无锡高中
-
2023年2月19日发(作者：)无锡市普通高中2022年春学期高一期终调研考试试题
数学2022.06
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．复数z满足i·z＝－1＋i，则|z|＝(▲)
A．5B．2C．1D．2
2．若直线l不平行于平面α，且lα，则下列结论成立的是(▲)
A．α内的所有直线与l是异面直线B．α内的所有直线与l都相交
C．α内存在唯一一条直线与l相交D．α内存在无数条直线与l相交
3．已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，若a＋λb与λa＋b共线，则实数λ的值为(▲)
A．－1B．1C．±1D．0
4．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现点数不超过
3”，则事件A与事件B的关系为(▲)
A．相互独立B．互斥C．互为对立D．相等
5．某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示：
则第85百分位数是(▲)
A．3325B．3130C．3050D．2950
6．一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为(▲)
A．4πB．
2π
3
C．2πD．22π
7．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2
→
AO＝
→
AB＋
→
AC，|
→
OA|＝|
→
AB|，则向量
→
BA在向量
→
BC的
投影向量为(▲)
A．
1
4
→
BCB．
3
4
→
BCC．
1
2
→
BCD．－
3
4
→
BC
8．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝2a，a2sinC＝6sinA，则△ABC面
积的最大值为(▲)
A．3B．5C．6D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．有一组样本数据x
1
，x
2
，…，x
n
，由这组数据得到新样本数据x
1
，x
2
，…，x
n
，―x，其中―x
＝
1
n
n
i
i
x
1
，则(▲)
A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同
10．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是(▲)
A．若sinA＞sinB，则A＞B
B．若a2＋b2－c2＞0，则△ABC是锐角三角形
C．若acosB＋bcosA＝a，则△ABC是等腰三角形
D．若
a
sinA
＝
b
cosB
＝
c
cosC
，则△ABC是等边三角形
11．四棱台A
1
B
1
C
1
D
1
－ABCD的底面ABCD是正方形，A
1
A⊥平面ABCD，AB＝2AA
1
＝2A
1
B
1
＝2，则下列说法正确的有(▲)
A．直线B
1
B与直线D
1
D异面B．平面BB
1
D
1
D⊥平面AA
1
C
1
C
C．直线B
1
D
1
与直线CD所成角的大小为45°D．该四棱台的体积为
7
3
12．一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方
案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，
若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案
三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到3号球的概率分别为P
1
，
P
2
，P
3
，则(▲)
A．P
1
＜P
2
B．P
1
＜P
3
C．P
2
＞P
3
D．P
1
＋P
2
＋P
3
＝
3
2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，且A，B互斥，则P(AB)＝▲．
14．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知C＝60°，a＝1，c＝7，则b＝
▲．
15．点P是边长为2的正三角形ABC的三条边上任意一点，则|
→
PA＋
→
PB＋
→
PC|的最小值为
▲．
16．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，△ABC和△ADC是边长为2的等边三角
形，BD＝22，则球O的体积为▲；若P，Q分别为线段AO，BC的中点，则PQ＝
▲．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知复数z
1
＝1＋2i，z
2
＝3－4i．
(1)若复数z
1
＋λz
2
在复平面内对应的点在第二象限，求实数λ的取值范围；
(2)若复数z＝z
1
(μ＋z
2
)(μ∈R)为纯虚数，求z的虚部．
▲▲▲
18．(本小题满分12分)
猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动．在一次元宵节猜灯谜
活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙
同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为
22
25
，求n的值．
▲▲▲
19．(本小题满分12分)
平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知e
1
，e
2
为两个夹角成60°的单位向量，
→
OA＝e
1
＋3e
2
，
→
OB＝5e
1
＋e
2
．
(1)求|
→
AB|；
(2)设
→
OC＝te
1
，问是否存在实数t，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形?若存在，求t的
值；若不存在，请说明理由．
▲▲▲
20．(本小题满分12分)
我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生
活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量(单位：m3)，将数据按照[0，4)，
[4，8)，…，[32，36)分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，
该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20m3
的部分按3元/m3收费，第二阶梯为超过20m3但不超过28m3的部分按5元/m3收费，第三
阶梯为超过28m3的部分按8元/m3收费．
(1)求直方图中a的值；
(2)已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数，并说明
理由；
(3)该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数
据判断，现行收费标准是否符合要求?若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调
到多少m3？．
▲▲▲
21．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，
E为PB中点，M为AD中点，F为线段BC上一点．
(1)若F为BC中点，求证：PM∥平面AEF；
(2)设直线EF与底面ABCD所成角的大小为α，二面角E－AF－B的大小为β，若tanβ＝10
tanα，求BF的长度．
▲▲▲
22．(本小题满分12分)
△ABC中，已知AB＝1，BC＝7，D为AC上一点，AD＝2DC，AB⊥BD．
(1)求BD的长度；
(2)若点P为△ABD外接圆上任意一点，求PB＋2PD的最大值．
▲▲▲