计算机数学基础

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1

《计算机数学基础》离散数学试题

一、单项选择题(每小题2分，共10分)

1.下列命题公式等值的是()

BBAAQPQQPQ

BAABAAQPQP

),()D(),()C(

)(),()B(,)A(





2.谓词公式

)(yyP

取真值为1的充分必要条件是()

(A)对任意y，使P(y)都取真值1(B)存在一个y

0

，使P(y

0

)取真值1

(C)存在某些y，使P(y)都取真值1(D)存在y

0

，使P(y

0

)取真值0

3.设集合A＝{0,b},B={1,b,3},则AB上的恒等关系是().

(A){,,}(B){,,,}

(C){,,}(D){,,}

4.已知集合A＝{a,b,c}上的二元关系R的关系矩阵M

R

＝





















001

011

010

，那么R＝()，

(A){,,,}(B){,,,}

(C){,,,}(D){,,,}

5.设V＝{a,b,c,d},与V能构成强连通图的边集E＝()

(A){,,,,}(B){,,,,}

(C){,,,,}(D){,,,,}

二、填空题(每小题3分，共15分)

6.设命题公式G：P(QP)，则使公式G为假的真值指派是

7.设P：我们划船，G：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为

8.设个体域D＝{1,2},那么谓词公式

)()(yyBxxA

消去量词后的等值式为

.

9.设有向图D＝的邻接矩阵为A(D)=

























1100

1000

0100

0120

，那么E＝.

10.无向连通图G含有欧拉回路的充分必要条件是

三、化简解答题(每小题8分，共32分)

11.回答问题：下列集合中哪些是相等的,说明理由.

A

1

＝{a,b}A

2

＝{b,a}A

3

＝{a,a,b}A

4

＝{a,b,c}

A

5

＝{0))()((cxbxaxx}A

6

＝{0)(2abbaxx}

2

.

(2)设无向图G＝,那么图G中V与E满足什么条件，图G一定是树.

13.判别谓词公式

),(),(yxxFyyxyFx

的类型.

四．计算题(每小题8分，共24分)

14.求命题公式

))()((QPPQP

的主合取范式.

15.设全集E＝(a,b,c,d,e,f),A={a,d}，B={a,b,e}，C={b,d}，求下列集合：

(1)

CBA~)(

；(2)

)()(APAA

.

16.已知图D(如第16题图)的邻接矩阵为

A(D)=

























0101

1010

0101

1110

4

3

2

1

4321

v

v

v

v

vvvv

求从v

2

到v

4

长度为2和从v

3

到v

3

长度

为2的通路条数，并将它们具体写出.

17.设代数系统(Z,*)，其中Z是整数集，二元运算定义为2*,,babaZba，

Za，求a的逆元.

五、证明题(第18题10分，第19题9分)

18.设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对aA,bA，使得(a,b)R,

则R是等价关系.

19.设格(L，，)满足分配律，证明,,,Lcba有

bacbbacaba))()(())()((

《计算机数学基础》离散数学试题解答

一、单项选择题(每小题2分，共15分)

1.C2.A3.B4.D5.A

二、填空题(每小题3分，共15分)

6.1,0；1,1

7.

)(QP

或

QP

8.A(1)A(2)(B(1)B(2))

9.7

10.不含有奇数度结点.

三、化简解答题(每小题8分，共32分)











第12题图

v

4

v

3

v

1

v

2

第16题图

12.(1)设图G(如第12题图)，

作图G的嵌入图，说明图G是

平面图.

3

11.集合中的元素是无序的，且不能重复，故A

1

＝A

2

＝A

3

；(3分)

因为(x－a)(x－b)(x－c)=0的解为x=a,b,c,而x2－(a+b)x+ab=0的解为x=a,b.(6分)

故有A

1

＝A

2

＝A

3

＝A

6

，A

4

＝A

5

(8分)

12.(1)

图G的嵌入图，如第12题答案图.

故图G为平面图(4分)

(2)图G连通且E＝V－1，

那么图G一定是树.(8分)

13.设I为任意一个解释，D为I的个体域.若在解释I下，该公式的前件为0，无论

),(yxxFy

如何取值，

),(),(yxxFyyxyFx

为1；(2分)

若在解释I下，该公式的前件为1，则

,

0

Dx

使得

),(yxyF

为1，它蕴含着

),(,

0

yxFDy









为1

),(yxxF





为1，由y的任意性，必有

),(yxxFy

为1，于是

),(),(yxxFyyxyFx

为1.

总之，对任意解释I，

),(),(yxxFyyxyFx

为1.该公式为永真式.(8分)

四、计算题(每小题8分，共24分)

14.

))()((QPPQP

分）（

分）（

分）（

分

8)()(

)(

6)00(

4)())(

)2())()((

QPQP

QQP

P

QPPQPQP

QPPQP











15.(1)

},,,{},,,{}{~)(fecafecaaCBA

；(4分)

(2)

)()()(AAAAAA

.

}},{},{},{,{)(dadaAP

.

故

)()(APAA

＝

}},{},{},{,{dada

(8分)

16.A2(D)=

























2120

0202

2120

1212

(4分)

从矩阵A2(D)中a

24

=2,a

33

=2可知，

从v

2

到v

4

长度为2的通路有2条.它们是：v

2

v

3

v

4

,和v

2

v

1

v

4

,(6分)

从v

3

到v

3

长度为2的通路有2条.它们是：v

3

v

4

v

3

,和v

3

v

2

v

3

,(8分)

17.易知，二元运算满足交换律.

∵对aZ,a*2=a+2－2＝a＝2*a，即2Z是单位元.(3分)

aZ,a的逆元记作a－1,有

22*11aaaa(单位元)

a－1=4－a(8分)

五、证明题(第18题10分，第19题9分)

18.已知R是对称关系和传递关系，只需证明R是自反关系.(3分)

aA,bA，使得(a,b)R，因为R是对称的，故(b,a)R;(6分)









第12题答案图



4

又R是传递的，(a,b)R，(b,a)R(a,a)R,由元素a的任意性，知R是自反的.(9分)

所以，R是等价关系.(10分)

19.

))()(())()((cbbacaba

＝

))()(()(cbcaba

(分配律)(3分)

＝

))(()(cbaba

(幂等律)(6分)

＝ba(吸收律)(9分)