角平分线定理证明
平行作业-道德经的智慧
2023年2月22日发(作者：田礼)精品
角平分线定理
角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个
相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
■三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的
点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射
线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的
距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相
等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两
邻边对应成比例，
如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC
提供四种证明方法：
已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC
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已知和证明1图
证明：方法1：（面积法）
S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,
S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,
∴S△ABM：S△ACM=AB:AC
又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，
证明2图
即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM
∴AB／AC=MB／MC
方法2（相似形）
过C作CN‖AB交AM的延长线于N
则△ABM∽△NCM
∴AB/NC=BM/CM
又可证明∠CAN=∠ANC
∴AC=CN
∴AB／AC=MB／MC
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证明3图
方法3（相似形）
过M作MN‖AB交AC于N
则△ABC∽△NMC,
∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC
又可证明∠CAM=∠AMN
∴AN=MN
∴AB/AC=AN/NC
∴AB／AC=MB／MC
方法4（正弦定理）
作三角形的外接圆，AM交圆于D，
由正弦定理，得，
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证明4图
AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,
∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM
又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180°
sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,
∴AB／AC=MB／MC