第一型曲面积分

第一型曲面积分

油墨印刷-贡天下

2023年2月21日发(作者：设备管理台账)

第十章第十章曲线积分和曲面积分

一、一、基本内容

（一）第一型曲线积分与曲面积分

1.第一型曲线积分

（1）第一型曲线积分的定义

若

L

是封闭的，则记作

L

dszyxf),,(

．

(2)第一型曲线积分的计算

2.第一型曲面积分

（1）第一型曲面积分的定义

（2）第一型曲面积分的计算

（二）第二型曲线积分

1第二型曲线积分的定义

设

)},,(),,,(),,,({),,(zyxRzyxQzyxPzyxF

，

当

L

dsPcos

，

L

dsQcos

，

L

dsRcos

都存在时，

其中

}cos,cos,{cos

是

L

的单位切向量，

称



LLLL

RdzQdyPdxRdzQdyPdx

为一般形式的第二型曲线积分.

2.第二型曲线积分的计算

3.格林公式及其一些命题

（1）格林公式

（2）若

),(yxP

、

),(yxQ

、

y

P





、

x

Q





在单连通域

D

上均连续，则下列四个命题等价：

1)



AB

QdyPdx

只依赖于区域

D

内的起点

A

与终点

B

，而与连结

A

、

B

的积分路径无关；

2)在区域

D

上，

QdyPdx

是某一个函数

),(yxF

的全微分，且

点

),(ba

是

D

内的某一定点，点

),(yx

是

D

内的动点；

3)

y

P

x

Q











在区域

D

上的每一点处都成立；

4)

0L

QdyPdx

，其中

L

是

D

内的任意一条逐段光滑的闭曲线．

（三）第二型曲面积分

1.第二型曲面积分的定义

称





RdxdyQdzdxPdydz

为一般形式的第二型曲面积分，当



是闭曲面时，积分号将写成



．

2.第二型曲面积分的计算



D

dxdyyxfyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(

,

同理计算





dydzzyxP),,(

,





dzdxzyxQ),,(

．

3.奥-高公式与斯托克斯公式

（1）





















dxdydz

z

R

y

Q

x

P

RdxdyQdzdxPdydz)(

（2）







































dxdy

y

P

x

Q

dzdx

x

R

z

P

dydz

z

Q

y

R

)()()(

4..向量场的散度与旋度

称

z

R

y

Q

x

P

RdxdyQdzdxPdydz

V

divF

N





















1

lim

为散度,

称

},,{

y

P

x

Q

x

R

z

P

z

Q

y

R

rotF

































为旋度．

二、练习题

10.1计算下列第一型曲线积分：

（1）计算



L

dsyx)(

,其中

L

为连接

)0,0(O

，

)1,0(A

，

)1,1(B

的直线段所围成的围线．

解：如图10-1，

dydsyyxOA;;0:

；

dxdsxyxxOB2;;:

；

dxdsyxxAB;1;:

．

22)1(2)(1

0

1

0

1

0

dxxdxxxydy

．

（2）

L

dsy

，其中

L

为摆线

)sin(ttax

，

)cos1(tay

的第一拱．

解：摆线的第一拱，则

]2,0[t

．



2

3

2

0

)2()cos1(2adttaa

．

（3）

L

xyds

，其中

L

是

)0(aayx

．

解：

xyyxf),(

是关于

x

的奇函数,而

L

是关于

y

轴对称.

由第一型曲线积分的对称性知：

0L

xyds

．

（4）



L

dsyx22

，其中

L

为圆周

axyx22．

解：如图10-2，

L

方程为：

ttaytaxsincos,cos2

，其中

]

2

,

2

[



t

．

原式





2

2

2222)2cos()sincos2(cos





dttattata

2

2

2

22cosatdta







．

（5）

L

dsx2

，其中

L

为圆周











zy

azyx2222

．

解：

L

的参数方程为：

]2,0[,sin

2

2

,sin

2

2

,costtaztaytax

．

adtdtzyxds

ttt













222

．

3

2

0

222cosaadttadsx

L





．

（6）计算球面

2222azyx

在第一象限上的边界曲线的形

z

OB

a

x

A

C

y

a

a

图10-3

(x,y)

a/2ax

y

O

t

图10-2

O1

1

AB

x

y

图10-1

心．

解：不妨假设

1

，如图10-3，

adsdsM

ABACBCAB



2

3

3．





ACBCAB

x

xdsM

．

其中

]

2

,0[,,0,sin,cos:



tadtdsztaytaxAB

；

]

2

,0[,,sin,cos,0:



tadtdstaztayxBC

；

]

2

,0[,,cos,0,sin:



tadtdstazytaxAC

．

2

2

0

2

0

2sin0cosaadttaadttaM

x



．

故

3

4a

M

M

xx

．

又由于图形的对称性知

3

4a

zyx

．

（7）设

L

的方程为

)0()(2222ayxxayx

，其线密度

)(

1

22

2

yx

a



，求

L

对于原点处

的单位质点引力

F

．

解：

L

的极坐标方程为

],[)cos1(ar

，

dadrrds)cos1(2)]([)(22





，

ds

a

G

r

ds

GdF

22



，

ds

a

G

dFdF

x

coscos

2



．

a

G

d

a

G

3

8

)

2

cos

2

3

(cos

2

0







．

由

L

对称性知

0

y

F

．

10.2计算下列第二型曲线积分：

（1）



L

dyxyydxxyx)2()2(22

，

L

为抛物线

)11(2xxy

．

解：原式

dxxxxxx]2)2()2[(1

1

3432



15

14

)242(1

1

2345

dxxxxx

．

（2）



OmAnO

dxdy

x

y

arctan

，其中

OmA

为抛物线段2xy

，

OnA

为直线

xy

．

解：原式





AnOOmA

dxdy

x

y

arctan

1

44

arctan21

0





xdxx

．

（3）



L

dzxyzdydxzy2222)(

，

L

为沿参数增加的方向进行的曲线

)10(,,32ttztytx

．

解：原式

35

1

)23(1

0

46dttt

．

（4）



L

dzyxdyxzdxzy)()()(222222

，

L

为球面的第一

象限中的部分

1222zyx

的边界，当沿着它的正向进行时曲面的外面保持

在左方．

解：如图10-4，由对称性知原积分为



AB

dzyxdyxzdxzy)()()(3222222

．

0,sin,cos:ztytxAB

，

t

从

0

到

2



．

原积分

2

0

22]0cos)cos0()sin)(0[(sin3



dttttt

4)cos(sin32

0

33

dttt

．

（5）



L

yyydyxeexdxxey)()2(22

，

L

是从

)0,0(O

沿曲线

)sin(2xy

到点

)0,1(A

．

解：补充直线段

AO

，

xyxxAO,0,:

从

1

到

0

．

原积分



OAAOL

1

．

（6）



L

xdyyydxye])sin()cos1[(

，其中

L

为域

xyxsin0,0

的正方向的周线．

解：由格林公式，

)1(

5

1sin

00





eydyedxx

x

．

（7）







Lyx

ydxxdy

22

，

L

为沿正向进行，而不经过坐标原点的简单闭曲线．

解：（1）若原点不在

L

所围的区域

D

内，直接应用格林公式

（2）若原点在

L

所围成的区域

D

内，如图10-5，在原点附近作

一个充分小的圆周222:yxl

，其方向为顺时针方向，设

L

与

l

所

围成的复连域为1

D

，则





22

1

2

1

2

22



l

D

dxdy

．

（8）





)1,3(

)1,0(

3)(

)3()3(

yx

dyxydxxy

．

解：

4)(

66

yx

yx

y

P

x

Q

















．

故积分与路径无关．

L

1D

图10-5

l

x

y

o

z

OB

1

x

A

C

y

1

1

图10-4

如图10-6，选取路径

ACB

，计算积分．

原积分

202

．

（9）

)

4

,1(

)0,0(

22sin2)2cos(



ydyedxyexxx

．

解：

ye

y

P

x

Q

x2sin2











，故积分与路径无关，

如图10-7，选取路径

OAB

计算积分．

原积分

3

2

)

3

2

(ee

．

10.3计算下列第一型曲面积分：

（1）





xyzdS

，



是

222zyx

在第一象限的部分．

解：

yxz222

，

dxdydxdyzzdS

yx

3)()(122









．

如图10-8，

20

1

)1(

6

1

61

0

3dxxx

．

（2）





dSzyx)(222

，



是

azyx22

的表面．

解：如图10-9，取

dxdydSaz,:

1．

取

22

2

:yxz

，

dxdydxdyzzdS

yx

2)()(122









．

则





dSzyx)(222

4224)2

2

3

(

4

1

2)122(aaaa

．

(3)设曲面

)0(2azyxz

的面密度为

1

，求其质心坐标及对于坐标轴的转动惯量．

解：由对称性知：

0yx

．

dxdydxdyzzdSyxz

yx

2)()(1,:2222









．

222adxdydSM

xy

D



．

ardrrd

M

a

3

2

2

1

0

2

0



．

故质心坐标为

)

3

2

,0,0(a

．

4442

4

3

4

2

2

2

aaa

．

x

o

z

y

1

1

2

图10-8

z

o

x

y

a





2



图10-9

1A

3

x

y

o

-1

B(3,-1)

图10-6

C

4/

1O

B(1,)

4/

x

y

图10-7

A

由对称性知yx

II

．

4

0

2

2

02

2

2ardrrda



．

10.4计算下列第二型曲面积分：

(1)





zdxdy

,是由

4

22yx

z





与

2z

所围成的立体的表面内侧．

解：由高斯公式知





dvzdxdy



42

2

2

0

2

0

2r

dzrdrd

．

（2）





ydzdxxzdxdyy22

，是由

)(

1

22yx

a

z

，222ayx

及

0z

所围成立体表面外侧．

解：由高斯公式





a

r

adzrdrrddvyx

2

00

2

2

0

22)(

5

3

a





．

（3）





dxdyxyzdzdxxzydzyzx)()()(222

，



为球面

1)1()1()1(222zyx

的外侧．

解：





dvzyxdxdyxyzdzdxxzydzyzx)222()()()(222

．

由对称性知





zdvydvxdv

．

故原积分





xdv6

设

cossin1rx

，

sinsin1ry

，

cos1rz

，

则仍有

ddrdrdxdydzsin2

．





1

0

2

0

2

0

sin)cossin1(66drrrddxdv

8

．

（4）求向量

},,{xyxzyzF



穿过曲面



为

)0(222hzayx

的全表面流向外侧的流量．

解：





xydxdyxzdzdxyzdydz00



dv

．

三、测验题

1.1.填空

（1）

L

是曲线

1

4

2

2

y

x

，其周长为

s

，则



L

dsyxxy)4(22

等于．

解：由积分的对称性知

0L

xyds

，又

L

即：

4422yx

，

故

sdsdsyxxy

LL

44)4(22

．

（2）

L

是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为

A

，则

L

ydxxdy52

．

解：由格林公式，

Adydxxdy

D

L

3)52(52

．

（3）.（4）略．

2.2.选择

（1）.（2）.（3）略．

（4）





dzdxyxdydzeIyx)sin()4(22

，其中



是平面

042zx

被柱面

1

416

22



yx

所截得部分的上侧，则

I

等于（）．

A.

16

4

e



B.

)1(

4

16e



C.

0

D.

)1(16e

，

}2,0,1{n



．

故

5

1

cos

，

0cos

，

5

2

cos

，

有

dSdydz

5

1



，

dSdzdx0

，

dSdxdy

5

2



．



xyxy

D

yx

D

yxdxdyedxdye222242)4(

2

1

0)

2

1

(1

5

1

．

选取坐标：

cos2rx

，

sinry

，则

rdrddxdy2

．

)1(

4

2

2

1

16

2

0

4

2

0

2erdredIr





，应选B．

3.计算下列各题

（1）



L

xxdyxyedxyye)3cos()sin(

，其中

L

是从

)0,1(A

沿

13

2

3

2

yx

，

0x

到

)1,0(

．

解：补充直线段

BO

，

OA

，其中

)1,0(),0,0(BO

．

1sin

8

3



．

(2)求摆线

)sin(ttax

，

)cos1(tay)0(t

的弧的重心．

解：

dt

t

adttadtyxds

tt2

sin2)cos1(2)()(22









．

adt

t

adsM

L

4

2

sin2

0



．

222

3

16

3

8

8aaa

．

222

3

16

3

4

4aaa

．

故

a

M

M

xx

3

4



，

a

M

M

yy

3

4



．

（3）计算



L

dzyxdyzxdxyz)()()(

，其中

L

是











2

122

zyx

yx

从z轴正向看

L

的方向为顺时针

方向．

解：取



为

2zyx

被

122yx

所截得的部分，由右手定则方向为下侧，根

据斯托克斯公式有：

22

xy

D

dxdy

．

（4）





dxdyxzzdzdxyzdydzx222

，其中是22yxz

在

10z

的第一象限部分的下侧．

解：补面321

,,

，

1:

1

z

，

122yx

，

0x

，

0y

，取上侧；

0:

2

y

，

12zx

，

0x

，取左侧；

0:

3

x

，

12zy

，

0y

，取后侧．

21

5

3

1

21

12



．