特征值的性质
北京国税-帐薄
2023年2月22日发(作者：中药大黄)1
第五章特征值、特征向量及二次型
特征值是线性代数的重要内容之一,也是考研热点，尤其近几年题多分值大，特征值与
特征向量在考试中主要用于：求矩阵的幂、矩阵的对角化、复习时主要掌握：
1、理解特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值、特征
向量的方法；
2、理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，弄清楚矩阵能相似对角化的条件，掌
握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；
3、熟悉实对称矩阵特征值、特征向量的特殊性质，掌握用正交矩阵化实对称矩阵为对
角矩阵的方法。
4、二次型部分需要解决两个核心问题：一是二次型的标准化，所谓标准化是指通过一
个可逆的线性变换，把二次型化为标准二次型，通常采用的方法是配方法和正交变换法，重
点掌握正交变换法；二是关于二次型的正定性问题，正定二次型本质上就是当多项式中未知
数不全取零时，多项式为正的二次型。
一、考试内容
※内积与正交化方法
定义3.5给定nR中向量T
n
aaa),,,(
21
，T
n
bbb),,,(
21
，
则称
n
i
ii
ba
1
为向量和的内积，记为
nn
Tbababa
2211
),(
内积的性质
（1）),(),(；
),(),(),(kkk；
),(),(),(
（2）
2),(T，且000),(22
2
2
1
n
aaa
定义3.6设为nR中任意向量，将非负实数),(定义为的长度，
记为
，即若T
n
aaa),,,(
21
，则有22
2
2
1n
aaa。
内积的相关结论
（1）
0
，且
00
（2）
kk
，k为任意常数
（3）
),(
（4）
2
定义3.7两向量和的夹角余弦满足
),(
),cos(。
如果向量和的内积等于0，0),(T，称向量与正交，记为，
零向量与任何向量正交。
注意：（1）零向量与任意向量正交。与自己正交的向量只有零向量。
（2）正交向量组是线性无关的。
施密特正交化步骤：
给定一组线性无关向量组
s
,,,
21
，由其生成等价的由s个正交向量组成的正交向
量组
s
,,,
21
的方法。
步骤一：
11
步骤二：
1
11
11
22),(
),(
步骤三：
2
22
23
1
11
13
33),(
),(
),(
),(
…...
步骤三：
1
11
1
2
22
2
1
11
1
),(
),(
),(
),(
),(
),(
s
ss
ssss
ss
定义3.8如果n阶矩阵A满足EAAT。那么称A为一个正交矩阵，简称正交阵。
正交矩阵性质：
（1）TAA1
（2）
1A
（3）若A与B都是正交矩阵，则1A，1B和AB仍是正交矩阵。
【例】：设A与B都是n阶正交矩阵，且满足
0BA
，证明
0BA
【注意】：处理行列式
BA
时，要注意单位矩阵恒等变形的技巧，本题若由
BAEBA
，用EBBT置换E也是一样的。
定义3.9设
n
维向量组
n
,,,
21
满足：（1）
njiji
j
T
iji
,,2,1,,,0),(；（2）
ni
i
,,2,1,1
。则称
n
,,,
21
为
一组规范正交向量组或单位正交向量组。
注意：规范正交向量组可由一组线性无关向量组
n
,,,
21
通过正交化、单位化得
到。
3
※特征值与特征向量的概念
定义5.1设A是n阶方阵，如果存在数和n维非零向量x，使得xAx成立，则称
数是矩阵A的一个特征值，称非零向量x为矩阵A的对应于特征值的特征向量（或称
为矩阵A的属于特征值的特征向量）。
定义5.2设
)(
ij
aA为一个n阶方阵，则行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
AE
21
22221
11211
称为矩阵A的
特征多项式,0AE称为矩阵A的特征方程。
称为n元非齐次线性方程组。当),,2,1(0nib
i
时，对应方程组成为n元齐次线性
方程组。且成为原方程组的导出组。
求特征向量的方法
设
i
为方阵A的一个特征值，则由齐次线性方程组0)(xAE
i
可求得非零解
i
，那么
i
就是A的对应于特征值
i
的特征向量，且A的对应于特征值
i
的特征向量全体
是方程组0)(xAE
i
的全体非零解。即设
s
,,,
21
为0)(xAE
i
的基础解系，则
A的对应于特征值
i
的特征向量全体是
ss
kkk
2211
(
s
kkk,,,
21
不同
时为0)
注意★若矩阵A为降秩矩阵时，其非零特征值的个数不一定与其秩相等。如
00
10
A，1)(Ar，特征值为0
21
。
★特征向量一定为非零向量。
★矩阵的特征值不一定是实数，如：
01
10
A。解得有两个特征值分别为
i
1
，i
2
。
※特征值与特征向量的性质
性质5.1n阶矩阵A与它的转置矩阵TA有相同的特征值。
性质5.2设
)(
ij
aA
是n阶矩阵，
n
,,,
21
为A的n个特征值，则
（1）
nnn
aaa
221121
（2）
A
n
21
其中A的全体特征值的和
nn
aaa
2211
称为矩阵A的迹，记为)(Atr。
注意★若0A，则0一定是矩阵A的特征值；
★若
0
21
n
，则A可逆或nAr)(，反之也对，即矩阵的满秩的充
分必要条件是其特征值都不为零。
4
性质5.3设A为n阶矩阵，
0
是矩阵A的特征值，若
s
,,,
21
为矩阵A的属于特
征值
0
的特征向量，则)0(
21
s
kkk也是矩阵A的属于特征值
0
的特征向量。
性质5.4设
)(
ij
aA是n阶矩阵，如果
(1)
),,2,1(1
1
nia
n
j
ij
行元素绝对值的和
或(2)
),,2,1(1
1
nja
n
i
ij
列元素绝对值的和
有一个成立,则矩阵A的所有特征值
i
的模小于1，即),,2,1(,1ni
i
定理5.1n阶矩阵A的互不相等的特征值
s
,,,
21
对应的特征向量
s
,,,
21
线
性无关。
证明：设特征值
1
对应的线性无关的特征向量为
r
,,,
21
，特征值
2
对应的线性无
关的特征向量为
t
,,,
21
，且
21
。
令0
22112211
ttrr
lllkkk①
两边左乘A得：
00
22112211
AAlAlAlAkAkAk
ttrr
即：0)()(
2211222111
ttrr
lllkkk②
所以①乘以
1
再减去②，得
0))((
221121
tt
lll
因为
21
，所以0
2211
tt
lll，所以
12
0
t
lll
所以0
2211
rr
kkk，所以0
21
r
kkk，
所以
tr
,,,,,,,
2121
线性无关。
注意：1）属于不同特征值的特征向量是线性无关的；
2）属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量；
3）矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值对应的特征向
量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值；
4）若
i
为n阶矩阵A的
i
k重特征值，则属于特征值
i
的线性无关的特征向量个
数不超过其特征值的重数
i
k。
※相似矩阵的概念
定义5.3设BA,都是n阶方阵，若存在可逆矩阵P,使得BAPP1，则称B是A的相
似矩阵，并称矩阵A与B相似，记为A～B。
对A进行运算APP1称为对A进行相似变换，称可逆矩阵P为相似变换矩阵。
矩阵的相似变换关系是一种等价关系，满足：
1）反身性：对任意n阶矩阵A，A～A；
2）对称性：若A与B相似，则B与A相似；
3）传递性：若A与B相似，B与C相似，则A与C相似。
两个常用表达式
(1)))((111BPpAPpABPp；
5
(2)BPlpAPkpPlBkAp111)(，其中lk,为任意常数。
※相似矩阵的性质：设BA,都是n阶方阵，且A～B，则
1）TA～TB，1A～1B（若A与B可逆），A～B，kA～kB（k为正整数）；
2）特征多项式相等，BEAE（反推不对），注意：BEAE；
3）BA；（反推不对）
4）秩（A）=秩（B）；（反推不对）
5）相似矩阵有相同的迹，)()(BtrAtr。（反推不对）
定理5.2n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值也
相同。
注意：1）相似矩阵的秩相等；
2）相似矩阵的行列式相等；
3）相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。
※矩阵与对角矩阵相似的条件
定理5.3n阶矩阵A与对角矩阵
n
2
1
相似的充分必要条件为矩阵A
有n个线性无关的特征向量。
推论若n阶矩阵A有n个不同的特征值
n
,,,
21
，则A与对角矩阵
n
2
1
相似。
定义5.4对于n阶方阵A，若存在可逆矩阵p，使APP1为对角矩阵，则称方阵A
可对角化。
定理5.4n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的
特征向量的个数恰好等于该特征值的重数。即设
i
是矩阵A的
i
k重特征值，则
A与对角矩阵相似
ii
knAEr)(
),,2,1(ni
※实对称矩阵的性质
定理5.5实对称矩阵的特征值都为实数。
定理5.6设
21
,是对称矩阵A的两个特征值，
21
,是对应的特征向量，若
21
，
则
1
与
2
正交。
定理5.7设A为
n
阶实对称矩阵,
是特征方程的
k
重根，则矩阵
AE
的秩
6
knAEr)(，从而对应特征值恰有k个线性无关的特征向量。
定理5.8设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使得APP1。其中是以A
的n个特征值为对角元素的对角矩阵。
※二次型的概念及其标准形
定义5.5含有n个变量
n
xxx,,,
21
，且每项皆为二次的齐次多项式
n
i
n
j
jiijn
xxaxxxf
11
21
),,,(，称为二次型，
令
n
x
x
x
X
2
1
，
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
，则AXXXfT)(。
矩阵A称为二次型的矩阵，有AAT，即二次型的矩阵都是对称矩阵，矩阵A的秩称
为二次型的秩。
定义5.6标准二次型只含有平方项不含交叉项的二次型称为标准二次型。
注意：1、二次型的矩阵是唯一的，可以从二次型的多项式形式写出二次型的矩阵，同
时由二次型的矩阵也可以写出多项式形式的二次型。
2、二次型是标准形得充分必要条件是其对应的矩阵为对角矩阵，二次型的标准
化过程实际上是矩阵的对角化过程，由于二次型的矩阵都是实对称矩阵，所以二次型一定可
以标准化。
3、二次型的标准形是不唯一的。只是标准形中不为零的个数是唯一确定的，其
个数恰好与矩阵A的秩相等。
定义5.7惯性指数标准形中不为零的个数及正系数和负系数的个数是唯一的，分别称
为二次型的秩、正惯性指数和负惯性指数。
定义5.8规范二次型系数只为1或-1的标准形。
定义5.9矩阵合同设BA,为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵P，使得BAPPT，
称矩阵A与B合同。合同的充分必要条件是A与B的特征值中正、负及零的个数相同。
注意：实对称矩阵A与B相似，则一定合同，但合同不一定相似。
因为A与B相似，则A与B有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，
所以A与B合同。
反之A与B合同，则A与B有相同的正、负惯性指数，但不能得到A与B的特
征值相同。
定义5.10正定二次型若对任意的
0X
，有0)(AXXXfT，则称该二次型为
正定二次型。等价定义为：对任意的X，有0)(AXXXfT，且
0AXXT得充分必
7
要条件是0X。
若二次型AXXXfT)(为正定二次型，则A称为正定矩阵。
注意：若A是正定矩阵，则A一定是可逆矩阵；
若A是正定矩阵，则1A、A是可逆矩阵；
若BA,都是正定矩阵，则BA是可逆矩阵。
二、重要的公式和结论
◆矩阵特征值的几个有用的公式：
①设是A的一个特征值，
则矩阵AAAfAbEaAAkAm,),(,,,,12分别有特征值为,,2k
A
fbam,),(,,1。
设x是A对应特征值的特征向量，
则也是,,,,2mAbEaAAkAAAAf,),(1
对应特征值
A
fbakm,),(,,,,12的特征向量。
②设是矩阵A的特征方程的k重根，则A的属于特征值的线性无关的特征向量个
数最多有k个。
◆求矩阵特征值常见的方法
①公式法：即由0AE求特征值；
②定义法：由xAx，求出满足等式的；
例：设A为n阶非零矩阵,且0mA，求A的特征值。
分析：令xAx，则xxAmm，又因为0mA，所以0xm，由于0x，所以0，
即A得特征值全为零。
例：设A，B为两个可逆的n阶矩阵,且A，B的每行元素之和为a和b，求A的一
个特征值及AB的每行元素之和。
③关联矩阵法：即通过与A相关联的矩阵求出A的特征值，与A相关联的矩阵主要有
TA、1A、A及与A相似的矩阵。
◆矩阵可对角化问题
由于n阶矩阵所有特征值的重数加起来为n，而每个特征值对应线性无关特征向量的个
数小于或等于其重数，因此只有当特征根的重数与其线性无关特征向量的个数相同时，才能
保证有n个线性无关的特征向量，从而才能保证A是可对角化的。以下三种矩阵一定可以对
角化：
（1）A有n个相异的特征值
A一定可以对角化；
（2）A为实对称矩阵
A一定可以对角化；
（3）A有
n
个线性无关的特征向量
A一定可以对角化；
8
（4）A的每一个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量的个数相等
A一定
可以对角化。
◆二次型的相关结论
(1)一个二次型f和一个对称矩阵A一一对应；
(2)任意二次型
,1
,()
n
ijijijji
ij
faxxaa
总有正交变换XPY，使f化为标准形
222
1122nn
fyyy，
其中
12
,,,
n
是f的矩阵()
ij
Aa的特征值。
(3)实二次型TfxAx为正定的充要条件是它的标准形的所有系数全为正；
(4)对称阵A正定A的所有特征值全为正；
(5)对称阵A正定A的所有顺序主子式全为正；
(6)对称阵A负定A的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正；
(7)A为正定实对称阵，则1,,TAAA均为正定矩阵；
(8)若A，B均为n阶正定矩阵，则AB也是正定矩阵。
三、典型例题选讲
题型一：求矩阵的特征值与特征向量
【例5.1】：求矩阵
654
032
001
A的全部特征值和特征向量。
【例5.2】：计算3阶矩阵
324
202
423
A的全部特征值和特征向量。
【分析】：第一步，计算A的特征多项式
2)1)(8(
324
22
423
)(
AEf
第二步，求出特征多项式)(f的全部根，即A的全部特征值
令0)(f，解之得8
1
，1
32
，即为A的全部特征值.
第三步，求出A的全部特征向量
当8
1
，求对应线性方程组0)8(xAE的一组基础解系，即
9
0524
0282
0425
321
321
321
xxx
xxx
xxx
，
化简求得此方程组的一组基础解系T2,1,2
1
，所以对于8
1
的全部特征向
量为)0(
111
kk。
对1
32
，求相应线性方程组0)1(xAE的一个基础解系，
即
0424
0212
0424
321
321
321
xxx
xxx
xxx
，求解此方程组得一个基础解系为：
1
0
1
2
，
0
2
1
3
。
于是A的属于1
32
的全部特征向量为
),(
323322
是不全为零的实数kkkk。
从而A的全部特征向量为
332211
kkk。
【例5.3】：设n阶矩阵
1
1
1
bb
bb
bb
A。
（1）求矩阵A的特征值与特征向量；
（2）求可逆矩阵P，使得APP1为对角矩阵。
题型二：计算抽象矩阵的特征值
所谓抽象矩阵，是指矩阵的元素没有具体给出的矩阵，其求特征值的方法有：
思路①：利用定义式xAx，0x，满足此关系式的即为A的特征值。
思路②：利用特征方程0AE，满足此特征方程的即为A的特征值。
【例5.4】：假设三阶矩阵A满足方程0652EAA，其中E为单位矩阵，且行列式
12A，试求A的特征值。
10
【例5.5】：设,都是n维非零列向量，TA，且3),(，求A的所有特征值。
【例5.6】：设A是n阶矩阵，行列式2A，若矩阵EA不可逆，则矩阵A的伴随矩
阵A必有特征值。
【例5.7】：设A是2阶矩阵，
21
,为线性无关的2维列向量，0
1
A，
212
2A，则A的非零特征值为。
【例5.8】：设
21
,是矩阵A属于不同特征值的特征向量，证明
21
不是矩阵A的
特征向量。
题型三：关于矩阵特征值、特征向量定义、性质与行列式的题型
【例5.9】：设A是3阶矩阵，且其特征值为1，-2，-1，
求①A的值；
②EA3的特征值；
③EA2)(21的特征值；
④EAA2的值。
【例5.10】：设BA,都是4阶矩阵，且A的特征值为
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
，且A～B，求EB1
的值。
11
【例5.11】：设
1
0
1
，且TA，求nAE6的值。
【例5.12】：设A是3阶矩阵，0EA，02EA，03EA，求EA4的
值。
题型四：特征值、特征向量的逆问题
所谓特征值、特征向量的逆问题是指已知特征值或特征向量，反求特征向量或矩阵A中
的参数；或已知全部特征值、特征向量反求矩阵；或已知部分特征值和特征向量，反求其
余特征值、特征向量及矩阵A。
（一）：已知特征值或特征向量反求参数。
若已知条件中给出特征向量，用定义式xAx求解；若只给出特征值而没有给出特
征向量，一般用特征方程
0AE
求解。
【例5.13】：已知
1
1
1
是矩阵
21
35
212
b
aA
的一个特征向量。试确定参数
ba,及特征向量所对应的特征值；
【例5.14】：设矩阵
b
aA
66
33
331
，有特征值2
1
，4
2
，试求参数ba,的值。
12
（二）：已知A的全部特征值和特征向量，反求A。
设A是n阶矩阵，
n
,,,
21
是A的n个特征值，可能会有重根，对应有n个线性无
关的特征向量
n
,,,
21
，即),,2,1(niA
ii
。由
),,,(),,,(),,,(
22112121nnnn
AAAA，
得1
212211
),,,)(,,,(
nnn
A。
【例5.15】：已知线性方程组
1
2
3
1213
2456
123
x
ax
ax
有无穷多解，A是三阶方
阵，
1
2
1
1
a，
2
3
2
a
a
a
，
1
1
2
3
a
a
分别是A关于特征值1
1
，1
2
，0
3
的三个特征向量，求A。
题型五：矩阵对角化的计算与判断
思路：判断矩阵A是否可以对角化可以从以下三个方面进行：
①看A是否是实对称矩阵，若A是实对称矩阵，则A一定可以对角化。
②看A的特征值是否都不相等，若A的特征值都不相等，则A一定可以对角化。
③若A不满足前两个条件，看A的每个特征值对应的线性无关的特征向量的个数是
否与特征值的重数相等，若相等，则A一定可以对角化。
（一）：判断矩阵A是否可以对角化，在可以对角化的情况下，求出相似变换矩阵。
①由特征方程0AE，求出A的全部特征值
s
,,,
21
；
②对每一个特征值
i
，设其重数为
i
k，则对应齐次方程组0)(xAE
i
的基础解系
有
i
k个向量
i
ikii
,,,
21
，即
i
ikii
,,,
21
为
i
对应的线性无关的特征向量；
③第二步求得的特征向量
s
sksskk
,,,,,,,,,,,,
2
21
恰好为矩
阵A的n个线性无关的特征向量；
④令
),,,,,,,,,,,,(
2
21s
sksskk
P
，则APP1。
【例5.18】：已知
122
224
242
A
，问A能否化为对角阵？若能对角化，则求出可
逆矩阵P，使APP1为对角阵。
13
【分析】：由2
122
224(2)(7)
242
AE
=0得，
123
2,7
将2
21
代入0)(
1
xEA，得方程组
123
123
123
220
2440
2440
xxx
xxx
xxx
解之得基础解系
12
20
0,1
11
同理，对7
3
，由0)(
3
xEA，求得基础解系
3
(1,2,2)T
由于
201
0120
112
，所以
123
,,线性无关，即A有3个线性无关得特征向量，因而
A可对角化。
且可逆矩阵为：
123
201
(,,)012
112
P
。
【例5.17】：已知
175
131
023
A
，问A是否与对角阵相似，如果相似，则求出相
似变换矩阵P，使APP1为对角阵。
【例5.18】：设
001
1
100
yxA
有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件。
14
（二）：已知两个同阶方阵A，B，要求判断A与B是否相似。
提示：若A～B，则BEAE，进而可推出BA，)()(BrAr，
)()(BtrAtr等等。若其中有一个不成立，说明A与B不相似。
若A与B均相似于同一对角矩阵，则A与B相似，即若A～，且B～，
则A～B。
【例5.20】：判断下列矩阵组A，B是否相似，若相似，求出可逆矩阵M，使得
AMMB1。
（1）
210
530
002
A，
100
037
013
B
（2）
010
100
002
A，
200
610
001
B
（三）：抽象矩阵对角化证明。
【例5.21】：设A为n阶矩阵，且AA22，证明：A可以相似对角化。
【例5.22】：设A为n阶非零矩阵，且)1(0mAm且m为自然数。证明A不可以对
角化。
题型六：实对称矩阵的对角化问题
实对称矩阵一定可以对角化，将实对称矩阵对角化具体步骤如下：
①求出A的全部特征值
n
,,,
21
；
②对每一个特征值
i
，设其重数为
i
k，由0)(xAE
i
，求出基础解系（
i
k个线性
15
无关特征向量），即
n
,,,
21
；
③若求可逆矩阵P，使得
n
APP
2
1
1，只要取),,,(
21n
P；
若求正交矩阵Q，使得
n
TAQQ
2
1
，则需要对
n
,,,
21
进行施
密特正交化和规范化。由
n
,,,
21
得正交规范组
n
,,,
21
，取),,,(
21n
Q即
可。
注意：1、求上述求解过程中P的列向量次序与矩阵对角线上特征值的次序相对应。
2、由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以正交化只限于在重特
征值对应的线性无关的特征向量内部进行。
【例】：已知实对称矩阵
220
212
020
A
，求出正交矩阵P，使1PAP为对角阵。
【分析】：第一步，求A的全部特征值，由
220
212412
02
AE
，
得，
123
4,1,2。
第二步，由0
i
AEx
求出A的特征向量
对
1
4，由40AEx
，得
12
123
23
220
2320
240
xx
xxx
xx
解之得基础解系
1
2
2
1
对
2
1，由0AEx
，得
12
13
23
20
220
20
xx
xx
xx
16
解之得基础解系
2
2
1
2
对
3
2，由20AEx，得
12
123
23
420
2320
220
xx
xxx
xx
解之得基础解系
3
1
2
2
第三步，将特征向量正交化
由于
123
,,属于A的3个不同的特征值
123
,,的特征向量，故他们必两两正交．
第四步，将特征向量单位化
令
,1,2,3i
i
i
i
，得
1
23
23
13
，
2
23
13
23
，
3
13
23
23
。
作
123
221
1
,,212
3
122
P
，则1
400
010
002
PAP
。
【例5.23】：设
11
11
11
a
a
a
A
，
2
1
1
，方程组Ax有解但不唯一。
（1）求a的值；（2）求可逆矩阵P，使得APP1为对角阵；（3）求正交矩阵Q，使
得AQQT为对对角阵。
题型七：求矩阵的幂。
求矩阵的幂有很多方法，利用矩阵对角化的方法是求矩阵幂的一种很重要的方法，具
体思想是：
17
1、先求可逆矩阵P，使得
n
APP
2
1
1。
2、对上述等式两边m次方，
m
n
m
m
mPAP
2
1
1，
得1
2
1
PPA
m
n
m
m
m
。
【例5.24】：设三阶矩阵A的特征值为1
1
，2
2
，3
3
，他们对应的特征向量为
T)1,1,1(
1
，T)4,2,1(
2
，T)9,3,1(
3
，又T)3,1,1(，计算nA。
题型八：二次型标准化方法。
1、配方法：即通过配方的方法把二次型化为若干部分的平方和与差，然后进行变换。
2、正交变换法：即可逆线性变换QYX中，Q为正交矩阵，且经过变换QYX可
把二次型化为标准行。
正交变换法的基本步骤：
①由
0AE
求出矩阵A的全部特征值
n
,,,
21
；
②对每一个特征值
i
，设其重数为
i
k，由0)(xAE
i
，求出基础解系（
i
k个线
性无关特征向量），即
n
,,,
21
；
③对
n
,,,
21
进行施密特正交化和规范化，由
n
,,,
21
得正交规范组
n
,,,
21
。
④令),,,(
21n
Q，则Q为正交矩阵，
且有
n
TAQQ
2
1
。
⑤作正交变换QYX，
18
则22
22
2
1121
)(),,,(
nn
TTT
n
yyyYAQQYAXXxxxf
注意：★正交变换法化二次型为标准二次型时，标准型的系数一定为矩阵A的特征值。
★配方法化二次型为标准二次型时，标准型的系数不一定为矩阵A的特征值。即
二次型的标准型不唯一，其系数中正负系数个数是唯一的。
★二次型的规范型是唯一的。
【例】：用配方法化二次型2
2323121
2
1321
3442),,(xxxxxxxxxxxf为标准形。
【分析】：
2
3
2
32
2
321
2
332
2
2
2
321
2
2313121
2
1
2
2313121
2
1321
12)2(2)2(
482)2(
34)42(
3442),,(
xxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxf
令
33
232
1321
2
2
yx
yxx
yxxx
，则
33
322
3211
2
4
yx
yyx
yyyx
，
所以二次型标准型为2
3
2
2
2
1
122yyyf。
【注意】：用配方法化二次型为标准形时，若二次型中有平方项，则用配方法化二次型
为几个完全平方的和或差的形式，然后做变换。若二次型中只有交叉相乘得项而没有平方
项，一般先使用平方差变换化二次型为有平方项的二次型，再用配方法化为标准形。
【例5.26】：用正交变换化2
123132
(,,)2fxxxxxx为标准形。
题型九：含参数的二次型问题
【例5.27】：设二次型
3231
2
3
2
2
2
1321
24),,(xaxxxxxxxxxf，经正交变换化标准
形为2
3
2
2
2
1
33ybyyf。
求（1）常数ba,的值；（2）求正交矩阵Q，使得二次型在正交变换QYX下化为标
准形。
19
题型十：正定二次型的判别与证明问题
思路：判别或证明矩阵是否是正定矩阵或二次型是否是正定二次型通常有四个思
路。
1、顺序主子式法：若矩阵A的各阶顺序主子式都大于0，则矩阵A为正定矩阵；
2、求矩阵A的特征值：若A的特征值全大于零，则矩阵A为正定矩阵；
3、利用定义法：判断矩阵A为正定矩阵，只要判断二次型AXXT为正定二次型；
4、若存在可逆矩阵P，使得PPAT，则A为正定矩阵。
【例5.28】：设二次型
323121
2
3
2
2
2
1321
4225),,(xxxxxtxxxxxxxf为正定二次
型，求t的范围。
【例5.29】：设A是正定矩阵，证明1A也是正定矩阵。
【例5.30】：设A是正定矩阵，证明
1AE
。
【例5.31】：设BA,都是正定矩阵，证明BA也是正定矩阵。