初中数学竞赛

发布时间：2023-06-07 作者：admin 来源：文学

初中数学竞赛

球虫疫苗-清明诗词

2023年2月22日发(作者：再生骨料混凝土)

才哥数学481659882

全国初中数学竞赛初赛试题汇编

（1998-2018）

1998年全国初中数学竞赛试卷.................................................................................................................1

1999年全国初中数学竞赛试卷.................................................................................................................6

2000年全国初中数学竞赛试题解答..........................................................................................................9

2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷.............................................................................................14

2002年全国初中数学竞赛试题...............................................................................................................15

2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题...........................................................................17

2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题................................................................................25

2005年全国初中数学竞赛试卷...............................................................................................................30

2006年全国初中数学竞赛试题...............................................................................................................32

2007年全国初中数学竞赛试题...............................................................................................................38

2008年全国初中数学竞赛试题...............................................................................................................46

2009年全国初中数学竞赛试题...............................................................................................................47

2010年全国初中数学竞赛试题...............................................................................................................52

2011年全国初中数学竞赛试题...............................................................................................................57

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2012年全国初中数学竞赛试题...............................................................................................................60

2013年全国初中数学竞赛试题...............................................................................................................73

2014年全国初中数学竞赛预赛...............................................................................................................77

2015年全国初中数学竞赛预赛...............................................................................................................85

2016年全国初中数学联合竞赛试题........................................................................................................94

2017年全国初中数学联赛初赛试卷......................................................................................................103

2018年初中数学联赛试题....................................................................................................................105

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1998年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题：（每小题6分，共30分）

1、已知a、b、c都是实数，并且cba，那么下列式子中正确的是（）

（Ａ）bcab（Ｂ）cbba（Ｃ）cbba（Ｄ）



2、如果方程0012ppxx的两根之差是1，那么p的值为（）

（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）

（Ｄ）

3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）

（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18

4、已知0abc，并且p













，那么直线ppxy一定通过第（）象限

（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四

5、如果不等式组











的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a、b）共有

（）

（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个

二、填空题：（每小题6分，共30分）

6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，

那么PE+PF=___________。

7、已知直线32xy与抛物线2xy相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉

直后的长度为___________cm。

9、已知方程aaxaaxa（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。

10、B船在A船的西偏北450处，两船相距210km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船

速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。

三、解答题：（每小题20分，共60分）

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11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F

在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。

12、设抛物线

2122axaxy的图象与x轴只有一个交点，（1）求

a的值；（2）求618323aa的值。

13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：

从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和

700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。

（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，

并求W的最大值和最小值。

（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求

W的最大值和最小值。

解答

1．根据不等式性质，选B．．

2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由

(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，

3．如图3－271，连ED，则

又因为DE是△ABC两边中点连线，所以

故选C．

4．由条件得

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三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．

当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．

y=-x-1，则直线通过第二、三、四象

限．

综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，

的可以区间，如图3－272．

+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．

6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所

以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所

7．如图3-274，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)．作AA1，BB1分别垂直于x轴，

垂足为A1，B1，所以

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8．如图3－275，当圆环为3个时，链长为

当圆环为50个时，链长为

9．因为a≠0，解得

故a可取1，3或5．

10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，

A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，

所以

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11．解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为

∠ABE＋∠AEB=90°，

∠CED＋∠AEB=90°，

所以∠ABE=∠CED．

于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以

又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以

所以

解法2如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为

∠ABE＋∠AEB＝90°，

∠FEH+∠AEB=90°，

所以∠ABE=∠FEH，

于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为

所以

12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程

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有两个相等的实根，于是

(2)由(1)知，a2=a＋1，反复利用此式可得

a4=(a＋1)2=a2＋2a+1=3a+2，

a8=(3a＋2)2=9a2＋12a＋4=21a＋13，

a16=(21a+13)2=441a2＋546a＋169

＝987a＋610，

a18＝(987a＋610)(a＋1)＝987a2＋1597a＋610

=2584a＋1597．

又

因为a2-a-1=0，所以64a2-64a-65=-1，即

(8a+5)(8a-13)=-1．

所以

a18＋323a－6=2584a＋1597＋323(-8a＋13)=5796．

13．(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，

10-x，2x-10．于是

W=200x＋300x+400(18-2x)＋800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)

=-800x＋17200．

W=-800x＋17200(5≤x≤9，x是整数)．

由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大

值13200元．

(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别为10-x，

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10-y，x＋y-10．于是

W=200x+800(10-x)+300y＋700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)

=-500x-300y+17200．

W=-500x-300y+17200，

且

W=-200x-300(x+y)+17200

≥-200×10-300×18＋17200=9800．

当x=10，y=8时，W=9800，所以W的最小值为9800．又

W=-200x-300(x＋y)＋17200

≤-200×0-300×10+17200=14200，

当x=0，y=10时，W=14200，所以W的最大值为14200．

1999年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B，

C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里）

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1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．

A．11B．12C．13D．14

2．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立

方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交

煤气费（）．

A．60元B．66元C．75元D．78元

3．已知，那么代数式的值为（）．

A．B．－C．－D．

4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是

（）．

A．30B．36C．72D．125

5．如果抛物线与x轴的交点为A，B，项点为C，那么三角形ABC的面积的最小值是

（）．

A．1B．2C．3D．4

6．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相

等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的

点P的个数为（）．

A．2B．3C．4D．5

二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满

分30分）

7．已知，那么x2+y2的值为．

8．如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP

与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是

（0＜x＜10）．

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9．已知ab≠0，a2+ab－2b2=0，那么的值为．

10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第△象限内，OA与x轴的夹角为30°，

那么点B的坐标是．

11．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三

角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形

记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是．

12．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两

台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需

要抽水机台．

三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）

13．设实数s，t分别满足19s2+99s+1=0，t2+99t+19=0，并且st≠1，求的值．

14．如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，

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且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．

15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将

上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到：

．

（1）（10分）证明：可以得到22；

（2）（10分）证明：可以得到2100+297－2．

1999年全国初中数学竞赛答案

一、1．C2．B3．D4．B5．A6．D

二、7．108．y=5x+509．10．11．12．6

三、13．解：△s≠0，△第一个等式可以变形为：

．

又△st≠1，

△，t是一元二次方程x2+99x+19=0的两个不同的实根，于是，有

．

即st+1=－99s，t=19s．

△．

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14．解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．

△AB=BD，O是圆心，

△BH△AD．

又△△ADC=90°，

△BH△CD．

从而△OPB△△CPD．

，

△CD=1．

于是AD=．

又OH=CD=，于是

AB=，

BC=．

所以，四边形ABCD的周长为．

15．证明：

（1）

．

也可以倒过来考虑：

．

（或者．）

（2）

．

或倒过来考虑：

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．

注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分．

2000年全国初中数学竞赛试题解答

一、选择题（只有一个结论正确）

1、设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（）。

（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。

答：（B）。△M＝

cba

，N＝

ba

，P＝

cbacN





，M－P＝

2cba

，

△a＞b＞c，△

2cba

＞0



ccc

，即M－P＞0，即M＞P。

2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b﹤a），再前进c千米，则此人离

起点的距离S与时间t的关系示意图是（）。

答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；

图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。

（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。

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答：（A）。由题意知3×（甲－乙）＝25－10，△甲－乙＝5。

4、一个一次函数图象与直线y=

x平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线

段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）。

（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。

答：（B）。在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x＝－1＋4N，y＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB

上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，△

≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。

5、设a，b，c分别是△ABC的三边的长，且

cba





，则它的内角△A、△B的关系是（）。

（A）△B＞2△A；（B）△B＝2△A；（C）△B＜2△A；（D）不确定。

答：（B）。由

cba





得



，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝a+c，在△ABC与△DAC中，△C

为公共角，且BC:AC＝AC:DC，△△ABC△△DAC，△BAC＝△D，△△BAD＝△D，△△ABC＝△D＋△BAD＝2△D＝

2△BAC。

6、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1,C1面积为S1，且a＞a1，b

＞b1，c＞c1则S与S1的大小关系一定是（）。

（A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。

答：（D）。分别构造△ABC与△A1B1C1如下：△作△ABC△△A1B1C1，显然，即S＞S1；△设

，则，S＝10，，则S1＝×100＞10，即S＜S1；△

设，则，S＝10，，则，S1＝10，即S

＝S1；因此，S与S1的大小关系不确定。

二、填空题

7、已知：，那么＝________。

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答：1。△，即。△

。

8、如图，在梯形ABCD中，AB△DC，AB＝8，BC＝6，△BCD＝45°，△BAD＝120°，则梯形ABCD的面积等

于________。

答：66＋6（平方单位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC＝6，△BCD＝45°，得AE＝

BF＝FC＝6。由△BAD＝120°，得△DAE＝30°，因为AE＝6得DE＝2，AB＝EF＝8，DC＝2＋8＋6＝14

＋2，△。

9、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有________个。

答：5。△当时，；△当时，易知是方程的一个整数根，再由且是

整数，知，△；由△、△得符合条件的整数有5个。

10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向

两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为

________米。

答：2.4米。作PQ△BD于Q，设BQ＝米，QD＝米，PQ＝米，由AB△PQ△CD，得及

，两式相加得，由此得米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，

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AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）

11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成

面积相等的两部分，那么＝________。

答：。直线通过点D（15，5），故BD＝1。当时，直线通过，

两点，则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。

12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商

品原来的利润率是________。

（注：×100％）

答：17％。设原进价为元，销售价为元，那么按原进价销售的利润率为×100％，原进价降低6.4％后，

在销售时的利润率为×100％，依题意得：

×100％＋8％＝×100％，解得＝1.17，故这种商品原来的利润率为

×100％＝17％。

三、解答题

13、设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实

数根。

（1）若，求的值。

（2）求的最大值。

解：因为方程有两个不相等的实数根，所以

，△。根据题设，有。

（1）因为

，即。

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由于，故。

（2）

。

设上是递减的，所以

当时，取最大值10。故的最大值为10。

14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝2AE，且

BD＝23，求四边形ABCD的面积。

解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，△AB:AC＝AE:AB，又△EAB＝△BAC，△△ABE△△ACB，△△ABE＝△ACB，

从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝

。

△OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。

△，△E是AC的中点，△，

，△，△。

15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停

一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第

一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最

小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）

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解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。

对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第s层的人

乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分

别考虑如下：

设电梯停在第层。

△当时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为

；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。

△当时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交

换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。

△当时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为

；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。

△当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；

交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。

△当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为

；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。

今设电梯停在第层，在第一层有人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：

当x＝27，y＝6时，s＝316。

所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分。

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2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷

选择题（30分）

1、化简

)2(2

)2(22





，得（）

（A）

21n(B)12n(C)

(D)

2、如果cba,,是三个任意整数，那么

accbba

（）

（A）都不是整数（B）至少有两个整数（C）至少有一个整数（D）都是整数

3、如果ba,是质数，且,013,01322mbbmaa那么

的值为（）

（A）

123

（B）2

125

或（C）

125

（D）2

123

或

4、如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、12

下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（）……

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（A）6（B）8（C）10（D）12

5、如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB

交于点D,且PB=4，PD=3，则AD•DC等于（）P

（A）6（B）7（C）12（D）16

6、若ba,是正数，且满足)111)(111(12345ba，则ba和之间的大小关系是（）

（A）ba（B）ba（C）ba（D）不能确定

填空题（30分）

7、已知：











yx。那么

22y

8、若,28,1422xxyyyxyx则yx的值为

9、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于

10、销售某种商品，如果单价上涨

％，则售出的数量就将减少

150

。为了使该商品的销售总金额最大，那么

的

值应该确定为

11、在直角坐标系xOy中，

轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么

当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标

x

12、已知实数ba,满足2222,1baabtbaba且，那么t的取值范围是

解答题（60分）

13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4

环、8.1环、9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均

环数超过8.8环。那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）

14、如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A,B两点，并

交ST于点C。

求证：)

(

PBPAPC

.P

才哥数学481659882

15、已知：关于x的方程

011)

)(72()

)(1(22







有实根。

求

取值范围；

若原方程的两个实数根为

,xx，且

1





x

，求

的值。

2002年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（每小题5分，共30分）

1、设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则





的值为

A、3B、6C、2D、3

2、已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为

A、0B、1C、2D、3

3、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则

ABCD

AGCD

矩形

四边形等于

A、

B、

C、

D、

4、设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋



，y＝b2－2c＋



，z＝c2－2a＋



，则x、y、z中至少有一个值

才哥数学481659882

A、大于0B、等于0C、不大于0D、小于0

5、设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是

A、

＜a＜

B、a＞

C、a＜

D、

＜a＜0

6、A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于

A、22baB、22baba

C、ba

D、a＋b

二、填空题（每小题5分，共30分）

7、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，

则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为。

8、已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则bcca的值为。

9、如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，

则PB＝。

10、如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OA为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作

两个等圆⊙O3和⊙O4，

这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为cm2。

才哥数学481659882

11、满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有___________个。

12、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，

则d可以用p表示为。

三、解答题（每小题20分，共60分）

13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，

2天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，

3天完成，需付150000

元；由甲、丙两队承包，

2天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪

个队的承包费用最少？

14、如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为

P。

求证：



（2）求证：



15、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。

证明：（1）2a、2b、c都是整数；

（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2

＋bx＋c的值都是平方数？

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2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个

结论是正确的.请将正确结论的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填，得零分）

1．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则

222

1032

zyx





的值等于().

(A)

(B)

(C)15(D)13

2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，

每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费().

(A)2.4元(B)2.8元(C)3元(D)3.2元

3．如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）.

(A)360°(B)450°(C)540°(D)720°

4．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条

线段（如上图），则x可取值的个数为（）.

(A)2个(B)3个(C)4个(D)6个

5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队

阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那

么，满足上述要求的排法的方案有().

(A)1种(B)2种(C)4种(D)0种

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．已知

31x

，那么





2

2xxx

才哥数学481659882

7．若实数x，y，z满足4



x，1



y，



z，则xyz的值为.

8．观察下列图形：

①②③④

根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为.

9．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡

面CD和地面BC上，如果CD与地面成45º，∠A=60ºCD=4m，BC=2264m，则电线杆AB的长为_______m.

10．已知二次函数cbxaxy2（其中a是正整数）的图象经过点A（－

1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值

为.

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，

与DE交于点P.问EP与PD是否相等？证明你的结论.

解：

(第11题图)

（第9题图）

才哥数学481659882

12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图

所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出

发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

解：

13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.

（1）当点D在斜边AB内部时，求证：

BDAD

BDCD





（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

(第12题图)

才哥数学481659882

14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.

（1）求a，b，c中的最大者的最小值；

（2）求cba的最小值.

(第13B题图)

才哥数学481659882

注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题.13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页13A和

14A两题可留作考试后的研究题。

13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程0)2(22kxkx（k是整数）的最大整数根.P是⊙O

外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC

的长都是正整数，且PB的长不是合数，求222PCPBPA的值.

解：

(第13A题图)

才哥数学481659882

14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式))((cbda>0，那么就可以交换b，

c的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，

b，c，d，都有))((cbda≤0？请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对

圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有))((cbda≤0？请说明理由.

解：（1）

（2）

2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案与评分标准

一、选择题（每小题6分，满分30分）

才哥数学481659882

1．D

由











,072

,0634

zyx

解得









代入即得.

2．D

因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.

3．C

如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，

而∠BMN+∠FNM=∠D＋180°，所以

∠A+

∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

4．D

显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。

（1）若AB=9，当CD=x时，222)51(9x，53x；

当CD=5时，222)1(59x，1142x；

当CD=1时，222)5(19x，554x.

（2）若AB=x，当CD=9时，222)51(9x，

133x

；

当CD=5时，222)91(5x，55x；

当CD=1时，222)95(1x，

197x

故x可取值的个数为6个.

5．B

设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由题意可知

100

)1(







kn，即20012nkn.

(第3题图)

(第4题图)

才哥数学481659882

因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n与2k+（n－1）的奇偶性不同.将200分解质因数，可知

n=5或n=8.当n=5时，k=18；当n=8时，k=9.共有两种不同方案.

6．

.

2222

















xxx

＝

4)31(







。

7．1.

因为



















x，

所以37)34()34(4xxxx，

解得

x.

从而



z，

1

于是1

xyz.

8．161.

根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为

1+4+3×4+432+433=1+4+12+36+108=161（个）.

9．26.

如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE

于F.

CF=DF=22m，因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，所以

EF=DFtan60°=62（m）.

因为

30tan

，所以

BEAB（m）.

10.－4.

由于二次函数的图象过点A（－1，4），点B（2，1），所以











,124

cba

解得











.23

(第9题图)

才哥数学481659882

因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以042acb，

0)23(4)1(2aaa，即0)1)(19(aa，由于a是正整数，故1a，

所以

≥2.又因为b+c=－3a+2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，满足

题意，故b+c的最大值为－4.

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行

于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P.

问EP与PD是否相等？证明你的结论.

解：DP=PE.证明如下：

因为AB是⊙O的直径，BC是切线，

所以AB⊥BC.

由Rt△AEP∽Rt△ABC，得

.①……（6分）

又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC.

故

ED2

②……（12分）

由①，②得ED=2EP.

所以DP=PE.……（15分）

12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图

所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出

发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

解：从A城出发到达B城的路线分成如下两类：

（1）从A城出发到达B城，经过O城.因为从A城到O城所需最短时间为26小时，从O城到B城所需最短时间

为22小时.所以，此类路线所需最短时间为26+22=48（小时）.……（5分）

（2）从A城出发到达B城，不经过O城.这时从A城到达B城，

必定经过C，D，E城或F，G，H城，所需时间至少为49小

时.……（10分）

综上，从A城到达B城所需的最短时间为

48小时，所走的路线为：

A→F→O→E→B.……（12分）

所需的费用最少为：

80×48×1.2=4608（元）…（14分）

答：此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B，所需的费

用最少为4608元……（15

分）

(第11题图)

才哥数学481659882

13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.

（1）当点D在斜边AB内部时，求证：

BDAD

BDCD





（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

解：（1）作DE⊥BC，垂足为E.由勾股定理得

.)(

)()(

222222

BCBECEBECE

DEBEDECEBDCD





所以

BECE

BDCD









因为DE∥AC，所以

,.

故

BDAD

BDCD





.……（10分）

（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有

AD=0，CD=AC，BD=AB.

所以1













ABAC

BDCD

，

1







BDAD

从而第（1）小题中的等式成立.……（13分）

（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立.

作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则

BECE

BDCD













而1







BDAD

所以

BDAD

BDCD





.……（15分）

〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清

(第12题图)

才哥数学481659882

者不扣分）.

14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.

（1）求a，b，c中的最大者的最小值；

（2）求cba的最小值.

解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，

且b+c=2-a，

.

于是b，c是一元二次方程0

)2(2

xax的两实根，

4)2(2≥0，

164423aaa≥0，)4)(4(2aa≥0.所以a≥4.……（8分）

又当a=4，b=c=-1时，满足题意.

故a，b，c中最大者的最小值为4.……（10分）

（2）因为abc>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.

若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾.

2）若a，b，c为或一正二负，设a>0，b<0，c<0，则

22)2(aaacbacba，

由（1）知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。故cba的最小值为

6.……（15分）

13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程0)2(22kxkx（k是整数）的最大整数根.P是⊙O

外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC

的长都是正整数，且PB的长不是合数，求222PCPBPA的值.

解：设方程

0)2(22kxkx的两个根

为

x，

x≤

x.由根与系数的关系得

kxx24

，①

kxx

.②

由题设及①知，

x，

x都是整数.从①，②消去k，

得

2121

xxxx，

(第13A图)

才哥数学481659882

9)12)(12(

xx.

由上式知，4

x，且当k=0时，4

x，故最大的整数根为4.

于是⊙O的直径为4，所以BC≤4.

因为BC=PC－PB为正整数，所以BC=1，2，3或4.……（6分）

连结AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，

。

故)(2BCPBPBPA③……（10分）

（1）当BC=1时，由③得，PBPBPA22，于是

222)1(PBPAPB，矛盾！

（2）当BC=2时，由③得，PBPBPA222，于是

222)1(PBPAPB，矛盾！

（3）当BC=3时，由③得，PBPBPA322，于是

PBPBPAPBPA3))((，

由于PB不是合数，结合PBPAPBPA，故只可能











PBPBPA

PBPA











PBPBPA

PBPA











PBPA

PBPBPA

解得









此时21222PCPBPA.

（4）当BC=4，由③得，PBPBPA422，于是

2222)2(4)1(PBPAPBPBPB，矛盾.

综上所述

21222PCPBPA.……（15分）

14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式))((cbda>0，那么就可以交换b，

c的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，

b，c，d，都有))((cbda≤0？请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对

圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有))((cbda≤0？请说明理由.

解：（1）答案是肯定的.具体操作如下：

才哥数学481659882

……（5分）

（2）答案是肯定的.考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P.……（7分）

开始时，

P=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，经过k（k≥0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之

和为

P，此时若圆周上依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式))((cbda>0，即ab+cd>ac+bd，交换b，c的

位置后，这2003个数的相邻两数乘积之和为

1k

P，有

0)()(





cdabbdaccdbcabbdcbacPP

所以



kk

PP，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操

作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有))((cbda≤0.…

2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案和评分标准

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有

且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分）

才哥数学481659882

1.已知实数ba，且满足)1(33)1(2aa，2)1(3)1(3bb.则

b

的值为（）.

（A）23（B）23（C）2（D）13

答：选（B）

∵a、b是关于x的方程

03)1(312xx

的两个根，整理此方程，得

0152xx，

∵0425，

∴5ba，1ab.

故a、b均为负数.因此













abba

2.若直角三角形的两条直角边长为

、b，斜边长为

，斜边上的高为h，则有（）.

（A）2hab（B）

hba

111

（C）

222

111

hba

（D）2222hba

答：选（C）

∵0ha，0hb，

∴2hab，222222hhhba；

因此，结论（A）、（D）显然不正确.

设斜边为c，则有cba，abchhba

)(

，即有

hba

111

，

因此，结论（B）也不正确.

由abhba

22化简整理后，得

222

111

hba

，

因此结论（C）是正确的.

3．一条抛物线cbxaxy2的顶点为（4，11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为

正数的（）.

（A）只有

（B）只有b（C）只有

（D）只有

和b

答：选（A）

才哥数学481659882

由顶点为（4，11），抛物线交x轴于两点，知a>0.

设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为

x，

x，即为方程

02cbxax

的两个根.

由题设0

xx，知0

，所以0c.

根据对称轴x=4，即有0



，知b<0.

故知结论（A）是正确的.

4．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为

1:2.若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于

（）.

（A）6（B）8

（C）10（D）12

答：选（B）

由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以





CAB

CDE

，

又由题设知



，所以



，

ACACADFD

，

故DCFD，于是



















CFG

CDE

，

8

CFG

因此，结论（B）是正确的.

5．如果x和y是非零实数，使得

3yx和03xyx，

那么x+y等于（）.

（A）3（B）

（C）

131

（D）

134

（第4题图）

才哥数学481659882

答：选（D）

将xy3代入03xyx，得0323xxx.

（1）当x>0时，0323xxx，方程032xx无实根；

（2）当x<0时，0323xxx，得方程032xx

解得

131

x，正根舍去，从而

131

x.

于是

137

131







xy.

故134yx.

因此，结论（D）是在正确的.

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，60BAD，则

EDC（度）.

答：30°

解：设2CAD，由AB=AC知

60)260180(

B，

6060180BADB，

由AD=AE知，90ADE，

所以30180ADBADEEDC.

7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市

间的距离d（单位：km）有

kmn

T的关系(k为常数).现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所

示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为次

（用t表示）.

答：

解：据题意，有kt

2160

8050

，

∴tk

.

因此，B、C两个城市间每天的电话通话次

数为

264

320

10080





.

（第6题图）

（第7题图）

才哥数学481659882

8．已知实数a、b、x、y满足2yxba，5byax，则)()(2222yxabxyba.

答：5

解：由2yxba，得4))((bxaybyaxyxba，

∵5byax，

∴1bxay.

因而，5))(()()(2222byaxbxayyxabxyba.

90D，

9．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，

BC=CD=12,45ABE，若AE=10，则CE的长为.

答：4或6

解：延长DA至M，使BM⊥BE.过B作BG⊥AM，G为垂足.易知四边形

BCDG为正方形，所以BC=BG.又GBMCBE，

∴Rt△BEC≌Rt△BMG.

∴BM=BE，45ABMABE，

∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.

设CE=x，则AG=x10，AD=xx2)10(12，DE=x12.

在Rt△ADE中，222DEADAE，

∴22)12()2(100xx，

即024102xx，

解之，得4

x，6

x.

故CE的长为4或6.

10．实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是.

答：

解：∵zyx5，

35)5(3)(32zzzzyxzxy，

∴x、y是关于t的一元二次方程

035)5(22zztzt

的两实根.

∵

0)35(4)5(22zzz，即

0131032zz，0)1)(133(zz.

（第9题图）

才哥数学481659882

∴

z，当

yx时，

z.

故z的最大值为

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，

学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x（分

钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）.当100x时，图象是抛物线的一部分，当

2010x和4020x时，图象是线段.

（1）当100x时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；

（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟.问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于

36.

解：（1）当100x时，设抛物线的函数关系式为

cbxaxy2，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，

48），所以















.4810100

,39525

,20

cba

解得，

a，

b，20c.

所以

2xxy，100x.…………………（5分）

（2）当4020x时，76

xy.

所以，当100x时，令y=36，得20

362xx，

解得x=4，20x（舍去）；

当4020x时，令y=36，得76

36x，解得

200

x.……………………（10分）

因为24

244

28，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛

题.……………………（15分）

（第11（A）题图）

才哥数学481659882

12．已知a，b是实数，关于x，y的方程组











baxy

bxaxxy,23

有整数解),(yx，求a，b满足的关系式.

解：将baxy代入bxaxxy23，消去a、b，得

xyxy3，………………………（5分）

3)1(xyx.

若x+1=0，即1x，则上式左边为0，右边为1不可能.所以x+1≠0，于是









因为x、y都是整数，所以11x，即2x或

x

0，进而y=8或y0.故











或









………………………（10分）

当











时，代入baxy得，082ba；

当









时，代入baxy得，0b.

综上所述，a、b满足关系式是082ba，或者0b，a是任意实数.

………………………（15分）

13．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得ACBADP，求

的

值.

解：连结AP，则ADPACBAPB，

所以，△APB∽△ADP，…………………………（5分）

∴

，

所以223ADADABAP•，

∴

ADAP3

，…………………………（10分）

所以3

.…………………………（15分）

（第13（A）题图）

才哥数学481659882

14．已知0a，0b，0c，且acbacb242，求acb42的最小值.

解：令cbxaxy2，由0a，0b，0c，判别式

042acb，所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛

物线，

且与x轴有两个不同的交点)0,(

xA，)0,(

xB，因为0



xx，不妨设

xx，则

0xx，对称轴0



x，于是

acbb

x









422

，………………（5分）

所以

acb

acbb

bac

4222









，…………………（10分）

故442acb，

当1a，b=0，c=1时，等号成立.

所以，acb42的最小值为4.………………………（15分）

2005年全国初中数学竞赛试卷

题号

一二三

总分

1~56~1011121314

得分

一、选择题(满分30分)

1.如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm,E是AD上一点，且AE=6cm，操作：⑴将AB向AE折过去，

使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；⑵将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c，则△GFC的面积为()

（第14（A）题图）

图c

图b

图a

B(E)

才哥数学481659882

A.2B.3C.4D.5

2.若M=3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13(x，y是实数)，则M的值一定是()

A.正数B.负数C.零D.整数

3.已知点I是锐角△ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的

外接圆上，则∠ABC等于()

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.设

222

111

48()

34441004

A



，则与A最接近的正整数是()

A.18B.20C.24D.25

5.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数2

yxx的函数值中整数的个数是()

A.59B.120C.118D.60

二、填空题(满分30分)

6.在一个圆形的时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针(O为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整，则经

过_____秒后，△OAB的面积第一次达到最大。

7.在直角坐标系中，抛物线22

(0)

yxmxmm与x轴交于A，B的两点。若A，B两点到原点的距离分别为

OA，OB，且满足

112

3OBOA

，则m=_____.

8.有两幅扑克牌，每幅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，

每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列。某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起，然后从

一到下把第一张丢去，把第二张放在最底层，再把第三张丢去，把第四张放在底层，……如此下去，直至最后只剩

下一张牌，则所剩的这张牌是_________

才哥数学481659882

9.已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结AD和BE，它们交于点P。

过P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQR

的面积与△ABC的面积的比是________

10.已知x1,x2,x3,…x19都是正整数，且x1+x2+x3+…+x19=59，

x12+x22+x32+…+x192的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于

_________。

三、解答题、(满分60分)

11.8人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人(不包括司机)。其中一辆小汽车在距离火车站15km

地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内

这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这

8个人能够在停止检票前赶到火车站。

12.如图，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C、D两点。连结BC、BD，设P，

Q，K分别是BC，BD，CD的中点。M，N分别是弧BC和弧BD的中点。求证：(1)

(2)①△KPM∽△

NQK

13..已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2－(8p－10q)x＋5pq=0

至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q).

第14题图

才哥数学481659882

14.从1，2….，205个共205个正整数中，最多能取出多少个数。使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c(a,

都有ab≠c.

2006年全国初中数学竞赛试题

考试时间2006年4月2日上午9∶30－11∶30满分120分

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有

且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）

1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一

个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）

（A）36（B）37（C）55（D）90

2．已知21m，21n，且)763)(147(22nnamm=8，则a的值等于（）

（A）－5（B）5（C）－9（D）9

3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线2xy上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）

（A）h<1（B）h=1（C）1

4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点

的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……

如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）

（A）2004（B）2005（C）2006（D）2007

才哥数学481659882

5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则

的值为（）

（A）

132

（B）

（C）

23

（D）

23

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a

7．如图，面积为cba的正方形DEFG内接于

面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，

且b不能被任何质数的平方整除，则

ca

的值

等于．

8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…

方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行

走在同一条边上．

9．已知0











































aaa，则a10的值等于

．(x表示不超过x的最大整数)

10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号

码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的

八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．已知

x，

，b为互质的正整数（即

，b是正整数，且它们的最大公约数为1），且

≤8，

1312x

．

试写出一个满足条件的x；

求所有满足条件的x．

12．设

，b，

为互不相等的实数，且满足关系式

才哥数学481659882

14162222aacb①

542aabc②

求a的取值范围．

13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点

C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．

14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，

至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．

才哥数学481659882

参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有

且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）

1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一

个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）

（A）36（B）37（C）55（D）90

答：C．

解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处．

故选C．

2．已知21m，21n，且)763)(147(22nnamm=8，则a的值等于（）

（A）－5（B）5（C）－9（D）9

答：C．

才哥数学481659882

解：由已知可得122mm，122nn．又

)763)(147(22nnamm=8，所以8)73)(7(a解得a=－9

故选C．

3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线2xy上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）

（A）h<1（B）h=1（C）1

答：B．

解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|<|a|），则点B的坐标为

（－a，a2），由勾股定理，得22222)()(acacAC，

22222)()(acacBC，222ABBCAC

所以22222)(caca．

由于22ca，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h=a2－c2=1

故选B．

4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点

的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……

如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）

（A）2004（B）2005（C）2006（D）2007

答：B．

解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过

k次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°．

因为这(k＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有

(k＋1)－34=k－33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k－33)×180°．所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－

33)×180°，解得k≥2005．

当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个

五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三

角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33

个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了

58＋33＋33×58=2005（刀）．

故选B．

5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则

的值为（）

（A）

132

（B）

（C）

23

才哥数学481659882

（D）

23

答：D．

解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m，

QA=r－m．

在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD．

即(r－m)(r＋m)=m·QD，所以QD=

mr22

．

连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，

即22

















，解得rm



所以，23















故选D．

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a

答：5013．

解：由2006ba，2005ac，得4011acba．

因为2006ba，a

于是，a＋b＋c的最大值为5013．

7．如图，面积为cba的正方形DEFG内接于

面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，

且b不能被任何质数的平方整除，则

ca

的值

等于．

答：

．

解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则

2m，

由△ADG∽△ABC，可得



，解得mx)332(

才哥数学481659882

于是48328)332(222mx，

由题意，28a，3b，48c，所以





．

8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…

方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行

走在同一条边上．

答：104．

解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了46×

400x

=368x

米．于是368(x－1)＋800－400(x－1)>400，

所以，12.5≤x<13.5．故x=13，此时104

13400





t．

9．已知0











































aaa，则a10的值等于．(x表示

不超过x的最大整数)

答：6．

解：因为0<2

aaa，所以















a，















a，…，















a等于0或1．由题设

知，其中有18个等于1，所以











































aaa=0，











































aaa=1，

所以1

0a，1≤

a＜2．

故18≤30a＜19，于是6≤10a＜

，所以a10=6．

10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号

码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的

八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．

答：282500．

解：设原来电话号码的六位数为

abcdef

，则经过两次升位后电话号码的八位数为

bcdefa82．根据题意，有81×abcdef=bcdefa82．

记fedcbx1，于是

xaxa6551，

解得x=1250×(208－71a)．

才哥数学481659882

因为0≤x＜510，所以0≤1250×(208－71a)＜510，故a

128

≤

208

．

因为a为整数，所以a=2．于是x=1250×(208－71×2)=82500．

所以，小明家原来的电话号码为282500．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．已知

x，a，b为互质的正整数（即a，b是正整数，且它们的最大公约数为1），且a≤8，1312x．

（1）试写出一个满足条件的x；

（2）求所有满足条件的x．

解：（1）

x满足条件．……………5分

（2）因为

x，

，为互质的正整数，且

≤8，所以

1312

，即

aba)()(1312

．

当a=1时，113112)()(b，这样的正整数b不存在．

当a=2时，

213212)()(b

，故b=1，此时

x．

当a=3时，

313312)()(b

，故b=2，此时

x．

当a=4时，

413412)()(b

，与

互质的正整数b不存在．

当a=5时，

513512)()(b

，故b=3，此时

x．

当a=6时，

613612)()(b

，与

互质的正整数b不存在．

当a=7时，

713712)()(b

，故b=3，4，5此时

x，

，

．

当a=8时，

813812)()(b

，故b=5，此时

x

所以，满足条件的所有分数为

，

．………………15分

12．设

，b，

为互不相等的实数，且满足关系式

14162222aacb①

542aabc②

才哥数学481659882

求a的取值范围．

解法一：由①－2×②得01242)()(acb，所以a>－1．

当a>－1时，14162222aacb=0712))((aa．………………10分

又当ba时，由①，②得141622aac，③

542aaac④

将④两边平方，结合③得2222541416)()(aaaaa

化简得aaa，故0524562))((aaa，

解得

a，或

211

a．

所以，a的取值范围为a>－1且

a，

211

a．………………………15分

解法二：因为14162222aacb，542aabc，所以

2222262)()()(aaaaaaacb，

所以)(12acb．又542aabc，所以b，

为一元二次方程

0541222aaxax)(⑤

的两个不相等实数根，故05441422)()(aaa，所以a>－1．

当a>－1时，14162222aacb=0712))((aa．………………10分

另外，当ba时，由⑤式有0541222aaaaa)(，

即05242aa或056a，解得，

211

a或

a．

当

ca

时，同理可得

a或

211

a．

所以，a的取值范围为a>－1且

a，

211

a．………………………15分

才哥数学481659882

13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点

C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．

证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，

所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是

△KPE∽△KAP，

所以

，即KAKEKP2．

由切割线定理得KAKEKB2

所以KBKP．…………………………10分

因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是

故

，

即PE·AC=CE·KB．………………………………15分

14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，

至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．

解：设10个学生为

S，

S，…，

S，n个课外小组

G，

G，…，

G．

首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为

S，由于每两个

学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛

盾．………………………………5分

若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设

S恰好参加

G，

G，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没

有参加这两组，于是他们与

S没有同过组，矛盾．

所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组

G，

G，…，

G的人数之和不小于3×10=30．

另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组

G，

G，…，

G的人数不超过5n，故5n≥30，

所以n≥6．……………………………10分

下面构造一个例子说明n=6是可以的．



543211

SSSSSG,,,,，

876212

SSSSSG,,,,，

1096313

SSSSSG,,,,，



1097424

SSSSSG,,,,，

987535

SSSSSG,,,,，

1086546

SSSSSG,,,,．

容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．

所以，n的最小值为6．……………………………15分

才哥数学481659882

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”

2007年全国初中数学竞赛试题

参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有

且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分）

1．方程组的解的个数为（）．

（A）1（B）2（C）3（D）4

答：（A）．

解：若≥0，则于是，显然不可能．

若，则

于是，解得，进而求得．

所以，原方程组的解为只有1个解．

故选（A）．

2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多

于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）．

（A）14（B）16（C）18（D）20

答：（B）．

解：用枚举法：

红球个数白球个数黑球个数种数

52，3，4，53，2，1，04

43，4，5，63，2，1，04

34，5，6，73，2，1，04

25，6，7，83，2，1，04

所以，共16种．

12,













12,















6yy

0x

12,















18yy

9y

3x











才哥数学481659882

故选（B）．

3．已知△为锐角三角形，⊙经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙的半径与△

的外接圆的半径相等，则⊙一定经过△的（）．

（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心

答：（B）．

解：如图，连接BE，因为△为锐角三角形，所以，均为锐角．又

因为⊙的半径与△的外接圆的半径相等，且为两圆的公

共弦，所以

．于是，．

若△的外心为，则，所以，⊙一定过

△的外心．

故选（B）．

4．已知三个关于x的一元二次方程

，，

恰有一个公共实数根，则的值为（）．

（A）0（B）1（C）2（D）3

答：（D）．

解：设是它们的一个公共实数根，则

，，．

把上面三个式子相加，并整理得

．

因为，所以．

于是

．

故选（D）．

5．方程的整数解（x，y）的个数是（）．

ABCOO

ADE

OABC

ABCBAC

ABE

ADEDE

BACABE2BECBACABEBAC

ABC1

2BOCBAC

OABC

02cbxax02acxbx02baxcx

222abc

bccaab



cbxax0

acxbx0

baxcx

()(1)0abcxx

000

1()0

xxx

0abc

222333333()abcabcabab

bccaababcabc





3()

abab

abc





323652xxxyy

（第3题答案图）

才哥数学481659882

（A）0（B）1（C）3（D）无穷多

答：（A）．

解：原方程可化为

，

因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程

无整数解．

故选(A).

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．如图，在直角三角形ABC中，，CA＝4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形

APCB分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是．

答：4．

解：如图，设AC与BP相交于点D，点D关于圆心O的对称点记为点E，线段BP把

图形APCB分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积，即△BOP面积

的两倍．而

．

因此，这两部分面积之差的绝对值是4．

7．如图,点A，C都在函数的图象上，点B，D都在轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角

形，则点D的坐标为．

答：（，0）．

解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F．设OE＝a，BF

＝b，则AE＝，CF＝，所以，点A，C的坐标为

（，），（2＋b，），

所以

解得

因此，点D的坐标为（，0）．

8．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数的图象与线段AB恰有一个交

点，则的取值范围是．

2(1)(2)3(1)(1)2xxxxxyyy（）

90ACB

222

22BPO

SPOCO





(0)yx



3a3b

a3aa3b

2333,

3(2)33,

bab















63,















233yxax

（第6题答案图）

（第7题答案图）

才哥数学481659882

答：≤，或者．

解：分两种情况：

（△）因为二次函数的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为（1，0），（2，

0），所以

，

得．

由，得，此时，，符合题意；

由，得，此时，，不符合题意．

（△）令，由判别式，得．

当时，，不合题意；当时，，符合题意．

综上所述，的取值范围是≤，或者．

9．如图，，则n＝．

答：6．

解：如图，设AF与BG相交于点Q，则

，

于是

．

所以，n＝6．

10．已知对于任意正整数n，都有

，

则．

1

a

323a

233yxax

032)3(231)3(122aa

a

031)3(12a

1a

x3

x

032)3(22a

a

x

2330xax

0

323a

323a

3xx

323a

3xx

1

a

323a

90ABCDEFGn

AQGADG

ABCDEFG

BCEFAQG

BCEFBQF

540690

12n

aaan

23100

111

111aaa





（第9题答案图）

才哥数学481659882

答：．

解：当≥2时，有

，

两式相减，得，

所以

因此

．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11（A）．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线上的一个动点．

（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的位置关系；

（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：．

解：（1）设点P的坐标为，则

PM＝;

又因为点P到直线的距离为，

所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线相切．

…………5分

（2）如图，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为H，

R．由（1）

知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．

100

121

naaaa







121

(1)

aaan





2331

ann

(

)1(3

nnnna











,4,3,2n

23100

111

111aaa





11111111

(1)()()

32323399100



1133

(1)

3100100



yx

1y

yx

PNMQNM

(,)

222222

0000

111

(1)(1)1

444

xxxx

1y

(1)1

xx

1y

（第11A题答案图）

才哥数学481659882

因为PH，MN，QR都垂直于直线，所以，PH∥MN∥QR，于是

，

所以，

因此，Rt△∽Rt△．

于是，从而．

…………15分

12（A）．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程是

否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.

解：不妨设≤b，且方程的两个整数根为(≤)，则有

所以，

…………5分

因为,b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是，≥0,≥0，≥1,≥1，所以

或

（1）当时，由于a,b都是正整数，且≤b，可得

a＝1，b＝3，

此时，一元二次方程为，它的两个根为，．

（2）当时，可得

a＝1，b＝1，

此时，一元二次方程为，它无整数解.

1y

QMMP

RNNH



QRPH

RNHN



PHN

QRN

HNPRNQPNMQNM

()0

xabxab

a12

,xx

(),

xxab















1212

xxxxabab

4(1)(1)(21)(21)5xxab

1x

21a

21b

(1)(1)0,

(21)(21)5,

















.1)12)(12(

,1)1)(1

xx（

(1)(1)0,

(21)(21)5









a

2320xx1

1x

2x

(1)(1)1,

(21)(21)1











210xx

才哥数学481659882

综上所述，当且仅当a＝1，b＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为，

．……………15分

13（A）．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A

为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为

半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分

别与⊙A和⊙B相切．

证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，

垂足分别为，则CE∥DF．

因为AB是⊙O的直径，所以

．

在Rt△和Rt△中，由射影定理得

，

．

……………5分

两式相减可得

，

又，

于是有，

即，

所以，也就是说，点P是线段EF的中点．

因此，MP是直角梯形的中位线，于是有，从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．

……………15分

14（A）．（1）是否存在正整数m，n，使得？

（2）设(≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得

解：（1）答案是否定的．若存在正整数m，n，使得，则

，

显然，于是

，

1x

2x

,EF

90ACBADB

ABC

ABD

22PAACAEAB

22PBBDBFAB

22PAPBABAEBF

22()()PAPBPAPBPAPBABPAPB

AEBFPAPB

PAAEPBBF

PEPF

CDFE

MPAB

(2)(1)mmnn

()(1)mmknn

(2)(1)mmnn

22(1)1mnn

1n

2221(1)nnnn

（第13A题答案图）

才哥数学481659882

所以，不是平方数，矛盾．……………5分

（2）当时，若存在正整数m，n，满足，则

，

而，故上式不可能成立．

………………10分

当≥4时，若（t是不小于2的整数）为偶数，取

，

则，

，

因此这样的（m，n）满足条件．

若＋1（t是不小于2的整数）为奇数，取

，

则，

，

因此这样的（m，n）满足条件．

综上所述，当时，答案是否定的；当≥4时，答案是肯定的．

……………15分

注：当≥4时，构造的例子不是唯一的．

21nn

3k

(3)(1)mmnn

2241244mmnn

22(23)(21)8mn

(2321)(2321)8mnmn

(1)(2)2mnmn

22mn

k2kt

22,1mttnt

2242()()()mmktttttt

2242(1)(1)nntttt

2kt

222

tttt





432

()(21)(22)

224

tttt

mmkttttt





432

(1)(22)

224

tttt

nntttt





3kk

才哥数学481659882

11（B）．已知抛物线：和抛物线：相交

于A，B两点.点P在抛物线上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线上，也位于点A和点B之间.

（1）求线段AB的长；

（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．

解：（1）解方程组

得

所以，点A，B的坐标分别是（-2，6），（2，-6）．

于是

．

…………5分

（2）如图，当PQ∥y轴时，设点P，Q的坐标分别为

，，，

因此PQ≤8，

当时等号成立，所以，PQ的长的最大值8．

……………15分

12（B）．实数a，b，c满足a≤b≤c，且，abc＝1．求最大的实数k，使得不等式

≥

恒成立．

解：当，时，实数a，b，c满足题设条件，此时≤4．

……………5分

下面证明：不等式≥对满足题设条件的实数a，b，c恒成立．

由已知条件知，a，b，c都不等于0，且．因为

C234yxx

C234yxx

34,

yxx



































22(22)(66)410AB

)43,(2ttt)43,(2ttt

22t

22(4)t

0t

0abbcca

abkc

32ab

c

ab4c

0c

（第11B题答案图）

才哥数学481659882

，

所以≤．

由一元二次方程根与系数的关系知，a，b是一元二次方程

的两个实数根，于是

≥0，

所以≤．

……………10分

因此

≥．

……………15分

13（B）．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足．若，的延长

线相交于点，△的外接圆与△的外接圆的另一个交点为点，连接PA，PB，PC，PD．求证：

（1）；

（2）△∽△．

证明：（1）连接PE，PF，PG，因为，所以

．

又因为，所以

△∽△，

于是有，

从而△∽△，

所以．

0,0abab



ab0

0xx





()abab



44cc

DEAD

CFBC



GDEGCFG

ADPD

BCPC



PAB

PDC

PDGPEG

PDCPEF

PCGPFG

PDC

PEF

PDPE

CPDFPE

PCPF



PDE

PCF

PDDE

PCCF



才哥数学481659882

又已知，所以，．

………………10分

（2）由于，结合（1）知，△∽△，从而有

，

所以，因此

△∽△．………………15分

14（B）．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u，v满足

1≤．

证明：设任意△ABC的三边长为a，b，c，不妨设．若结论不成立，则必有

≥，○1

≥．○2

………………5分

记，显然，代入○1得

≥，

令，则

≥．○3

由，得，即，于是．

由○2得

DEAD

CFBC



ADPD

BCPC



PDAPGEPCB

PDA

PCB

PAPD

PBPC



DPACPB

APBDPC

PAB

PDC





abc



,bcsabtcst,0st

cst















abc

cstcsctc



（第13B题答案图）

才哥数学481659882

≥，○4

由○3，○4得

≥≥，

此式与矛盾．从而命题得证．

………………15分

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“《数学周报》杯”

2008年全国初中数学竞赛试题

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有

且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）

1．已知实数x，y满足：

－

＝3，y4＋y2＝3，则

＋y4的值为（）

（A）7（B）

1＋13

（C）

7＋13

（D）5

2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分

别为m，n，则二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有

（）

（A）6条（B）8条（C）10条（D）12

4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1．以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于

点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）

（A）

a（B）1（C）

（D）a

5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中

的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）

（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

bcs







1(1)











5115





1y

才哥数学481659882

6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v＝uv＋v．若关于x的方程x*（a*x）＝－

有两个不同的实数根，则

满足条件的实数a的取值范围是_______．

7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假

设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟．

8．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，

MF∥AD，则FC的长为______．

9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与

AB，AC相交于点D，E，则DE的长为______．

10．关于x，y的方程x2＋y2＝208(x－y)的所有正整数解为________．

三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）

11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得

△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．

12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？

13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．

才哥数学481659882

14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整

除，求n的最小值．

简答：

选择题ACBBD；

填空题6.a＞0或a＜－1；7.4；8.9；9.

；10.x＝48，x＝160，

y＝32；y＝32．

三．解答题：11.（1）k＝

2b－b2

2(b＋3)

，b＞2；（2）当b＝2＋10，k＝－1时，△OAB面积的最小值为7＋210；

12.存在满足题设条件的质数p，q.当p＝2，q＝5时，方程2x2－5x＋2＝0的两根为x1＝

，x2＝2.它们都是

有理数；13.存在满足条件的三角形.△ABC的边a＝6，b＝4，c＝5，且∠A＝2∠B，证明略.14.n的最小值是

5，证明略．

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2009年全国初中数学竞赛试题

参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且

只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

才哥数学481659882

1．已知非零实数a，b满足2242(3)42ababa，则ab等于（）．

（A）－1（B）0（C）1（D）2

【答】C．

解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为22(3)0bab，于是32ab，，从而ab＝1．

2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，

则a等于（）．

（A）



（B）



（C）1（D）2

【答】A．

解：因为△BOC∽△ABC，所以

BOBC

ABAC

，即





，

所以，210aa．

由0a，解得



．

3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先

后投掷两次，记第一次掷出的点数为

，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组

axby











，

只有正数

解的概率为（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

【答】D．

解：当20ab时，方程组无解．

当02ba时，方程组的解为

























由已知，得



















即

















,02

或

















,02

由

，b的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得

（第2题）

才哥数学481659882

23456











，，，，，

，，

共有5×2＝10种情况；或

456











，

，，，

共3种情况．

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为

．

4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，90B.动点P从点

B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的

图像如图2所示，则△ABC的面积为（）．

（A）10（B）16（C）18（D）32

【答】B．

解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故

S△ABC＝

×8×4＝16.

5．关于x，y的方程22229xxyy的整数解（x，y）的组数为（）．

（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组

【答】C．

解：可将原方程视为关于

的二次方程，将其变形为

22(229)0xyxy．

由于该方程有整数根，则判别式≥0，且是完全平方数．

由2224(229)7116yyy≥0，

解得2y≤

116

16.57

．于是

2y014916



显然，只有216y时，4是完全平方数，符合要求．

当4y时，原方程为2430xx，此时

1,3xx；

当y＝－4时，原方程为2430xx，此时

1,3xx．

所以，原方程的整数解为

（第4题）

图1

图2

才哥数学481659882









































二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km

后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那

么这辆车将能行驶km．

【答】3750．

解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km

磨损量为

5000

,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为

3000

.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后

走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

50003000

kxky

kykx

















两式相加，得

()()

50003000

kxykxy



，

则

3750

50003000

xy



．

7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；

再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则

的值为．

解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF．

由题设知

ACAD，

ABAE，在△FHA和△EFA中，

90EFAFHA，FAHEAF

所以Rt△FHA∽Rt△EFA，

AHAF

AFAE



而AFAB，所以

.

8．已知

12345

aaaaa，，，，是满足条件

12345

9aaaaa的五个不同的整数，若b是关于x的方程



12345

2009xaxaxaxaxa的整数根，则b的值为．

【答】10．

（第7题）

才哥数学481659882

解：因为

12345

2009bababababa，且

12345

aaaaa，，，，是五个不同的整数，所有

12345

bababababa，，，，也是五个不同的整数．

又因为2009117741，所以

12345

41bababababa．

由

12345

9aaaaa，可得10b．

9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于．

【答】

602

．

解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25．

故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且90ACB．

作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由

ECFACB，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以

EFBF

ACBC

，

即

1520

xx

，

解得

x．所以

602

CEx．

10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想

好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数

报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数

是．

【答】2．

应是8x．解：设报3的人心里想的数是

，则报5的人心里想的数

于是报7的人心里想的数是12(8)4xx，报9的人心里想的数是16(4)12xx，报1的人心里想的

数是20(12)8xx，报3的人心里想的数是4(8)4xx．所以

4xx，

解得2x．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．已知抛物线2yx与动直线cxty)12(有公共点),(

yx，),(

yx，

且

3222

ttxx.

（1）求实数t的取值范围；

（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.

（第9题）

（第10题）

才哥数学481659882

解：（1）联立2yx与cxty)12(，消去y得二次方程

2(21)0xtxc①

有实数根

x，

x，则

1212

21,xxtxxc．所以

222

121212

[()()]

cxxxxxx

=22

[(21)(23)]

ttt＝2

(364)

tt．②

………………5分

把②式代入方程①得

(21)(364)0

xtxtt．③

………………10分

t的取值应满足

222

23ttxx≥0，④

且使方程③有实数根，即

22(21)2(364)ttt＝2287tt≥0，⑤

解不等式④得

≤-3或

≥1，解不等式⑤得

≤t≤

.

所以，t的取值范围为

≤t≤

.⑥

………………15分

(2)由②式知22

131

(364)(1)

222

cttt.

由于2

(1)

ct在

≤t≤

时是递增的，所以，当

t

时,2

min

3211162

(21)

2224



.………………20分

12．已知正整数

满足3192191a，且2009a，求满足条件的所有可能的正整数

的和．

解：由3192191a可得31921a．619232，且

311(1)1(1)(1)(1)aaaaaaaa．

才哥数学481659882

………………5分

因为11aa是奇数，所以6321a等价于621a，又因为3(1)(1)aaa，所以331a等价于31a．因

此有1921a，于是可得1921ak．

………………15分

又02009a，所以0110k，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数

的和为

11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571．………………20分

13．如图，给定锐角三角形ABC，BCCA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，

过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．

解法1：结论是DFEG．下面给出证明．………………5分

因为FCDEAB，所以Rt△FCD∽Rt△EAB．于是可得

DFBE

．

同理可得

EGAD

．

………………10分

又因为tan

ADBE

ACB

CDCE

，所以有BECDADCE，于是可得

DFEG．………………20分

解法2：结论是DFEG．下面给出证明．

………………5分

连接DE，因为90ADBAEB，所以A，B，D，E四点共圆，

故

CEDABC．………………10分

又l是⊙O的过点C的切线，所以ACGABC．………………15分

所以，CEDACG，于是DE∥FG，故DF＝EG．

………………20分

14．n个正整数

12n

aaa，，，满足如下条件：

12009

aaa；

且

12n

aaa，，，中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．

解：设

12n

aaa，，，中去掉

a后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数

b，12in，，，．即

()

aaaa







．

于是，对于任意的1≤ij≤n，都有

（第13A题）

才哥数学481659882







，

从而1()

naa．………………5分

由于1

2008







是正整数，故

312251n．………………10分

由于

11221

nnnnn

aaaaaaa





≥2111(1)nnnn，

所以，2(1)n≤2008，于是n≤45.

结合312251n，所以，n≤9．………………15分

另一方面，令

123

801,811,821aaa，…，

871a，

82511a，则这9个数满足题设要求．

综上所述，n的最大值为9.………………20分

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2010年全国初中数学竞赛试题

参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括

号里，不填、多填或错填都得0分）

1．若2010

，，则



的值为（）．

（A）

（B）

（C）

110

（D）

210

才哥数学481659882

解：D由题设得

201210











．

代数式变形，同除b

2．若实数a，b满足2

aabb，则a的取值范围是（）．

（A）a2（B）a4（C）a≤2或a≥4（D）2≤a≤4

解．C

因为b是实数，所以关于b的一元二次方程2

baba

的判别式2

()41(2)

aa＝≥0,解得a≤2或a≥4．

方程思想，未达定理；要解一元二次不等式

3．如图，在四边形ABCD中，△B＝135°，△C＝120°，AB=23，BC=422，CD＝42，则AD边的长为（）．

（A）

（B）

（C）

64

（D）

622

解：D

如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足

分别为E，F．

由已知可得

BE=AE=6，CF＝22，DF＝26，

于是EF＝4＋

．

过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得

AD222(46)(6)(224)＝

226

．

勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法

4．在一列数

123

xxx，，，……中，已知1

x，且当k≥2时，

44kk

















（取整符号a表示不超过实数

的最大整数，例如2.62，0.20），则

2010

x等于（）．

(A)1(B)2(C)3(D)4

（第3题）

才哥数学481659882

解：B

由1

x和

44kk

















可得

1x，

2x，

3x，

4x，

1x，

2x，

3x，

4x，

……

因为2010=4×502+2，所以

2010

x=2．

高斯函数；找规律。

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），

D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°

得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）．

（A）（2010，2）（B）（2010，2）

（C）（2012，2）（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，点

P，

P的坐标分别为（2，0），（2，2）．

记

222

)Pab（，，其中

2,2ab．

根据对称关系，依次可以求得：

322

(42)Pab，－－，

422

(2)Pab，4，

522

(2)Pab，，

622

(4)Pab，．

令

662

(,)Pab，同样可以求得，点

P的坐标为（

4,ab），即

P（

42,ab），

由于2010=4502+2，所以点

2010

P的坐标为（2010，2）．

二、填空题

6．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－12的值等于．

解：0

由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在

后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t

分钟，货车追上了客车，则t＝．

解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为abc，，（千米/分），

并设货车经x分钟追上客车，由题意得

（第5题）

才哥数学481659882

10abS，△

152acS，△xbcS．△

由△△，得30bcS（），所以，x=30．故3010515t（分）．

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，

4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l

的函数表达式是．

解：

111

yx+

如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．

由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的

两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，

过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．

于是，直线MN即为所求的直线l．

设直线l的函数表达式为ykxb，则











+，

，

解得

















，

,故所求直线l的函数表达式为

111

yx+．

9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，

C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则

．

解：

15

见题图，设,FCmAFn．

因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以2ABAFAC．

（第8题）

才哥数学481659882

又因为FC＝DC＝AB，所以2()mnnm，即2()10

，

解得



，或



（舍去）．

又Rt△AFE∽Rt△CFB，所以

AEAEAFn

ADBCFCm





，即



．

10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若n的最小值

满足

20003000n，则正整数k

的最小值为．

解：9因为1n为23k，，，的倍数，所以

的最小值

满足



123nk，，，，

其中23k，，，表示23k，，，的最小公倍数．

由于2388402392520，，，，，，，，

23120，，，，，，，，

因此满足

20003000n的正整数k的最小值为9．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△

ACD的外接圆直径，连接EF.求证：tan

PAD

．

（第11题）

才哥数学481659882

证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所

以

ED⊥BC，FD⊥BC，

因此D，E，F三点共线.…………（5分）

连接AE，AF，则

AEFABCACBAFD，

所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）

作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得

EFAH

BCAP

，

从而

EFPD

BCAP

，

所以tan

PDEF

PAD

APBC

.…………（20分）

12．如图，抛物线2yaxbx（a0）与双曲线

相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三

象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.

（1）求实数a，b，k的值；

（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△

EOC∽△AOB的点E的坐标.

解：（1）因为点A（1，4）在双曲线

上，

所以k=4.故双曲线的函数表达式为

.

设点B（t，

），0t，AB所在直线的函数表达式为ymxn，则有

（第11题）

（第12题）

才哥数学481659882

mtn















，

解得

，

4(1)t



.

于是，直线AB与y轴的交点坐标为

4(1)









，故



141

2AOB

t





（）

，整理得22320tt，

解得2t，或t＝

（舍去）．所以点B的坐标为（2，2）．

422











，

解因为点A，B都在抛物线2yaxbx（a0）上，所以

得











，

…………（10分）

42.又BO=22，（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（4，4），于是CO＝

所以2

设抛物线2yaxbx（a0）与x轴负半轴相交于点D，则

点D的坐标为（3，

0）.

因为∠COD＝∠BOD＝45，所以∠COB=90.

（i）将△BOA绕点O顺时针旋转90，得到△

BOA



.这时，点B



(2，2)是CO的中点，点

A的坐标为（4，1）.

延长

OA到点

E，使得

OE=

2OA，这时点

E（8，2）是符合条件的点.

（ii）作△BOA关于x轴的对称图形△

BOA



，得到点

A（1，4）；延长

OA到点

E，使得

OE＝

2OA，这时

点E２（2，8）是符合条件的点．

所以，点E的坐标是（8，2），或（2，8）.…………（20分）

13．求满足22282ppmm的所有素数p和正整数m.

．解：由题设得(21)(4)(2)ppmm，

所以(4)(2)pmm，由于p是素数，故(4)pm，或(2)pm.……（5分）

（1）若(4)pm，令4mkp，k是正整数，于是2mkp，

2223(21)(4)(2)pppmmkp，

故23k，从而1k.

（第12题）

才哥数学481659882

所以

221











，

解得











，

…………（10分）

（2）若(2)pm，令2mkp，k是正整数.

当5p时，有46(1)mkpkpppk，

223(21)(4)(2)(1)pppmmkkp，

故(1)3kk，从而1k，或2.

由于(21)(4)(2)ppmm是奇数，所以2k，从而1k.

于是

421











，

这不可能.

当5p时，2263mm，9m；当3p，2229mm，无正整数解；当2p时，2218mm，无正

整数解.

综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.…………（20分）

14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33

整除？

解：首先，如下61个数：11，1133，11233，…，116033（即1991）满足题设条

件.…………（5分）

另一方面，设

12n

aaa是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个

数

ijkm

aaaa，，，，因为

33()

ikm

aaa，33()

jkm

aaa，

所以33()

aa.

因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.…………（10分）

设

aad，i=1，2，3，…，n.

由

123

33()aaa，得

123

33(33333)add，

所以

333a，

11a，即

a≥11.…………（15分）

才哥数学481659882



≤

201011



，

故

d≤60.所以，n≤61.

综上所述，n的最大值为61.…………（20分）

2011年全国初中数学竞赛试题

及答案

题号

一二三

总分

1～56～10

11121314

得分

评卷人

复查人

答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答；

2．解答书写时不要超过装订线；

3．草稿纸不上交.

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有

一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．设

71a

，则代数式2212aa的值为().

（A）-6（B）24（C）

4710

（D）

4712

2．在同一直角坐标系中，函数

y

（

0k

）与

kkxy

（

0k

）的图象大致是

（A）（B）（C）（D）

3、在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使⊿PAB、⊿PBC、⊿PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的

点P的个数（）

才哥数学481659882

（A）1（B）7（C）10（D）15

4．若1x，0y，且满足3yy

xyxx

，，则xy的值为().

（A）1（B）2（C）

（D）

5．设

3333

1111

12399

S，则4S的整数部分等于().

（A）4（B）5（C）6（D）7

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是.。

7．若关于

的方程2(2)(4)0xxxm

有三个根，且这三个根恰好可

以作为一个三角形的三条边的长，则

的取值范围是.

8．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面

上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是.

9．如图，点AB，为直线yx上的两点，过AB，两点分别作y轴的平行线交双曲线

（x＞0）于CD，两

点.若2BDAC，则224OCOD的值为.

（第9题）

10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边

长为12，则△ABC的周长为.

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．已知：不论k取什么实数，关于x的方程





bkxakx

（a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值。

12.已知关于

的一元二次方程20xcxa的两个整数根恰好比方程20xaxb的两个根都大1，求abc

的值.

（第10题）

才哥数学481659882

13．如图，点A为y轴正半轴上一点，AB，两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线2

yx

于P，Q两点.

（1）求证：∠ABP=∠ABQ；

（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60º，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.

14如图，△ABC中，60BAC，2ABAC．点P在△ABC内，且352PAPBPC，，，求△ABC

的面积．

2011年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1．A.2.C.3.C.4.C.5.A

二、填空题

6.2(1)a7．3＜m≤4.8．

.9．6.10．84

三、解答题

11.解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a

要使等式（b＋4）k＝7－2a不论k取什么实数均成立，只有











027

解之得

a

，

4b

（第13题）

（第14题）

才哥数学481659882

12．解：设方程20xaxb的两个根为，，其中，为整数，且≤，则方程20xcxa的两根为

11，，由题意得

11aa，，

两式相加得2210，

即(2)(2)3，

所以















，

；

或

21.















，

解得















，

；

或















，

又因为[11]abc（），，（）（），所以

012abc，，；或者8156abc，，，

故3abc，或29.

13．解：（1）如图，分别过点PQ，作y轴的垂线，垂足分别为CD， .

设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，-t）.

xy（，）,

设直线PQ的函数解析式为ykxt,并设PQ，的坐标分别为

xy（，）.由

ykxt















，

得2

xkxt，

于是

2PQ

xxt，即

3PQ

txx.

于是

BDyt







222

()

333

222

()

333

PPQPPQ

QPQQQP

xxxxxx







又因为P

QDx



，所以

BCPC

BDQD



因为∠BCP∠90BDQ，所以△BCP∽△BDQ，

故∠ABP=∠ABQ.

（2）设PCa，DQb，不妨设

≥b>0，由（1）可知

（第13题）

才哥数学481659882

∠ABP=∠30ABQ，BC=

，BD=

，

所以AC=

32a

，AD=23b.

因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ.

于是

PCAC

DQAD

，即







，

所以

3abab

．

由（1）中

2PQ

xxt，即

ab，所以

333

abab，，

于是可求得



将

b代入2

yx，得到点Q的坐标（

，

）.

再将点Q的坐标代入1ykx，求得

k

所以直线PQ的函数解析式为

yx.

根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为

yx，或

yx.

14．解：如图，作△ABQ，使得

QABPACABQACP，，则△ABQ∽△ACP.

由于2ABAC，所以相似比为2.

于是

22324AQAPBQCP，．

60QAPQABBAPPACBAPBAC.

由:2:1AQAP知，90APQ，于是33PQAP．

所以22225BPBQPQ，从而90BQP．

于是

222()2883ABPQAPBQ.

故2

13673

sin60

282ABC

SABACAB





．

（第14题）

才哥数学481659882

2012年全国初中数学竞赛试题

（正题）

题号

一二三

总分

1～56～10

11121314

得分

评卷人

复查人

答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答；

2．解答书写时不要超过装订线；

3．草稿纸不上交.

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有

一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．

（第1（甲）题）

（A）2ca（B）2a2b（C）a（D）a

1（乙）．如果，那么的值为（）．

（A）（B）（C）2（D）

2（甲）．如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=（b≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为

（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．

（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）

2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．

（A）10（B）9（C）7（D）5

3（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差

的绝对值是（）．

才哥数学481659882

（A）1（B）（C）（D）

3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD=3，BD=5，

则CD的长为

（）．

（第3（乙）题）

（A）（B）4（C）（D）4.5

4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；

小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．

（A）1（B）2（C）3（D）4

4（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．

（A）5（B）6（C）7（D）8

5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的

两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．

（A）（B）（C）（D）

5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删

去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．

（A）2012（B）101（C）100（D）99

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作.如果操作

进行四次才停止，那么x的取值范围是.

（第6（甲）题）

6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值

才哥数学481659882

为．

7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，

则△DMN的面积是.

（第7（甲）题）（第7（乙）题）

7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与

分别交于两点，则的值等于．

8（甲）．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+=0的两个实数根分别为，，那么的值为．

8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012.若能被5整除，则所有的个数为.

9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记

分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平

局数不超过比赛局数的一半，则m的值为.

9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均

为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是.

10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD=DC.分别延长BA，CD，交点为E.作BF⊥EC，并

与

EC的延长线交于点F.若AE=AO，BC=6，则CF的长为.

（第10（甲）题）

10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数

为．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

才哥数学481659882

11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程

的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．

11（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy中，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=．

CD与y轴交于点E，且S△COE=S△ADE.已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二

次函数的解析式.

（第11（乙）题）

12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点

，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．

（第12（甲）题）

12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心.求证：

（1）OI是△IBD的外接圆的切线；

（2）AB+AD=2BD.

（第12（乙）题）

13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数.当a≥2012时，求a的最小值.

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13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由

14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.

14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，

求的最小值．

2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案

一、选择题

1（甲）．C

解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知

，且，

所以．

1（乙）．B

解：．

2（甲）．D

解：由题设知，，，所以.

解方程组得

所以另一个交点的坐标为（3，2）.

注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，

2）.

2（乙）．B

解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.

因为均为整数，所以有

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解得

以上共计9对.

3（甲）．D

解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为

，

中位数为，

于是.

3（乙）．B

解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.

（第3（乙）题）

由于AC=BC，CD=CE，

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，

所以△BCD≌△ACE，BD=AE.

又因为，所以.

在Rt△中，

于是DE=，所以CD=DE=4.

4（甲）．D

解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数.由题设可得

消去x得(2y－7)n=y+4，

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2n=.

因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，

3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．

4（乙）．C

解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数

的图象知，当时，，所以，即.由于都是正整数，所以，1≤q

≤5；或，1≤q≤2，此时都有.于是共有7组符合题意．

5（甲）．D

解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有

序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．

5（乙）．C

解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．

设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则

，

解得，．

二、填空题

6（甲）．7＜x≤19

解：前四次操作的结果分别为

3x－2，3(3x－2)－2=9x－8，3(9x－8)－2=27x－26，3(27x－26)－2=81x－80.

由已知得27x－26≤487，

81x－80＞487.

解得7＜x≤19.

容易验证，当7＜x≤19时，≤487≤487，故x的取值范围是

7＜x≤19．

6（乙）．7

解：由已知可得

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．

7（甲）．8

解：连接DF，记正方形的边长为2.由题设易知△∽△，所以

，

由此得，所以.

（第7（甲）题）

在Rt△ABF中，因为，所以

，

于是.

由题设可知△ADE≌△BAF，所以，

于是，

，

又，所以.

因为，所以.

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7（乙）．

解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以

，

．

（第7（乙）题）

所以.

8（甲）．

解：根据题意，关于x的方程有

=k2－4≥0，

由此得(k－3)2≤0．

又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3.此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.

故==．

8（乙）．1610

解：因为==.

当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；

当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；

当被5除余数是0时，不能被5整除.

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所以符合题设要求的所有的个数为．

9（甲）．8

解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知

，

由此得0≤b≤43.

又，所以.于是

0≤≤43，

87≤≤130，

由此得，或.

当时，；当时，，，不合题设.

故．

9（乙）．≤1

解：由题设得

所以，

即.

整理得

，

由二次函数的图象及其性质，得.

又因为≤1，所以≤1.

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10（甲）．

解：如图，连接AC，BD，OD.

（第10（甲）题）

由AB是⊙O的直径知∠BCA=∠BDA=90°.

依题设∠BFC=90°，四边形ABCD是⊙O

的内接四边形，所以

∠BCF=∠BAD,

所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此.

因为OD是⊙O的半径，AD=CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，

于是.因此

由△∽△，知．因为，

所以，BA=AD，故

10（乙）.12

解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1

≤≤25．

（Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．

（Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的

幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．

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