中国石油大学青岛

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第２１卷第４期

２０１８年７月

高等数学研究

ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ

Ｖｏ１．２１。Ｎｏ．４

Ｊｕｌｙ，２０１８

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８－１３９９．２０１８．０４．０１４

正交变换在解析几何中的应用

赵春娥，闫统江，赵旭波

（中国石油大学（华东）理学院，山东青岛２６６５８０）

摘要本文首先利用矩阵与其特征值的关系分析平面内二次曲线的形状；进而利用正交变换的方法将圆柱面与

平面斜交产生椭圆的经验结论从数学本身的严谨性出发给出确切的公式说明，并给出椭圆的两个半轴长，焦点及

顶点坐标的具体表达式；最后针对椭圆柱面与平面斜交可以产生圆的问题进行剖析，从而找出能使平面与椭圆柱

面相交成圃的具体的倾斜方向．

关键词二阶非定常线性微分方程；一致稳定

中图分类号Ｏ１５２．２ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１８）０４—００４７—０４

Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｎ Ａｎａｌｙｔｉｃ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ

ＺＨＡＯ Ｃｈｕｎｅ，ＹＡＮ Ｔｏｎｇｊｉａｎｇ，ａｎｄ ＺＨＡＯ Ｘｕｂｏ

（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ，Ｑｉｎｇｄａｏ ２６６５８０，ＰＲＣ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ｓｈａｐｅ ｏｆ ａ ｑｕａｄｒｉｃ ｃｕｒｖｅ ｉｎ ｔｈｅ ｘｙ－ｐｌａｎｅ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｍａ—

ｔｒｉｘ ａｎｄ ｉｔｓ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ．Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｗｅ ｌｉｓｔ ｔｈｅ ｅｘａｃｔ ｆｏｒｍｕｌａ，ｔｗｏ ｓｅｍｉ－ａｘｅｓ，ｔｗｏ

ｆｏｃａｌ ｐｏｉｎｔｓ，ａｎｄ ｆｏｕｒ ｖｅｒｔｅｘｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｌｉｐｓｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｙｌｉｎｄｅｒ ａｎｄ ａｎ ｉｎｃｌｉｎｅｄ

ｐｌａｎｅ．Ａｌｓｏ，ｔｈｅ ｐｒｅｃｉｓｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｔｏ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｓｌａｎｔ ｐｌａｎｅ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｓ ａｎ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｃｙｌｉｎｄｅｒａｔ ａ

ｃｉｒｃｌｅ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｍａｔｒｉｘ，ｅｌｌｉｐｓｅ，ｃｉｒｃｌｅ

正交变换作为代数中的一种线性变换［１—２］，

不仅在数学学科的理论方面得到了众多的研究［３

—７］，而且在图像处理、计算机以及石油勘测技术

等实际应用方面也有着重要的应用Ｅ８—１０３．本文

主要研究了正交变换在判断曲线形状方面的应用．

在ｘｏｙ平面内，二次方程ａｘ。＋ｂｙ ＋ＣＸ＋ｄｙ斗

ｅ：０所对应的曲线形状可以利用坐标轴的简单平

移化为标准型的方法来判断，例如ｚ ＋２ｙ。一２ｘ＋

４ 一５—０可以化为（ｚ一１） ＋２（ ＋１） ＝＝＝８，坐标

平移化为标准型 ＋２ｙ 一８从而判断曲线为椭

圆．但是当二次项中含有交叉项ｘｙ的时候，再用简

收稿日期：２０１７一Ｏ７—１３ 修改日期：２０１７—０９—０５

基金项目：山东省自然科学基金（ＺＲ２０１６ＦＬ０１），青岛市科技计划项

目（１６—５—１—５一ｊｏｈ），中国石油大学（华东）自主创新科

研计划项目（１６ＣＸ０２０１３Ａ），中国石油大学（华东）青年教

师教学改革项目（ＱＮ２Ｏ１６２２）

作者简介：赵春娥（１９８１一），女，山东省临清市人，博士，讲师，从事

代数学、密码学研究．Ｅｍａｉｌ：ｚｈａｏｃｈｕｎｅ１９８１＠１６３．ｃｏｒｎ

单平移的方法就无法判断其形状．

由于正交变换不改变图形的形状．本文首先用

正交变换的方法来对形如

ａｘ。＋２ｂｘｙ＋ｃｙ。一ｄ （口， ＞０）

的方程表示的曲线形状做出正确的判断．其次，在

空间解析几何中，诸如圆柱面与平面斜交产生椭圆

之类的结论往往是经验之谈，缺乏数学的严谨性与

确切性．本文将利用正交变换的思想以平面为坐标

平面建立新的坐标系，然后在新的坐标系中，将曲

线表示为坐标平面与其投影柱面的交线，根据曲线

的方程特点来判断其形状．最后，椭圆柱面与平面

相交，直觉上应该是垂直相交产生椭圆，斜交可能

是椭圆，也可能是圆．那么平面到底沿哪些方向倾

斜可以相交产生圆呢？本文继续利用正交变换的

方法解决这一问题．

１平面几何中二次方程的曲线形状

定理１．１ 在ｘｏｙ平面中，方程ａｘ ＋２ｂｘｙ＋

４８ 高等数学研究 ２０１８年７月

ｃｙ 一ｄ（ａ，ｄ＞Ｏ）所对应的图形为：

（１）当且仅当ｎｃ一６ ＝＝＝０时表示两条平行直线；

（２）当且仅当ｎｃ一６ －＜０时表示双曲线；

（３）当且仅当口ｆ—ｂ。＞Ｏ且（ｎ—ｃ） ＋ｂ ≠０时

表示椭圆；

（４）当且仅当ｎｃ—ｂ ＞Ｏ且ａ—ｃ＞０，６—０时表

示圆．

证明 记ｆ（ｚ，Ｙ）一口ｚ ＋２ｂｘｙ＋ｃｙ。一

ｃｚ， （： ）（ ）．记矩阵（： ）为Ａ，则Ａ为实对

称矩阵，因此Ａ可以对角化，即Ａ相似于对角阵

、ｌ，即存在正交变换Ｔ：（ｚ， ）一（ ， ），使得 【 ＾

２ Ｊ

ｆ（ｘ， ）一 ｕ ＋ ，其中 ， 为Ａ的特征值，即

为Ａ的特征多项式ｌ腰＿Ａｌ—Ｉ 一

（口＋ｃ） ＋口ｆ一６。的根．并且

１＋ ２一ａ＋ｃ， １ ２一ｎｃ—ｂ ，

△一（口＋ｃ） 一４（ａｃ—ｂ ）＝（ｎ—ｃ） ４－４６ ，（１）

则原方程ａｘ。＋２６ｚ ＋ｆ 一 表示的曲线与ＵＯ＇Ｏ平

面内的曲线

１。‘ ＋ ２ 一ｄ （２）

形状相同．

（１）当口ｃ一６。一０时，根据式（１）有 １—０或 ：一

０，但 ， ｚ不同时为０，因为若 ， 同时为０，则有

。十 一０且９，１ ２—０，根据式（１）就得出ａ一０的结

论，这与题设口＞Ｏ相矛盾．假设 ≠０， 。＝０，则

一

１＋ ２一口＋ｃ，由于口ｃ—ｂ。一０则ａｃ—ｂ ≥０由于

ａ＞Ｏ，因此ｃ≥０，则 。一ｎ＋ｃ＞Ｏ，在式（２）中， ＞０，

ｚ一０，ｄ）Ｏ，因此表示两条平行直线 一± ；

（２）当ａｃ—ｂ。＜０时，根据式（１）有 ＜Ｏ，因

此式（２）表示双曲线；

（３）当ａｃ—ｂ ＞０且（口一ｆ） ＋４６。≠０时，根据

式（１）有 １ ２ ２＞０且口ｃ＞６２＞７０，因此ｎｃ＞Ｏ表明ｎ，ｃ

同号，由于ａＳ＞０因此ｃ＞Ｏ，则 ＋ ２＝＝＝ａ＋ｃ＞０，从

而有 １＞Ｏ， ｚ＞Ｏ，又由于（口一ｃ）。＋４６ ≠０，则表明

△≠０说明特征多项式有两个互不相同的特征根，

即 １≠ ｚ，因此式（２）表示椭圆；

（４）当ａｃ—ｂ。＞Ｏ且（口一ｃ） ＋４６ 一０时，根据

（３）的分析过程，发现此时 ：＝＝ ＞０，因此式（２）表

示圆．

由于（１）一（４）包括了所有的情况，因此也都是

充要条件．

２ 空间几何中柱面与平面的交线

２．１圆柱面与平面的交线

定理２．１在空间直角坐标系中，方程

ｚ ＋

．

＝：＝ （Ａ，Ｂ，Ｃ不全为０）（Ａ，，不全为） 【Ａ

ｘ＋Ｂｖ＋Ｃｚ一０

表示的曲线如下：

（１）当Ａ，Ｂ不全为０，Ｃ一０时，表示两条平行

直线；

（２）当Ａ，Ｂ不全为０，Ｃ≠０时，表示椭圆；

（３）当Ａ—Ｂ一０，Ｃ≠０时，表示圆．

证明记此矩阵为Ｇ，则Ｇ是正交矩阵，

（ｚ，ｙ， ）一（“， ，ｗ）Ｇ一 一（ｕ，７３，ｗ）Ｇ

＇ａｌｌ 吼 １．

一（Ｕ， ， ）ｌａ１ｚ 口２ｚ ａ３ｚ ｌ 【

口 。 口 。 ｎ。。ｊ

则ｘ＝ａ１１ ＋ｎｌ２ ＋口ｌ３ｗ，Ｙ＝＝＝ａ２ｌ“＋口２２ ＋ａ２３ ，原

方程变为

ｆ（口 ２＋口ｉ２） ＋２（ｎ１２ａｌ３＋ｎ２２ａ２３）饥ｕ＋（ａ：３＋口 ） ＝

｛ 一。

表示 一０平面内的曲线且方程为ｖｏｗ平面内的

（口｝２＋ａ ２２） ＋２（口１２ａ１３＋ｎ２２ａ２３）ｚｒｗ

＋（ｎ；３＋ｎ；３）ｗ 一Ｒ。， （３）

其中

口ｃ一６２一（ｎ；２＋ａ ｚ２）（ｎ ＋口 ）一（ｎ１２ａ１３＋口２２口２３）。

一（１一口；２）（１－－ａ ２３）一（口３２ａ３３）。

ｍ－

￣－．ａ３１ ２

，

（１）当Ａ，Ｂ不全为０，Ｃ＝０时，由于

； Ｊｋ ；乏；（Ａ，Ｂ，Ｃ）一（口１１，ａ２１，ａ３１）

＋Ｂ０＋Ｃ ～～一

则口。 一０从而口ｃ一６。一０根据定理１．１可以判断式

（３）表示两条平行直线．

（２）当Ａ，Ｂ不全为０，Ｃ≠０时，则 ≠０，从而

ａｃ—ｂ。一ａ。 。＞０，又由于Ａ，Ｂ不全为０，则根据

赢 Ａ，Ｂ，ｃ 一 ａ２１，％ 得知 ，

不全为０，因此ａ—ａ１１。＋ａ２１ ＞０，ｄ—Ｒ。＞０，且

（口－－ｃ）。＋４ｂ。≠０，否则，若（口一ｃ） ＋４ｂ 一０，则ａ—ｆ

且ｂ一０即

ｆａ１２ ＋口２２ ＝口１３。＋口２３。

【 口１２ａ１３＋口２２ａ２３—０

这等价于Ｊ。。 －－ａ～ｚ即ａ３２一 。。一０，ｎ。 一１，根

第２１卷第４期 赵春娥，闫统江，赵旭波：正交变换在解析几何中的应用 ４９

斋 ‘Ａ，Ｂ’ｃ 一 ＂ １）可以判断

此时Ａ：＝＝Ｂ—Ｏ，Ｃ≠０，与Ａ，Ｂ不全为０相矛盾，因

此（口一ｃ） ＋４６ ≠０根据定理１．１可以判断式（３）表

示椭圆．

（３）当Ａ＿－Ｂ—Ｏ，Ｃ≠０时，曲线方程为

。＋ ＝：＝Ｒ

，表示ｘｏｙ平面内的圆．

Ｉ ｚ一０

例１判断下面曲线 。 一ｎ 的形状

，并求

ｌ ３ｘ十４ｚ一０

出椭圆的两个半轴长度，焦点和顶点坐标．

解 由定理２．１（２）可判断出该曲线为一个椭

圆，作正交变换

（ ，Ｙ，础）一（ ，Ｙ， ）

３ ０

—

４

ｂ ｂ

Ｏ １ Ｏ

４ ，、 ３

ｕ

３ｘ＋４ｚ 一４ｘ＋３ｚ

一— 一， 一—

ｆ，Ｊ

＿

Ｕ

（ｚ，ｙ， ）一（ ，ｙ，硼）

３ ｎ ４

ｉ ｕ ｉ

０ １ Ｏ

４ ，、 ３

一ｉ ｕ

，则

则 ｚ一 ， 一 （４）

曲线方程变为

乩

表示ｗｏｙ平面内的椭圆，椭圆的两个半轴长度分

别是｝口和口，在硼一 一 坐标系中，顶点坐标

（土丢口，０，０）和（０，±ｎ，０），焦点坐标（±丢口，０，ｏ），由式

（４）得在Ｘ－－ｙ－－ｚ坐标系中顶点坐标为（千ｎ，０，±｛口

和（ｏ，±ｎ，０），焦点坐标为（千詈ｎ，０，± 口）．

２．２椭圆柱面与平面的交线

定理２．２在空间直角坐标系中，方程

‘『蒡＋ 一 ＞。

【Ａｚ＋Ｂ ＋Ｃｚ＝＝：０ （ＡＢＣ≠０）

表示的曲线如下

（１）当Ａ—Ｂ一０，Ｃ≠０时，表示ｘｏｙ平面内的

艋同，￣￡

ａ２

＋

－ ｂ２—１：

（２）当Ａ，Ｂ不全为０，Ｃ＝０时，表示两条平行直

线；

（３）当Ａ，Ｂ不全为０，Ｃ≠０时，

（ａ）若口＞６，则只有Ａ＝０且 一 时表

示圆，此时圆的半径Ｒ一口

（ｂ）若口＜６，则只有Ｂ—ｏ且 一＿ ａ２时表

示圆，此时圆的半径Ｒ＝ｂ

（ｃ）否则都为椭圆．

证明 （１）（２）是显然成立的．下面仅对（３）进

行说明．

ｆａ１１ ａ１２ ａ１３１ｌ ｌ

作正交变换（ｚ‘，口，叫）一（ｚ，ｙ，ｚ）Ｉ Ｉ 【

口。 口。。 口。。Ｊ

．．

［ｔ Ｕ￣ａｌｌｘ＋ ＋ａ３１ｚ＝ Ａｘ Ｗ Ｂｙ ＷＣ ｚ

，

１

贝Ⅱ（ｚ，ｙ， ）：＝＝（ ， ，叫）Ｉｎ１２ ｎ２２ ｎ３２ ｌ， 【

ｎ。。 口 。 口。。Ｊ

则曲线方程为

（口１２ ＋ａ１

口２

一一

＝＝＝０

＝＝１

＋簪 ＋ｃ等＋ ＋

（

ａ

＋ ）～一１ （５）

‘ ６

由定理１．１，当且仅当（等＋ ａ ２）一‘ ２＋簪）且 “ 【， “ ‘，

＋生 一０时，式（５）表示圆．此时说明两个

ａ。 Ｄ

向量（ ， ａ２２），（警， ａ２３）正交且模长相等，记此模

为Ｒ，则矩阵

ａ１２ 口１３

口Ｒ 口Ｒ

ａ２２ ａ ２３

ｂＲ ６Ｒ

列向量正交且为单位向量，

Ｒ ｂＲ＋

ａＲ

堕

ｂＲ一０． （６）

乜 ’ ‘ …

又由于『

［， ａ ３

：

１ ａ ３２

兰

ａ ３ ３

１又由于Ｉ口 口。 口 。ｌ是正交矩阵，则

Ｊ

，●●●●● ●●ｌ

５０ 高等数学研究 ２０１８年７月

（口 口１２，ｎｌ３）与（口２ｌ，口２２，口２３）正交，因此

ｎ１１ａ２１＋口１２口２２＋口１３口２３＝０． （７）

比较式（６）（７）两式可得口１１口２１—０．

若ａ 一０，即Ｂ一０曲线方程变为

』 ａ２一－－ ｂ２一－． 【

Ａ ＋ｃｚ：：＝０

作正交变换

Ｔ Ｔ

曲线方程变为

』 Ｃ＋ ｂ２一． ㈣ 口。（Ａ。＋。）。 ｆＲ

ｌ 一。

根据定理１．１，式（８）表示ｙｏｖ平面内的圆，即

Ｃ １ 乜０ Ｃ

而一 铺

此时对应于ａ＜ｂ成立；

若 一。，即Ａ：＝：。曲线方程变为

署＋ 一１

【Ｂ ３，＋ｃ 一０

作正交变换

（ｚ，“， ）一（ｚ，Ｙ， ）

１ Ｏ

。 丽Ｂ

。 丽Ｃ

雪

圆，此时圆的半径Ｒ—ｎ；

当口＜６时，只有Ｂ一。且 一 时表示

圆，此时圆的半径Ｒ一６．

＾，

２

例２确定忌的取值，使得椭圆柱面ｚ ＋ 一１

与平面Ｘ—ｋｚ交线是一个圆，并求此圆的圆心和

半径．

解 由定理２．２知此时口一１，６一√２ ｂ＞ａ，对应

平面Ａｚ＋Ｂ ＋ｃ —ｏ中的Ｂ＝０且 一

时，交线为圆，即 一丢志一±１时交线为圆，此

时圆的半径Ｒ一√２．

３ 结 论

本文重点研究了正交变换在判断曲线形状方

面的应用．实现了将经验结论理论化、数量问题具

体化、模糊问题清晰化的目的，也完善了数学本身

应该具有的严谨性、确切性等特点．本方法还可以

用以判断其它曲线形状的研究，实现将复杂问题简

单化、抽象问题形象化的目标．

参考文献

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育出版社，２００８：３３０—３４０

Ｅ２］陈志杰．高等代数与解析几何（下）［Ｍ］．北京：高等教

育出版社，２００８：７—５７

表示ＸＯ７．）平面内的圆当且仅当

＝＝： Ｃ甘 ＝—Ｂ２ Ｃ２，

口 ６ （Ｂ。＋ ） ｎ２一 ＋ ’ Ｌ Ｊ

此时对应于ｂ＜ａ时成立；

因此，椭圆柱面与平面斜交时

ａ２ －－ ｂ２一

【Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＝０

当ｎ＞６时，只有Ａ一。且 一＿ ｂ２时表示

［８］

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孝 帝

亭赤

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