初三数学难题
房产销售提成-字母表示数
2023年2月21日发(作者：手机排线坏了)学习必备欢迎下载
解析数学中考史上十大难题
原题：25.已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向外作等边厶ABD、等边△BCE、等边△ACF
(1)如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；
S△ACF的和
题目简要分析：这道题目之所以才位例第10为完全是因为第一问太简单了。对于第二问在我们平时教学过程中很少遇见面积
等的问题，尤其是面对这种面积和等的问题，不仅缺少一些直接的定理去支持这些结论，且缺少一些必要的手段和方法去证明，
平时练习也相对少一些，故本题第二问得分率很低。关于第二问本文提供3种解法，仅供参考。
解法一：
解题思路：观察AF//BC，在△ABC中利用平行四边形构造一个三角形面积等于S△ACF，证明余下部分面积等于S△
BCE即可(很容易能观察出△DAMBAC◎△EMC，剩余部分DBEM是平行四边形，对角线平分面积)
(2)如图2，当△ABC中只有/ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于SABCE与
学习必备欢迎下载
解：(1)AB=CE,AC=BE,AF=BE，S△ABC=S△ABD等等
(2)过A作AM//FC交BC于M，连结DM、EM。
即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF
S△MAC=S△ACF
vZACB=60°，/CAF=60°,
•••/ACB=ZCAF
/•AF//MC
四边形AMCF是平行四边形.
又vFA=FC,
四边形AMCF是菱形.
/•AC=CM=AM，且ZMAC=60°，且
在
厶BAC
与厶
EMC中，
CA
=CM，
ZACB=
Z
MCE，
CB=CE,
/BAC=/CAM+/BAM且/DAB=/CAM=60
/•ZDAM=ZBAC，
在厶DAM与厶BAC中，
AD=AB,ZDAM=ZBAC,AM=AC
/•△DAMBAC
•/DM=BC
又vBC=BE
•/DM=BE
•/四边形DBEM是平行四边形
•/SABDM=S△BEM
由上所述△DAMEMC
•/SADAM=S△EMC
•/SABDM+S△DAM+S△MAC=
S△BEM+S△EMC+S△ACF
学习必备欢迎下载
所用知识点：图形的分割能力，平行四边形面积，旋转，全等
本题需要有类比的思想，面积和等于面积和，证明方法可类似于线段和等于线段和。可先证明部分相等,再证明剩余部分相
等。
解法二：
解题思路：观察AF//BC，AC//BE利用平行线间等积去转换S△ACF.和S△BCE转换后能够发现较明显的图形
旋转。
连结BF，DC，AE
vZDAC=/DAB+/BAC,
/BAF=ZCAF+ZBAC,且
/•ZDAC=ZBAF
在厶DAC与厶BAF中
AD=AB,ZDAC=ZBAF,AC=AF
△DACBAF
•/S△DAC=S△BAF
又vZACB=60°，ZCAF=60°，
/ZACB=ZCAF
•/AF//BC
•/S^BAF=S△ACF
•/S△DAC=S△ACF
同理可证：SADBC=S△CBE
vZDBC=ZDBA+ZABC,
ZEBA=ZCBE+ZABC,且ZDBA
/ZDBC=ZEBA
在厶DBC与厶ABE中
/DAB=/CAF=60
=/CBE=60
F
学习必备欢迎下载
BD=AB,ZDBC=ZEBA,BC=BE
/•△DBCABE
/•S^DBC=S△ABE
又ACB=60°，/CBE=60°,
/•ZACB=/CBE
/•AC//BE
•/S^ABE=S△CBE
•/S△DBC=S△CBE
•/SADAC+S△DBC=S△ACF+
S△CBE
即SAABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF
所用知识点：图形的分割能力，旋转，全等，平行线间三角形等积转换
请注意：平行线间三角形等积转换是分割图形很重要的思想
解法三：
解题思路：由结论可知分别是4个三角形面积和，设两边AC、BC长度，利用夹角是特殊角可算出第三边
AB长度，利用都是等边三角形，用边长强行表示出各三角形面积，余下就是代数整理过程。
解：过点A作AG丄BC交BC于点G,过点C作CH丄AF交于点H,设在△ABC中,BC=a，
AC=b，
学习必备欢迎下载
CH=Y
/.SiACJ4AF*CH=^ba,**
同理可证：SiBEF=^a
2"
&RTAAGC中和
/.AG=AC・SinZACB=v^CG=AC・CosZAC0=7^-'.BG=a^b,SiECA=fBC・AG
斗皿
斗出4
在RTAABG中,AB^=AG
2+BG3^*也诅2
/-SiDEA-7盒田呼（炉球鼻”
二耳D勲+氐肮肩（汨
又T血如春皿皆+by
*・SADBA+SABCA*SAACF+討BEEfP
所用知识点：三角函数计算，三角形面积计算（尤其是对等边三角形面积结论要很熟悉哦），建议各位同学
能记忆等边三角形面积计算公式S=a2（a为边长，在选择和填空题方面可直接应用，比较方面）
由本题我们可以联想到：
20XX年本题岀现后，旋转一个古老的专题又再一次在以后的考试中活跃起来，关于面积转换和分割在近
几年考试和练习中也越来越多。现针对于旋转和面积转换分割问题列举岀一些常规试题。
（一）旋转
1.20XX年石景山区数学二模第25题
如图①，四边形ABCD中，AB=CB，/ABC=60°，/ADC=120°，请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量
关系，并证明你的结论；
⑵如图②，四边形ABCD中，AB=BC，/ABC=60°，若点P为四边形ABCD内一点，且/APD=120°，请你猜
想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论。
学习必备欢迎下载
解题思路：第一问是一个典型的截长补短或者旋转的题目。连接AC就能构造等边三角形，就能旋转。第
二问，多条线段关系，一定先利用各种条件尽量转化为三条线段，再求解。发现第二问条件类似于第一问，关键条件120°位
置转变，可以利用第一问结论去构造图形，转换PA+PD为一条线段。
解：⑴如图①，延长CD至E，使DE=DA.连结AC，
vZADC=120°
/•ZADE=60°
EAD是等边三角形.
vZBAD=ZBAC+ZCAD
ZCAE=ZDAE+ZCAD
ZBAC=ZDAE=60°
/ZBAD=ZCAE
•/在△BAD和厶CAE中
BA=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE
/•△BADCAE.
•/BD=CE=DE+CD=AD+CD
⑵如图②，在四边形ABCD外侧作正三角形AB'D，连结
B'C，AC
学习必备欢迎下载
T四边形AB'DP符合⑴中条件，
/•B'P=AP+PD
VZBAD=/BAC+/CAD
/CAB'=/DAB'+/CAD
/BAC=/DAB'=60°
•••/BAD=/CAB'
在厶ADB和厶AB'C中
AB=AC,/BAD=/CAB',AD=AB'
△ADBAB'C
B'C=DB
(i)若满足题中条件的点P在B'C上,
贝UB'C=PB'+PC.
/•B'C=AP+PD+PC
/•BD=PA+PD+PC
(ii)若满足题中条件的点P不在B'C上,
•/B'CvPB+PC
/•B'CvAP+PD+PC
BDvPA+PD+PC
综上，BD 所用知识点：旋转，截长补短，构造前一问图形，三角形三边关系，全等。 请注意：在几何问题中第二问常常用到第一问的结论。要善于去构造第一问的图形或结论去帮助解决较难的第二问。 2.如图1，若△ABC和厶ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形。 (1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说 明理由； (2)当厶ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求 出当AB=2AD时，△ADE与厶ABC及厶AMN的面积之比；若不是，请说明理由。 学习必备欢迎下载 解题思路：本题是典型的旋转题目，条件中有较多等边三角形，伴随等边三角形的旋转，图中各点连线构成的三角形也在旋转， 通过全等后，注意利用全等结论“边等”和“角等”的转换，本题应该可以轻松破解。 学习必备欢迎下载 解；（1）CD=BE.理由如下：4 ■/AABC和kiADE为等边三第形v /*AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZEAD=6C?- TZBAE=ZBAG-ZEACZEAC*' ZDAC=ZDAE—ZEAC二砂一ZEAG心 ZBAE=ZDAGP /.AABE空AACDA 二CD=BEz （2）iAMN是等边三角形.理由如下：" */AABE务AACD,<- ・二ZABE=ZACD^' TkkN分别是BE、CD的中点，* 二BM=——丄CD—CN心 22 '/AB=AC,ZABE=ZACD, #/*AABM箜AACN.* /.AM=ANJZMAB=ZNAC.a ■ZNAM=ZNAC+ZCAM-ZMAB+ZCAM=ZBAC=6^ -AAMN是等边三角啟亠 设AD=a,则AB=2a.’ 'AD=AE=DE,AB=AG心 二CE二DE*a TAADE为等边三角册，和 二ZDEC=120SZADE=6CF,心 /.ZEDC=ZECD=3OC,4 /.厶Dm SRtAADC中，AD=a>ZACD=30*>»3二民.心 TN为DC中点，心 •「△ME△朋匸△砒M次等辺三角執卜 /.SAADE:SAABC:SAAMN 学习必备欢迎下载 解法二AAMN是等辺三第形.理由如下：屮 ：△能E空AACD，M.N分别是BE、CN的中点，化AM曲怙NC=MB Td '■'AB=AGAABM复AACNT/.ZMAB^ZNAC,心 /.ZNAM=ZNAC+ZCAM=ZMAB+ZCAM=ZBAC=60P+J ■-AAMN是等边三角舷P 设AD=a,AD=AE=DE=a»AB=BC=AC=2a*' 易证BE丄AG・"・BE二JJ4另$—債童：二J(2ti)2「匸* =, 4 /,=4EM2^-AE2=,l^a)2+a3 '.'AADE)AABCi△TWIN为等边二角形」 ■SAADE:SAABC:SAAMN =去总穴卩 所用知识点：旋转，勾股定理，相似比与面积比关系 请注意：全等后的结论一定要多利用，多与之前已有的条件相结合，尤其是角，这样方面我们去导角，从而进行下一次的转换 3.如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE. (1)求证：CE=CF; (2)在图1中，若G在AD上，且/GCE=45°,_则GE=BE+GD成立吗？为什么？ (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD中，AD//BC(BC>AD)，/B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且 /DCE=45°，BE=4，求DE的长. E" 学习必备欢迎下载 解题思路：(1)典型SAS全等 学习必备欢迎下载 (2)利用第一问结论，转化条件后，再用一次全等 (3)利用(1)(2)中结论，构造图1，利用线段长度放在RT△中计算 （1）证.；正方形ABCDr ZB=ZFDC-' BC=D3 DF=BE^ AEBMAFDC^ 二CE=CF*' （2）成立卩 证；*AEBC^AFDC*-J /-ZBCE=ZDCF*' ■/ZGCEMS0^ -'-ZBCE+ZGCD=45^ ・ZDCF+ZGCD=45V TEOFGCG二CG+ AECG^AFCG+J ・'-GE=DF+GOeJ 二GE=BE+GX （刃解；过匚作匚G丄肛交AD延长奸6在直角梯形AB8中. '/ADABGZA=ZB=9D°** 又ZCGA=90%AB=BG4二四边形AHCD为正方形.鼻 /，AG=BC=12.水 已MZDCE=45^根据⑴（2）可知，ED=BE+DG,鼻 设DE=X,则心 .AD—16-X.4 在RtAAED中心 TDE2=AD2+AE2»即X2=（16-X）2+82P 解得；x-W.亠 -■-DE-10,a 所用知识点：旋转，勾股定理 本题相对前两题较简单，但是前两题中所用到的，“多利用前面问题的结论，多构造前面问题图形”“全等后的结论的利用， 与已知条件相结合”在这道题目中都有所展现。 学习必备欢迎下载 (二)平行线间等积转化 如图ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米，求△CDF的面积。 学习必备欢迎下载 解题思路：明显△ADE与厶CDF不全等，故不考虑全等证明。图中有多组平行线，可以构造平行线间三角形等积转化 提示：S△ADE=S△AEC=S△AFC=S△DFC=4平方厘米 (解法二：分别以AE,DC为底强行构造出SAADE和SADFC的表达式，利用相似去计算表达式相等，同学们 可自行完成) (三)操作能力平分面积 (1)(08年西城一模)如图：梯形纸片ABCD，AD//BC，，设AD=a，BC=b 请你设计两种方法，只需用剪刀剪一次就将梯形纸片ABCD分割成面积相等的两部分，画出设计的图形并 简要说明理由。 解题思路：①直接构造梯形面积一半S=1/4(a+b)h，利用高h不变，构造底=1/2(a+b)的三角形； ②将梯形转化为面积相等的平行四边形，利用过平行四边形对称中心的直线平分平行四边形面积，从而平分梯形面积。 解：方法一：如图①，取BM=(a+b)/2，连接把梯形纸片ABCD分成面积相等的两部分.方法二(如图②)：1. 取DC的中点G,过G作EF//AB，交BC于点F，交AD的延长线于点E. 2.连接AF，BE，相交于点0. 3.过O任作直线MN，分别与AD，BC相交于点N、M，沿 MN剪一刀即把梯形纸片ABCD分成面积相等的两部分. 学习必备欢迎下载 (2)•已知四边形ABCD，在AD上求一点P,使BP平分四边形ABCD的面积(四边形ABCD是任意的) 解题思路：因为在AD上找一点，可以将四边形ABCD转化为面积以AD所在直线为底的面积相等的三角形，通过中线平分 三角形面积，从而平分四边形面积。 解：如图 1).连结BD，过C作CE//BD交AD的延长线于E 2).连结BE，则四边形ABCD的面积等于三角形ABE的面积 3).取AE的中点P，连结BP即可。(中线平分三角形的面积) 后语: 学习必备欢迎下载 1.关于旋转问题，永远是初三考试中常考问题，在这类问题中常有很明显的条件岀现，比如等腰三角形，等边三角形，正方 形等等，需要同学做题时常观察，要心细。这类题目的解法相对较单一，只要能观察岀旋转后续全等转换等应该不是难事。 2.纵观现今的中考真题或各区初三期末考试或者是一二模考试，对面积的问题考察的越来越频繁，考察的方向越来越多样化， 题目岀得越来越“活”，需要自己动手操作的题目越来越多。这类题目常常需要注意整体面积不变去构造边长或图形的旋转， 翻折等，还要善于构造平行线，利用等积去转换问题。 3.再难的题目不管是处于22、23、24或25题，请注意这些题目的第一问或者前两问往往都比较简单或者难度一般，但是这 些问题里面往往提示或者暗示了后续问题的一个思考方向。要学会善于利用他们去解决问题。