因为此公式的结构和过两点直线的斜率的公

式常相似，所以可以将an看成是过两点M（n，n），N（）的直线的斜率，再

根据斜率的大小来确定an的最大值和最小值·

师：该同学的思路非常好，此种方法是将an=与过两点A（x，y），B（x，y）

直线的斜率公式k=1122相对比可知，a相当于过两点M（n，n），N（

n）的直线的斜率，因此当n变化时，动态的M点与静态的N点形成的线段的

斜率的最大值就是要求的an的最大值·从理论上看这种思考方法非常的好，但

由于点M（n，n）都在直线y=x上，点N（虽然不在直线y=x上，但是相对

的位置非常接近，所以用肉眼很难判定斜率的大小·如图4所示，即使用计算机

作出的图形也无法判定斜率的不同·由于此题中点的特殊性，因此此题不适合用

此方法·但是，如果N点不在M点所在的直线附近，那么此种方法可以采用，

并且可以起到一目了然的作用·

师：从上面三种解题方法看，请一个同学谈一下自己的体会·

生9：解决数列单调性问题可以从以下几方面考虑：

（1）首先想一想从哪些角度可以解决此问题，确定解决此问题的思路或方向·

（2）若从函数角度解决问题，则需要将数列问题抽象为函数问题，利用函数的

图像和性质进行解题·

（3）因为数列和函数有很多可以相通的地方，所以数列问题可以借助函数进行

解题，但数列并不是函数，因此要注意二者的区别·

师：该同学总结的非常好·

四、高于教材

师：刚才我们研究了教材上的习题，同学们有很多好的解答问题的方法·下面给

大家几分钟的时间，请各个小组设计一个与问题5类似的试题，并说明设计思

路·

生10：我们小组考虑改变两个常数为变化的数值，将问题从特殊变换成一般·

设计问题1：数列｛an｝的通项公式是λ∈N+，它的前n项中最大的项是第几

项？最小的项是第几项？如图5所示的图像是我们借助GeoGebra软件制作的

取不同值时的图像·

生11：小组2的同学研究了分式函数上数列的单调性变化情况，常见的函数当

然包括二次函数，因此我们设计的题目是针对二次函数进行设计·

设计问题2：数列｛an｝的通项公式是an=n2+2n，n∈N+，它的前n项中最

大的项是第几项？最小的项是第几项？

师：两个小组的设计非常好，能够将常见的函数与数列进行有机的整合，为数

列单调性问题的分类提供了依据·下面结合该小组同学的设想看下面的问题·

五、问题探究

问题6：若数列｛an｝的通项公式是an=n2+λn，｛an｝是单调递增数列，求

实数λ的取值范围·

生12：因为数列｛an｝的通项公式是an=n2+λn，｛an｝是单调递增数列，所

以an+1＞an，所以（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，所以λ＞-（2n+1）·因

为-（2n+1）max=-3，所以λ＞-3·

师：该同学利用递增数列的定义建立关于n、λ的不等式，通过分离系数得到

关于λ的恒成立不等式，因此λ只需大于-（2n+1）的最大值-3即可·

师：除了上面的解法还可以怎么考虑此问题？

生13：若将an=n2+λn看成关于二次函数，则此函数的图像是开口向上的抛

物线，点（n，an）都是抛物线上的点·如果函数an=n2+λn的对称轴n=≤1，

即λ≥-2时，根据二次函数图像的特点，都有an+1＞an，此时数列为递增数

列·

师：该同学能够将an=n2+λn看成关于n的二次函数，并利用二次函数的图

像和性质来研究数列的单调性，很好地在函数与数列之间建立起联系的桥梁，

体现了数形结合思想·但是，考虑到了函数和图像间的联系，却忽略了函数与数

列之间的区别·数列是一列特殊的函数值，因此数列的单调性既与函数的单调性

有联系，又与函数的单调性有区别·

（1）如果函数an=n2+λn的n=1，即λ≥-2时，根据二次函数图像在对称轴

右边单调的特点，都有an+1＞an，此时数列｛an｝为递增数列；

（2）如果函数的对称轴-1，且数列为递增数列，那么必须满足a1＜a2，

所以λ＜-2，且1+λ＜22+2λ，所以-3＜λ＜-2·

综上（1）（2）所述，实数λ的取值范围是λ＞-3·

六、巩固加深

师：利用上面研究问题的方法解答下面的问题·

问题7：已知数列｛an｝的通项公式是若｛an｝是单调递增数列，求实数λ的

取值范围·

生14：因为｛an｝是单调递增数列，所以a以λ＜n（n+1）min=2，所以λ

＜2·

师：该同学的方法思路简单，根据数列单调性的定义，很容易将数列递增的问

题转化为不等式恒成立问题，再求参数的取值范围·下面请同学们利用函数的性

质进行解答·

生15：因为函数（fx）=x+的图像在（0，+∞）为“对号函数”，在（0，］上

单调递减，在［+∞）上单调递增，所以数列a=n+单调递增时，必须满足

n

师：该同学解答问题的思路很好，能够将数列和函数联系在一起研究，但是该

同学在思考问题时，人为地将λ的取值范围进行了缩小，造成解答问题不够全

面的情况·因为实数λ的取值范围没有确定，所以对λ的取值情况要根据函数的

不同情况进行分类讨论，再将各种情况进行合并，找到符合要求的λ的取值范

围·下面请各小组将该问题的解答补充完整·

生16：根据老师刚才的提示，我们小组认为函数（fx）=x+为对号函数的条件

是λ＞0，所以还要对λ＜0，λ=0两种不同情况进行思考·我们小组分三种情况

进行讨论·

（1）当λ＜0时，因为函数（fx）=的在［1，+∞）上单调递增，所以数列是

单调递增数列；

（2）当λ=0时，an=n为单调递增数列；

（3）如图6所示，当λ＞0时，因为函数（fx）=的图像在（0，+∞）上为对

号函数，在（0，］上单调递减，在［，+∞）上单调递增，所以数列单调递增

时，

综上（1）（2）（3）所述，｛an｝是单调递增数列时，实数λ的取值范围是λ＜

2·

师：该同学的解法中，首先，将数列问题和函数问题结合在一起，利用函数思

想解决数列问题；其次，利用分类讨论思想将对函数不同的情况进行了讨论；

第三，实现了数列的单调递增与不等式组的等价转化·

七、举一反三

师：通过问题1～问题7的学习，复习、巩固、引申了数列单调性，对数列的

单调性有了比较深入的理解·请各小组结合教材上与单调性有关的问题8提出自

己小组设计试题的思路和想法·

问题8：（必修5P32）已知函数f（x）=造数列an=f（n）（n∈N+）·

（1）求证：an＞-2；

（2）数列｛an｝是递增数列还是递减数列？为什么？

生17：我们小组利用GeoGebra软件作出了含有两个像都是双曲线型图像，

在区间（0，+∞）上存在单调递增、单调递减、两段递增、两段递减四种不同

的情况，因此可以设计与数列有关的试题包括最大值（或最小值）、数列通项满

足的不等式、数列的单调性几个问题·

师：该小组的同学能够利用信息技术手段研究数学问题，开辟了数学新的研究

方式·数学已经不仅仅进行逻辑推理得出结论，数学已经变成了一个实验性的学

科，将会有更多的数学结论通过实验被发现·此种思路很好，课后请同学们按照

该小组提出的设计思路命制出符合要求的试题·

生18：我们小组考虑的是问题中给出的是分式函数，如果在此函数的基础上乘

以一个x+a，那么函数将变成k（x）=（x+a）f（x）的形式，整理、换元后

该函数k（x）是关于x的“对号函数”形式，并且含有参数a，这样就可以设

计出下列问题·

设计问题3：已知函an=（n+a）f（n）（n∈N+），实数a满足什么条件时，

数列｛an｝单调递增（或单调递减）·

师：该小组同学从另一角度思考了这一问题，通过一个简单的变形，将一个问

题转化为另一问题，将前面研究的两个试题整合在一起，这种思考问题的方法

可以大大地拓宽试题的设计思路，命制出更好的试题·

八、课堂小结

师：下面请各小组对本节课进行小结·

生19：复习巩固了数列单调性的定义，并能应用定义判断数列的单调性·

生20：能够将数列的单调性与函数的单调性进行整合，借助函数的单调性研究

数列的单调性·

生21：利用信息化手段可以进行数学试验获得数学结论，探索获取新知识、新

结论的方法·

生22：通过举一反三环节可以有效地培养创新意识和创新能力·

九、反思启发

什么样的课是好课？不同的人对好课的理解会有所不同·比如：华东师范大学教

授叶澜认为：一堂好课没有绝对的标准，但有一些基本的要求·

（1）有意义：学生的学习首先是有意义的·初步的意义是他学到了新的知识；

进一步是锻炼了他的能力；往前发展是在这个过程中有良好的、积极的情感体

验，产生进一步学习的强烈要求；再发展一步，是他越来越会主动投入到学习

中去·对于高三复习来说问题的选取要源于教材、高于教材，要将高考的要求与

教材上的例题、习题有机地结合在一起·在本节课中几个试题的原型都来自于教

材，因此从有意义的角度看，完全符合要求·

（2）有效率：一是对面上而言，这节课下来，对全班学生中的多少学生是有效

的，包括好的、中间的、困难的，他们有多少效率；二是效率的高低·有的高一

些，有的低一些，但如果没有效率或者只是对少数学生有效率，那么这节课都

不能算是比较好的课·从这个意义上讲，这节课应该是充实的课·整个学习过程，

有课前的复习总结、有课上的展示发言、有问题的拓展引申、有课后的完善，

课上、课下大家都有事情干，通过教师的点评，学生都能从中获得启迪，整个

课堂的容量很大·

（3）生成性：本节课不完全是预先设计好的，而是在课堂中有教师和学生真实

的、情感的、智慧的、思维和能力的投入，有互动的过程，气氛相当活跃·在本

节课中，既有资源的生成，又有过程状态的生成，既研究试题本身的变化，又

研究试题所反映出的本质特点，学会对试题进行归类，这样的课可称为丰实的

课·

（4）常态性：平时的教学离不开教材，善于对教材上的试题进行总结、分类、

合并、变形是教学的常态，本节课就很好地反映了这一点·

（5）有待完善：本节课还有需要完善的地方，特别是在短时间内研究了这么多

的问题，即使学生课前有所研究，但时间上还是显得比较紧张·只要是真实的课

就会有缺憾，课不能十全十美，十全十美的课造假的可能性最大，有缺憾是真

实的一个指标，笔者喜欢上这样的课·生活中的课本来就是有待完善，这样的课

称之为真实的课·扎实、充实、平实、真实，说起来好像很容易，真正做起来却

很难，但正是在这样的一个追求过程中，教师的专业水平才能提高，心胸才能

博大起来，同时也才能真正享受到：“教学的过程是一个创造性的过程，也是

欢乐和智慧的体验过程”·F

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