空间平面方程

空间平面方程

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1

空间平面方程的求法

摘要：空间平面是空间解析几何中最简单而又最基本的图形之一，所以确定它的方

程有着重要意义。研究各种求解方程的方法，不难发现，用代数的方法能够定量地建立

平面的各种形式的方程。

关键词：空间平面平面方程方程的求解

空间解析几何主要是研究三维空间中的平面，学习空间平面首先要明确他们的方程，我们在求解的过

程中，了解方程的特点熟悉常用的确定平面的方法。在这些方法中我们重点运用代数的方法定量的研究空

间最简单而又最基本的图形，即空间平面。在学习这种方法时，有时矢量代数的知识掌握运用得不好，再

加上缺乏空间想象力，搞不清所求平面与已知条件，容易为求解方程带来困难。为解决这个困难我们要深

入的探讨空间平面的求解方法。

如何根据已知条件写出平面方程呢？对这类问题的求解是否有规律可循？虽然在求这类问题时题目中

会给出很多不同的已知条件，只要我们采用相应的解题方法，就会求出不同的关于平面方程的正确形式。

求解方程没有什么普遍的万能的方法，所以必须全面掌握这部分的知识，再通过大量的练习来逐步的巩固。

在此，我通过一些实例探讨求这类方程的方法。

1、用参数方程

题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方

程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程。

①矢量式参数方程

→

r=

→

r

0

+t

1

→

r

1

+t

2

→

r

2

其中

→

r

1

={X

1

,Y

1

,Z

1

},

→

r

2

={X

2

,Y

2

,Z

2

}

②坐标式参数方程

















22110

22110

22110

ZtZtzz

YtYtyy

XtXtxx

例1、写出下面的参数方程：通过点)1,3,2(A并平行于)1,0,3(),3,1,2(

21

vv



解：所求的参数方程为











vuz

uy

vux







31

3

322

例2、证明矢量},,{ZYXv



平行于平面0DCzByAx的充要条件为：

0CZBYAX

证明：不妨设0DCzByAx中的0A，把这平面的方程化为参数式：

,,,vzuyv

A

C

u

A

B

A

D

x所以平面的两方位矢量是}0,1

,

{

A

B

与}1,0

,

{

A

C

,从而知

},,{ZYXv



与已知平面共面的充要条件为v



与}0,1

,

{

A

B

，}1,0

,

{

A

C

共面，或

2

0

10

01





A

C

A

B

ZYX

,即0CZBYAX.

如果在直角坐标系下，那么由于平面的法矢量为},,{CBAn



,所以v



平行于平面的充要条件为

0vn



，即0CZBYAX.

2、用点位式方程

题目会给出平面的两个方位矢量的坐标以及平面上的一个已知点。

222

111

000

ZYX

ZYX

zzyyxx

=0

3、用三点式方程

题目的条件是平面上的三个已知点。

131313

121212

111

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx







=0

例3、已知三角形顶点为),2,2,2(),1,1,2(),0,7,0(CBA求平行于三角形ABC所在的平面且

与它相距为2个单位的平面方程.

解：由已知，得0

292

162

7



zyx

，

所以三角形ABC所在的平面方程为014623zyx.

设与这个平面相距2个单位的平面方程为0DCzByAx

由于

，7

1

所以.28,0

21

DD

因此所求的平面方程为，0623zyx028623zyx

4、用一般式方程

0DCzByAx（CBA,,不全为零，D=-（Ax0+By0+Cz0））

注:在笛卡尔坐标系下，每个平面是含有zyx,,的三元一次方程。反之，该三元一次方程表示一个平

面，且系数CBA,,组成平面的法向量，即

→

n={CBA,,}

①平面过原点的充要条件是0D

②平面过z轴的充要条件是0,0DC

3

平面过x轴的充要条件是0,0DA

平面过y轴的充要条件是0,0DB

③平面平行于z轴的充要条件是0,0DC.

平面平行于x轴的充要条件是0,0DA.

平面平行于y轴的充要条件是0,0DB

例4、求通过点（2，-1，1）与点（3，-2，1）且平行于z轴的平面的方程。

解：设所求平面方程为0DByAx,

由已知条件得











023

02

DBA

DBA

由此)1(:1:1::DBA,所以所求的平面方程为

01yx.

例5、求通过点（1，1，1）与点（1，0，2）且垂直于平面062zyx的

平面的方程。

解：设所求平面方程为0DCzByAx,

写出这个平面过已知两点且垂直于已知平面的条件

0DCBA

02DCA

02CBA

解之得，DCBA,于是所求平面方程为

01zyx

5、用截距式方程

如果在一般式中,,,,DCBA都不为零，则可改写成1

c

z

b

y

a

x

（

C

D

c

B

D

b

A

D

a,,）由此可知该平面是过三点).,0,0(),0,,0(),0,0,cba（

平面在x轴，y轴，及z轴上的截距为.,,cba

例6、设平面在空间直角坐标系的第一挂限的部分与三个坐标平面所构成四面体的体积为1，并且在三

个坐标轴上的截距之比是1:2:3::cba,截距之和为6，求该平面的方程。

解：设所求平面方程为1

c

z

b

y

a

x

，

4

依题意，cba,,应满足





















1:2:3::

6

1)

6

1

cba

cba

abc（

,,2,3tctbta令代入上式，解得t=1，故所求平面的方程为

1

123



zyx

例7、求三个平面与坐标平面重合，而与原点相对的顶点在平面01823zyx上的立方体的

棱长.

解：所给的平面可化为截距式方程为0

9186







zyx

，所以截距分别为9,18,6，

因此，立方体在这个平面上的顶点可设为),0(),,,(aaaa得3a.

所以原点与点），，（333连线所形成的立方体的体对角线长度为27，

因此所求的立方体的棱长为3.

例8、求通过点)2,3,4(A且在各坐标轴上截取等长线段的平面的方程.

分析：所给的条件是在各坐标轴上截取的线段的长度相等，所以求解过程中应该注意截距有正负多种

情况.

解：当平面在zy,,x轴上的截距都为正时

可设平面方程为,1

23

a

4



aa

得9a

所以平面方程为

09zyx

当平面在yx,轴上的截距为正，在z轴上的截距为负时，

可设平面方程为,1

23

a

4



aa

得5a

所以平面方程为

05zyx

当平面在z,x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负时，

可设平面方程为,1

23

a

4



aa

得3a

所以平面方程为

03zyx

当平面在zy,轴上的截距为正，在x轴上的截距为负时，

5

可设平面方程为,1

23

a

4



aa

得1a

所以平面方程为

01zyx

6、用法式方程

①坐标式法式方程

0coscoscospzyx，（p为原点到该平面的距离）

例9、把平面的方程014623zyx化为法式方程，求自原点指向平面的单位法矢

量及其方向余弦。

解：因为14,6,2,3DCBA>0.A2

所以取法式化因子

7

11

222







CBA

,

将已知的一般方程乘上=

7

1

，即得法式方程：

02

7

6

7

2

7

3

zyx.

原点指向平面的单位法矢量为

→

n0={

7

6

7

2

7

3

，，},

它的方向余弦为

7

6

cos,

7

2

cos,

7

3

cos.

②点法式方程

0)()()(

000

zzCyyBxxA

注i：在该方程中若没有常数项则平面经过原点。如果缺少一个有坐标的项，则

平面与相应坐标轴平行；如果同时缺少常数项和一个有坐标的项，则平面

经过相应坐标轴。如果缺少两个有坐标的项，则平面与所缺项对应的两个

轴的坐标平面平行。若果缺少两个坐标项及常数项，则平面与其中一个坐

标平面重合。最后如果所有的坐标项都没有，而常数项异于0，则方程没

有意义。根据以上的六项注意，可以根据题目中给出的平面的特点设方程，

使问题简化或者去验证所求出的方程是否符合条件。

注ii：在空间直角坐标系中利用点法式是确定平面方程的基本方法。所以如果确定了平

面上的一点及其法矢量，就能人能够确定平面方程，因此问题的关键在于找出平面上的一点以及平面的法

矢量。在下列例题中就是根据不同的已知条件求平面方程。

已知条件一：过一直线与一平面垂直，确定方程。

（过两点与一平面垂直，确定方程。对于这种情形只要将一直两点连接起来得一直线问题就转化为上述情

形。）

例10、求经过直线

3

1

2

2

1

1







zyx

，且垂直于平面032zyx。

6

分析：因为平面经过直线，则一定经过直线上的点（1，2，-1）。而且平面的法矢量与直线的方向矢量

垂直，又因为所求平面垂直于已知平面，所以两平面的法矢量也垂直，于是所求平面的法矢量n



可以由已

知平面的法矢量

1

n



与已知直线的方向适量v



的叉积来确定。

解：取n



=}3,7,5{

1

vn



，所求平面方程为

0)132(7)1(5zyx（）

已知条件二：过一点且垂直于二平面，确定方程。

（过一点且与而直线平行，确定方程。对于这种情形所求平面的法矢量垂直于已知二直线的方向矢量，求

解过程类比上述情形。）

例11、做平面通过原点，且垂直于两平面07zyx和051223zyx。

分析：所求平面垂直于已知的二平面，则所求平面的法矢量一定垂直于已知二平面的法矢量，所以所

求平面的法矢量n



等于已知二平面的法矢量的叉积。

解：n



=}5,15,10{

21

nn



由点法式，所求方程：

032zyx

已知条件三：过一直线与另一轴或者直线平行，确定方程。

（过两点与一轴或者直线平行，确定方程，同样的将该情形中已知两点连接成一条直线就变成上述情形。）

例12、求通过直线

2

3

1

2

2

1

:

1











z

y

x

L，且平行于直线

31

2

2

1

:

2

z

y

x

L









的平面方

程。

分析：所求平面通过直线

1

L所以所求平面的法矢量n



一定垂直于直线

1

L的方向矢量

1

v



，而且过

1

L

上的点（1，-2，3），平面的法矢量也垂直于

2

L的方向矢量

2

v



，所以所求平面的法矢量

21

vvn





解：n



={-5，-10，0}

由点法式得：

032yx

已知条件四：过一点和轴或者直线，确定方程。

（过二平行直线，确定方程，该情形很容易转化为上述情形。）

（过二相交直线，确定方程，该情形中可以取已知两直线上的的任一点为所求点，取这两条直线的方向适

量的叉积为平面的法矢量。）

例13、求通过点（1，3，-1）和直线

2

0

1

1

0

3









zyx

分析：所求的平面通过已知直线，所以一定通过直线上的点)0,1,3(

0

M,

而且通过已知点),1,3,1(

1

M，所以所求平面的法矢量n



与

10

MM



垂直，n



与

直线的方向向量v



垂直。

7

解：n



=}2,4,7{

10

vMM





由点法式得

017247zyx

已知条件五：过三点，确定方程。

例14、求过三点)1,0,2(),1,1,1(),2,1,0(

321

MMM的平面方程。

分析：所求平面过已知三点，则所求平面的法矢量n



一定垂直于

21

MM



和

31

MM



，所以所求平

面的法矢量n



=

21

MM



31

MM



.

解：}111{，，n



由点法式，所求平面方程为：

03zyx

小结：以上几种情形都利用了点法式方程，所求平面在空间中的位置纵使与已知平面

垂直或者与已知直线平行，所以该平面的法矢量总是就可以由已知二平面的法矢量、或者一

平面的法矢量与一直线的方向矢量、或者二直线的方向矢量作矢量的叉积求得。

参考文献：

[1]蒋大为：《空间解析几何及其应用》，北京科学出版社，2004年8月第一版。

[2]杨文茂李全英：《空间解析几何习题集》，武汉大学出版社，2003年10月第一版。