空间直线方程

空间直线方程

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平面、空间直线及其方程

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一、向量的向量积：

ba







二、平面及其方程

一、平面的点法式方程

1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。

平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。

2．平面的点法式方程

已知平面上的一点

),,(

0000

zyxM和它的一个法线向量},,{CBAn，对平面上的任一点),,(zyxM，有

向量MM

0

n，即

0

0MMn

代入坐标式，有：

0)()()(

000

zzCyyBxxA此即平面的点法式方程。

【求平面方程的方法】

233231131221

{,,}.ababababababab

;(1)在平面上找出一个点.(2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)

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二、平面的一般方程

任一平面都可以用三元一次方程来表示。

平面的一般方程为：

0DCzByAx

几个平面图形特点：

1）D＝0：通过原点的平面。

2）A＝0：法线向量垂直于

x

轴，表示一个平行于

x

轴的平面。

同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或

z

轴的平面。

3）A＝B＝0：方程为0DC

Z

，法线向量},0,0{C，方程表示一个平行于xoy面的平面。

同理：0DA

X

和0DB

Y

分别表示平行于yoz面和

xoz

面的平面。

4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765zyx都表示一个平面，该平面的法向量为

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}7,6,5{n

例2：设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，求此平面方程。

解：设平面为0DCzByAx，由平面过原点知0D

由平面过点)2,3,6(知0236CBA，

{4,1,2}n024CBACBA

3

2



所求平面方程为0322zyx

三、空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程

空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：











0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

二、空间直线的对称式方程与参数方程

平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。

已知直线上的一点

),,(

0000

zyxM和它的一方向向量},,{pnms，设直线上任一点为),,(zyxM，那么

MM

0

与s平行，由平行的坐标表示式有：

p

zz

n

yy

m

xx

000











此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。

.的直线

为方向向量)3,0,2(且以)3,2,1(表示过点

3-

3

0

2

2

1

例如











s

zyx

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如设

t

p

zz

n

yy

m

xx













000

就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）

















ptzz

ntyy

mtxx

0

0

0

三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。

例2：求过点（2，1，3）且与直线

12

1

3

1









zyx

垂直相交的直线方程．

解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面

的方程为

0)3()1(2)2(3zyx

再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为

x=-1+3ty=1+2tz=-t

并代入上面的平面方程中去，求得t＝

7

3

，从而求得交点为)

7

3

,

7

13

,

7

2

(．

以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量：

}4,1,2{

7

6

}

7

3

3,

7

13

1,

7

2

2{s

故所求直线方程为

4

3

1

1

2

2









zyx

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