矩阵分解

矩阵分解

医学生毕业论文-米克诺斯

2023年2月22日发(作者：分消汤)

毕业论文文献综述

数学与应用数学

矩阵分解的研究

一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，扼要说明有

关主题争论焦点）

在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及到矩阵理论的知识。

因此，矩阵理论自然就是学习和研究上述学科必不可少的基础之一。矩阵理论发

展到今天，已经形成了一整套的理论和方法，内容非常丰富。矩阵分解对矩阵理

论及近代计算数学的发展起了关键的作用。寻求矩阵在各种意义下的分解形式，

是对与矩阵有关的数值计算和理论都有着极为重要的意义。因为这些分解式的特

殊形式，一是能明显的反映出原矩阵的某些特征；二是分解的方法与过程提供了

某些有效的数值计算方法和理论分析根据。这些分解在数值代数和最优化问题的

解决中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起着必不可少的作用。

本文结合矩阵的基本知识原理，对矩阵分解的各种常用形式进行梳理、归纳，

并举例进行说明。

矩阵的定义:

由mn个数(1,2,,,1,2,,)

ij

aKimjn排成的m行、n列的长方形表

11121

21222

12

n

n

mmmn

aaa

aaa

aaa













(1)

称为数域K上的一个mn矩阵。其中的

ij

a称为这个矩阵的元。两个矩阵相

等就是它们对应位置的元全相等[1]。

矩阵通常用一个大写拉丁字母表示。如（1）的矩阵可以被记为A.如果矩阵

的行数m与列数n相等，则称它为n阶方阵。数域K上所有mn矩阵的集合记

为

,mn

MK,所有n阶方阵的集合记为

n

MK，元全为0的矩阵称为零矩阵，记

为0.矩阵A的位于第i行、第j列的元简称为A的,ij元，记为,Aij。如果矩

阵A的,ij元是(1,2,,,1,2,,)

ij

aimjn，则可以写成ij

Aa

。为了说明这

个矩阵是m行n列的，也可写成

ij

mn

Aa





或

mn

A



。当mn时又记为

ij

n

Aa

矩阵分解的定义:

所谓矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵

的和或乘积[2]。

本文先简单的介绍了矩阵的定义，通过矩阵的定义，来研究矩阵分解的几种

类型，如满秩分解、奇异值分解、三角分解、和式分解、QR分解等常用的几种

分解。通过这几种分解的介绍，来说明矩阵分解在数值代数和最优化问题的解决

中的重要作用.从矩阵分解的定义我们可以知道,矩阵分解是将其分成若干个矩阵

的和或乘积,可是,不同的矩阵都是用同样的方法去分解吗?还是说不同性质的矩

阵,应该选择不同的分解方法?矩阵分解在数值代数和最优化问题中到底有何作

用?为什么不同的人,对同一个矩阵,会有不同的分解方法,哪一个方法才是最适合

分解方法.这已成为大家争论的焦点。

二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题

的评述）

（一）历史背景

矩阵是代数中的一个应用广泛的重要概念，是代数中的主要研究对象，是线

性代数中最为重要的核心内容，并且对矩阵的研究往往可以对矩阵进行初等变换

或进行分解以后研究。在实际中的很多问题(如线性方程组求解、二次型化标准

型和线性变换的最简矩阵表示等等)都可以归结为矩阵并最终通过矩阵解决，而

矩阵的初等变换又是解决矩阵问题的最有效工具之一.熟知,通过矩阵的初等变

换,我们可以判别线性方程组是否有解并求其解，化二次型为标准型,判别方阵是

否可逆以及求解逆矩阵。当某些矩阵满足一些特定的条件可以对其进行一定的分

解。

矩阵理论是数学的一个重要的分枝，而且已成为现代个科技领域处理大量有

线维空间形式与数量关系的强有力的工具。而矩阵分解是矩阵理论中的重要部

分，使得人们都在研究矩阵的各种分解形式，对于满秩分解、奇异值分解、三角

分解、和式分解、QR分解等常见的分解，都想通过他们的性质，应用到更多的

领域。矩阵分解对于矩阵的研究来说，已经产生了重大的影响。

（二）现状和发展方向

矩阵分解作为矩阵理论中的一个重要组成部分，目前已经有了丰富的研究成

果，其中包括对满秩分解、奇异值分解、三角分解、和式分解、QR分解及一些

特殊矩阵分解的研究。

主要成果有：王文娟【3】对满秩分解和奇异值分解的定义及其定理做了简单

介绍，并举例说明了奇异值分解在求解各类最小二乘方面的应用；靳全勤【4】对

矩阵的满秩分解做了分析，满秩分解是初等变换的一个应用，并利用初等变换对

矩阵满秩分解给了一个简洁方法;俞丽彬,彭振赟[5]研究了具有中心对称结构矩

阵的奇异值分解,矩阵的奇异值分解公式及Moore2Penrose逆的快速算法,能极

大地节省求该类矩阵奇异值分解和Moore2Penrose逆时的计算量和存储量;史荣

昌、魏丰[6]对矩阵分解做了详细的研究，其中包括矩阵的满秩分解，矩阵的正交

三角分解（UR、QR分解）,矩阵的奇异值分解等，对他们的定理进行了证明，并

通过例子详细分析了计算；和斌涛[7]主要研究矩阵初等变换与矩阵的QR分解的关

系。讨论了第一类,第二类矩阵的初等变换对矩阵的QR分解的影响,即初等变换

后新矩阵的Q矩阵和R矩阵与母矩阵的Q矩阵和R矩阵之间的定理量关系并利用第

三类初等变换给出了矩阵QR分解的新方法;许成锋、刘智秉、王侃民、陈剑军[8]

对广义延拓矩阵QR进行分解,阐明Q矩阵、R矩阵与母矩阵的Q矩阵、R矩阵之间的

定量关系,结出了两种快速算法;袁晖坪[9]提出了行(列)倒置矩阵与行(列)对称

矩阵的概念,研究了它们的性质,获得了一些新的结果,给出了实行(列)对称矩阵

的QR分解的公式,它们可极大地减少行(列)对称矩阵的QR分解的计算量与存储量,

而且不会降低数值精度;王瑜[10]认为矩阵A可分解为两个或几个矩阵的和，则可

以用分解式计算与A可交换的矩阵，A的幂次或A的特征值等。其技巧性、灵活性

及实用性都很强,是解决某些线性代数问题的重要方法;杨浩波[11]探讨了数域K

上n×n矩阵与幂零矩阵的运算联系.特别地,文章证得每个奇异方阵可写成一

个幂零方阵和两个幂零方阵的积之和;沈忱[12]对矩阵的三角分解理论分析作了

比较全面的统述，它包括矩阵三角分解存在唯一性的充要条件、存在性的充要条

件等.并介绍了三类特殊矩阵的三角分解,且对矩阵三角分解的计算及应用作了

较详细的论述.最后，本文特别例举了比较有意思的简单多项式矩阵的分解;胡茂

林[13]对矩阵的三角分解、满秩分解、QR分解、奇异值分解做了研究，运用Gauss

消去法对三角分解做分析等等；徐晓飞、曹祥玉、姚旭、陈盼[14]详细地分析了

DoolittleLU分解过程，基于分解过程的特点，MPI(Message-Passinginterface)并

行环境下，提出了按直角式循环对进程进行任务分配的并行求解方法，这是对LU

分解的应用的一种说明；索朗【15】提出了一种针对M矩阵(若A非奇异,10A

,

且A的非对角元非正,则称A为M矩阵)的正则分解方法。如果矩阵是对称的,

那么这种分解方法能够得到很好的分解效果,而且如果将它与共轭梯度法相结

合就能得到一种更快的迭代算法。在文章中证明了这种不完全LU分解算法的稳

定性和收敛性。最后,将这种方法应用于几种不同的矩阵。黄明游、刘播、徐涛

【16】对矩阵的LU分解进行了分析，对它的定理进行说明并证明，且介绍了Doolittle

分解和Crout分解。有关矩阵分解还参见外文文献，即文献[17]-[18]。

(三)研究内容

数学思维的特点之一就是寻找各种关系，并由此去探索扩充某种思想的途

径，这些都要建立在归纳、总结的基础上。所以,我们对矩阵分解的各种类型做

进一步的归纳、总结，进一步深入的研究，使其得到更加广泛的应用。

矩阵分解的各种形式及方法归纳如下：

矩阵的满秩分解：

设mn

r

AR（r>0）,即A的秩是r,如果存在矩阵,mrrn

rr

FRGR,使得

AFG(2)

则称式（2）是矩阵A的满秩分解.

定理1设mn

r

AR,则A有满秩分解式(1).

定理2若

11

ABCBC均为A的满秩分解,则:

(1)存在rr

r

DR,满足1

11

,BBDCDC.

(2)1111

111111

TTTTTTTTCCCBBBCCCBBB.

为了引入矩阵的奇异值,先介绍两个引理

引理1对于任何一个矩阵A都有

rankHAA

=rankHAA

=rankA

引理2对于任何一个矩阵A都有HAA与HAA是半正定Hermite矩阵.

定理3设mn

r

AC,则0

ii

1,2,,ir

设mn

r

AC,HAA的正特征值

i



,HAA的正特征值

i



,称

iii

1,2,,ir

是A的正奇异值,简称奇异值.

定理4若A是正规矩阵,则A的奇异值是A的非零特征值的绝对值.

定理5若mn

r

AC,

12r

是A的r个正奇异值，则存在m阶酉矩

阵U和n阶酉矩阵V,满足

0

00

HHAUDVUV











其中，

12

,,,

r

diag，

U

满足HHUAAU是对角矩阵，

V

满足HHVAAV时

对角矩阵.

设给定的矩阵nnAR,将方阵A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩

阵U的乘积的分解称为A的三角分解或LU分解.

定理6给定矩阵nnAR,主元(1),1,,i

ii

aik均不为零的充分必要条件是

A的顺序主子式,1,,

i

ik都不为零.

定理7设

ij

Aa







是n阶矩阵，A可以唯一地分解为单位下三角矩阵L和上

三角矩阵

U

的乘积当且仅当A的前

1n

个顺序主子式0,1,,1

i

in

一个矩阵的

QR

分解是指将矩阵A分解为

AQR

，其中

Q

是正交矩阵，R是

上三角阵，因此，

QR

分解有时也称为正交三角分解.

定理8(QR分解的唯一性)若nnAR是非奇异的,则存在唯一正交矩阵

nnQR和主对角线元素全为正的上三角矩阵nnRR,使得AQR.

矩阵的和式分解是指将一个矩阵分解为两个或两个以上特征矩阵(如单位矩

阵,对称矩阵)的和的形式.

定理9任何一个n阶矩阵都可以表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵

之和

定理10秩为r的实对称矩阵A可表示成r个秩为1的对称矩阵之和,其组

合系数为A的特征值.

最后,通过以上对各种分解的定义,来对各种分解的应用做出举例.

三、总结部分（将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展

方向做出预测）

数学作为一种创造性活动不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美.矩阵是数

学中的重要组成部分,因此对矩阵的研究具有重大的意义.本文主要研究了矩阵

的一方面,即对矩阵的分解做了详细的研究,首先论述了矩阵的意义或者说是矩

阵分解的定义,通过查阅各种相关教材、文献，系统归纳和总结了矩阵分解的几

种常见分解,即满秩分解、奇异值分解、三角分解、和式分解、QR分解.对这五

类矩阵分解定义的分析,可以知道对于不同矩阵可能满足很多不同分解的条件,

但却可以选择一种最合适的分解方法.本文结合例子说明了这五类矩阵的应用,

主要是在数值代数和最优化问题等方面的应用.随着科学技术的发展，函数项级

数作为数学分析中的一项重要内容，会在更多的领域拥有广泛的应用，对其的研

究也将更加的深入、透彻。

四、参考文献（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）

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