时不变系统
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2023年2月21日发(作者：大学心理剧)第２９卷第１期
２００７年２月
电气电子教学学报
Ｊ０ＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＥＥＥ
ＶｏＬ ２９ Ｎｏ．１
Ｆｅｂ．２００７
判断系统的时不变性
高 政，周宗潭
（国防科技大学机电工程与自动化学院 自动控制系，湖南长沙４１００７３）
摘要：在“信号与系统”课程中，时不变性是系统的重要性质。根据笔者的教学体会，将系统的输入输出解析关系抽象为三类函数，并且分析
了这些系统的时不变性，从而使学生能够快速有效地判别系统的时不变性。
关键词：教学研究；教学方法；时不变性；信号与系统
中图分类号：ＴＮ９１１，７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８－－０６８６Ｉ２００７）Ｏ１—００３Ｏ—Ｏ２
Ｔｈｅ Ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｏｆ Ｔｉｍｅ－Ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍｓ
ＧＡＯ Ｚｈｅｎｇ，ＺＨＯＵ Ｚｏｎｇ－ｔａｎ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ ａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，
Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｄｅｆｅｎｓｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００７３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ａ ｃｒｕｃｉａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｕｒｓｅ ｏｆ Ｓｉｇｎａｌｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ
ｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ’Ｓ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ ｏｆ ｌｅｃｔｕｒｉｎｇ，ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｏｕｔｐｕｔ ａｎｄ ｉｎｐｕｔ
ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ａｂｓｔｒａｃｔｅｄ ａｓ ｔｈｒｅｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｏｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ｈａｖｅ
ｂｅｅｎ ａｎａｌｙｚｅｄ ｂａｓｅｄ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｃａｎ ｊ ｕｄｇｅ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ
ｓｙｓｔｅｍｓ ｅａｓｉｌｙ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｅａｃｈｉｎｇ ｓｔｕｄｙ；ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ；ｔｉｍｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ；Ｓｉｇｎａｌｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ
０引言
一个系统，如果它的输入信号产生一个时间移
位，其输出信号也相应产生一个相同的时间移位，则
称该系统为时不变系统（Ｔｉｍｅ－Ｉｎｖａｒｉａｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ），
否则称该系统为时变系统（Ｔｉｍｅ－Ｖａｒｙｉｎｇ Ｓｙｓ—
ｔｅｒｎｓ）。上述定义可以形式地表示为：如果
ｘ（ｔ）－－＊ｙ（ｔ），则Ｖｔ０：ｘ（ｔ—ｔ０）一 （￡一ｔ０）。在本科
生的“信号与系统”课程中，所分析的系统大都是线
性时不变（Ｉ Ｉ）系统。因此系统时不变性的判断是
非常重要的。根据笔者的教学体会，对于大多数学
生来说，理解和判断系统的时不变性是一个难点。
１时不变性的直观理解
时不变系统的输入移位会导致输出相同的移
位。在理想情况下，大多数模拟电子系统，都是时不
变系统。但硬件中电子元件会老化，因此所有的模
拟电子系统又都是时变的。热敏效应也是时变系统
产生的重要原因之一，随着温度升高，导体内的电子
热运动加剧，电阻变大。所以从严格的意义上讲，实
际电子系统的时变是绝对的，时不变是相对的。时
不变系统只是一种理想的情况，是对许多实际系统
的合理简化。
收稿日期：２０Ｏ６—０８一Ｏ２；修回日期：２０Ｏ６—１２－－２７ 基金资助：国防科技大学“线性系统”精品课程建设项目
作者简介：高政（１９６２－－），男，湖南长沙人，硕士，副教授，主要从事电路理论．信号处理．模式识别等方面的教学与科研工作；
周宗潭（１９６９一），男，河南洛阳人，博士，副教授。主要研究领域为脑科学、认知科学与智能信息处理，目前的主要研究方向为脑计
算机接口技术、计算机视觉等。
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第１期 高政等：判断系统的时不变性 ３１
２从输入输出关系判断系统时不变性
依据输人输出解析关系来判断系统的时不变性
是一个难点。笔者认为，可以将系统的输人输出解
析关系抽象为三类函数，并且分析这些系统的时不
变性，从而使学生能够快速有效地判别系统的时不
变性。下面我们逐一讨论这三类函数。讨论中我们
约定，信号的值为复数， （￡）一般为系统的输人信
号， （￡）一般为系统的输出信号。讨论以连续时间
与系统为例，但对于离散时间与系统也是适用的。
（１） （￡）一Ｆｉｘ（￡）］的形式，其中Ｆ∈ ，即Ｆ
为一个从复数域映射到复数域的函数。
这类函数的例子有： （￡）一ｓｉｎ［ｘ（ｔ）－］， ［ ］一
ｃｏｓ｛２ｘ［ｎ］｝， （￡）一 等。这类函数特点是 （￡）
为 （￡）的函数值的函数。我们可以这样考虑，在输
人信号 （￡）和ｚ（￡）的激励下，系统的输出分别为Ｆ
Ｉｘ（ｔ）－］和Ｆ［ｚ（￡）］，即 （￡）一Ｆ （￡）］和ｚ（￡）－￣Ｆ［ｚ
（￡）］。如果令信号ｚ（￡）一 （￡一 ），并将其代人Ｆ［ｚ
（￡）］得Ｆ［ｚ（￡）］一Ｆ［ （￡一 ）］。这说明系统在输人
信号 （￡一 ）的激励下的输出为Ｆ［ （￡一 ）］，也就
是说，当输人信号产生一个时间移位ｔ。，成为 （￡一
ｔ。）时，输出信号变成了Ｆ （￡一ｔ。）］。而通过输人
输出解析式，得Ｆ［ （￡一ｔ。）］一 （￡一ｔ。），即 （￡一
ｔｏ）一 （￡一ｔ。）。这就说明，输人信号产生一个时间
移位，导致输出信号也产生了一个相同的时间移位。
因此，这是一个时不变系统。
（２） （￡）一Ｆ｛ ｇ（￡）］｝的形式，其中有ＦＥ ：，
ｇＥＲ ，且ｇ不为恒等函数，Ｒ为实数域。
这类函数的例子包括：３Ｉ（￡）一 （２ｔ），３Ｉ（￡）一ＣＯＳ
（￡／２）］， （￡）－－ｘ（ｔ。），ｙｅｎ］一 一 ］等。这类函
数的特点就是对 （￡）的白变量ｔ进行了一个变换。
可以这样考虑，在输人信号ｘ（￡）和ｚ（￡）的激励下，
系统的输出分别为Ｆ｛ ｇ（￡）］）和Ｆ｛ｚ［ｇ（￡）］），即
（￡）一Ｆ｛ ｇ（￡）］）和ｚ（￡）一Ｆ｛ｚＣｇ（ｔ）］）。如果令信
号ｚ（￡）一 （ 一ｔｏ），对变量ｔ做变量替换ｔ—ｇ（ ），则
可得到ｚＣｇ（ｔ）］＝ｘＣｇ（ｔ）一ｔｏ］，Ｆ｛ｚＣｇ（ｔ）］｝一Ｖ｛ｘ
［ｇ（￡）一ｔｏ］）。这说明系统在输人信号ｘ（ｔ—ｔ。）的
激励下的输出为Ｆ｛ｘ［－ｇ（ｔ）一ｔｏ］）。也就是说，当输
人信号产生一个时间移位，成为 （￡一 ）时，输出信
号变成了Ｆ｛ｘ［－ｇ（ｔ）－－ｔ。］）。通过输人输出解析式，
得Ｆ｛ ［ｇ（￡）－－ｔ０］｝ （￡一ｔ０）一Ｆ｛ ［ｇ（￡～ｔ０）］｝。
这就说明，输人信号产生一个时间移位时，系统的输
出信号不等于原输出信号产生一个相同的时间移
位。因此，这是一个时变系统。
（３） （￡）一Ｆ｛ （￡），ｔ）的形式，而Ｆ∈｛Ｃ，Ｒ） ，
（￡）是 （￡）和ｔ的函数。
这类函数的例子有： ［ ］一 ［ ］， （ｔ）一
（ｓｉｎ￣ｔ）ｘ（ｔ）， （￡）一 （ｔ）ｘ（￡）等，它们是乘法器、热
敏元件等。这类函数的特点就是 （￡）不但是 （￡）
值的函数，还是时间ｔ的函数。可以这样考虑，在输
人信号 （￡）和ｚ（￡）的激励下，系统的输出分别为Ｆ
｛ （￡），ｔ｝和Ｆ｛ｚ（￡），ｔ｝，即得到ｘ（￡）一Ｆ｛ （￡），ｔ｝和
ｚ（ｚ）一Ｆ｛ｚ（￡），ｔ｝。如果，令ｚ（￡）一 （￡一 ），并代人
Ｆ｛ｚ（￡），ｔ），则有，Ｆ｛ｚ（￡），ｔ）一Ｆ｛ （￡一 ），ｔ｝。这说
明系统在输人信号 （￡一 ）的激励下的输出为Ｖ｛ｘ
（￡一 ），ｔ），即当输人信号产生一个时间移位，成为
（￡一 ）时，输出信号变成Ｆ｛ （ｔ—ｔ。），ｔ｝。而通过
输入输出解析式，得到 （ｔ—ｔ。）一Ｆ｛ （ｔ—ｔ。），ｔ—
ｔｏ） Ｆ｛ （￡一岛），ｔ｝。这就说明，输人信号产生一个
时间移位时，系统的输出信号不等于原输出信号产
生一个相同的时间移位。因此，这是一个时变系统。
３ 结语
根据笔者的教学体会，大多数系统的输入输出
解析式都可以抽象为本文所述的三类函数，或者这
三类函数的组合。因此，这三类函数所表达的系统
时不变性的分析，为判断系统的时不变性提供了有
效的辅助手段。本文提出的三类函数，对授课教师
来说具有一定的参考价值。
参考文献：
［１］高政．信号处理与系统分析［Ｍ］．北京：中国水利水电出版
社，２００５
［２］郑君里，应启珩，杨为理．信号与系统（第二版）［Ｍ］．北京：高
等教育出版社，２０００
［３］陈生潭，郭宝龙，李学武，冯字哲．信号与系统（第二版）［Ｍ］。
西安：西安电子科技大学出版社，２００１
［４］董绍平，陈世耕，王洋．数字信号处理（修订版）［Ｍ］．哈尔滨：
哈尔滨工业大学出版社，２００１
［５］郑方，徐明星．信号处理原理［Ｍ］．北京：清华大学出版社，
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［６］ Ａｌａｎ ｖ．Ｏｐｐｅｎｈｅｉｍ，Ａｌａｎ Ｓ Ｗｉｌｌｓｋｙ．Ｓｉｇｎａｌｓ＆Ｓｙｓｔｅｍｓ
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