条件分布
rth-缸砖
2023年2月21日发(作者：了解的英文)§3.3条件分布
一、二维离散型随机变量的条件分布
设(,)XY是二维离散型随机变量，其分布
律为
{,}PXxYy
ij
=
,P
ij
,1,2,,ij
(,)XY关于X和关于Y的边缘分布为
{}PXx
i
=P
i
=
,
1
p
ij
j
1,2,,i
{}PYy
j
=P
j
,
1
p
ij
i
1,2,.j
设0,p
j
现在考虑在事件
{}Yy
j
已发生的条件
下事件{}Xx
i
发生的概率{}PXxYy
ij
由条件概率公式,可得
{}PXxYy
ij
=
{,}
{}
PXxYy
ii
PYy
j
=,
p
ij
p
j
1,2,.i
条件概率具有分布律的性质:
1、
{}0;PXxYy
ij
2、{}
1
PXxYy
ij
i
=
1
p
ij
p
j
i
=
1
1
p
p
ij
j
i
=
p
j
p
j
=1
定义1、设(,)XY是二维离散型随机变量，对于
固定的,j若
{}0,PYy
j
则称
{}PXxYy
ij
=
{,}
{}
PXxYy
ij
PYy
j
=,
p
ij
p
j
1,2,.i
为在Yy
j
条件下随机变量X的条件分布律。
同样,对于固定的,i若{}0,PXx
i
则称
{}PYyXx
ji
=
{,}
{}
PXxYy
ij
PXx
i
=,
p
ij
p
i
1,2,.i
为在Xx
i
条件下随机变量Y的条件分布律。
例1在一汽车工厂中,一辆汽车有两道工序是由
机器人完成的.其一是紧固3只螺栓,其二是焊接
2处焊点.以X表示螺栓固得不良的数目，以Y
表示由机器人焊接的不良焊点的数目.据积累的
资料知(,)XY具有分布律
Y
X
0123{}PYj
0
1
2
0.8400.0300.0200.010
0.0600.0100.0080.002
0.0100.0050.0040.001
0.900
0.080
0.020
{}PXi
0.9100.0450.0320.013
1.000
(1)求在1X的条件下，Y的条件分布律
(2)求在
0Y
的条件下，X的条件分布律
例2一射手进行射击,击中目标的概率
(01),pp射击直至击中目标两次为止.设以X
表示首次击中目标所进行的射击次数,以Y表示
总共进行射击的射击次数,试求X和Y的联合分
布律及条件分布律。
二、二维连续型随机变量的条件分布函数和条
件概率密度
定义2设二维随机变量(,)XY的概率密度(,),fxy
(,)XY关于Y的边缘概率密度为().fy
Y
若对于固
定的
,y()0,fy
Y
则称
(,)
()
fxy
fy
Y
为在
Yy
条件下X
的条件概率密度。记为
(,)
().
()
fxy
fxy
fy
XY
Y
称
(,)
()dd
()
xxfxy
fxyxx
XY
fy
Y
为在
Yy
条件
下X的条件分布函数。
记为{}PXxYy或
(),Fxy
XY
即
()Fxy
XY
={}PXxYy=
(,)
d.
()
xfxy
x
fy
Y
类似地,可以定义
(,)
()
()
fxy
fyx
YX
fx
X
和
(,)
()d.
()
yfxy
Fyxy
YX
fx
X
条件分布函数与条件密度函数的关系
()Fxy
XY
()d
x
fxyx
XY
[(,)()]d.
x
fxyfyx
Y
()Fyx
YX
()d
y
fyxy
YX
[(,)()]d.
y
fxyfxy
X
例3设二维随机变量在圆域22
1xy上服从均
匀分布，求条件概率密度().fxy
XY
例4设数X在区间(0,1)上随机地取值，当观察
到(01)Xxx时，数Y在区间(,1)x上随机地
取值，求Y的概率密度().fy
Y