定积分的导数
舅妈的屁股-BFO
2023年2月21日发(作者：白象工程)1
一．基本初等函数求导公式
(1)
0)(
C
(2)
1)(
xx
(3)
xxcos)(sin
(4)
xxsin)(cos
(5)
xx2sec)(tan
(6)
xx2csc)(cot
(7)
xxxtansec)(sec
(8)
xxxcotcsc)(csc
(9)
aaaxxln)(
(10)
(e)exx
(11)
ax
x
aln
1
)(log
(12)
x
x
1
)(ln
，
(13)
21
1
)(arcsin
x
x
(14)
21
1
)(arccos
x
x
(15)
2
1
(arctan)
1
x
x
(16)
2
1
(arccot)
1
x
x
函数的和、差、积、商的求导法则
设
)(xuu
，
)(xvv
都可导，则
（1）
vuvu
)(
（2）
uCCu
)(
（
C
是常数）
（3）
vuvuuv
)(
（4）
2v
vuvu
v
u
反函数求导法则
若函数
)(yx
在某区间
y
I
内可导、单调且
0)(
y
，则它的反函数
)(xfy
在对应区间x
I
内也可导，且
2
)(
1
)(
y
xf
或
dy
dx
dx
dy1
复合函数求导法则
设
)(ufy
，而
)(xu
且
)(uf
及
)(x
都可导，则复合函数
)]([xfy
的
导数为
dydydu
dxdudx
或
()()yfux
二、基本积分表
（1）
kdxkxC（k是常数）
（2）
1
,
1
x
xdxC
(1)u
（3）
1
ln||dxxC
x
（4）
2
tan
1
dx
arlxC
x
（5）
2
arcsin
1
dx
xC
x
（6）
cossinxdxxC
（7）
sincosxdxxC
3
（8）
2
1
tan
cos
dxxC
x
（9）
2
1
cot
sin
dxxC
x
（10）
sectansecxxdxxC
（11）
csccotcscxxdxxC
（12）xxedxeC
（13）
ln
x
x
a
adxC
a
，(0,1)aa且
（14）
shxdxchxC
（15）
chxdxshxC
（16）
22
11
tan
x
dxarcC
axaa
（17）
22
11
ln||
2
xa
dxC
xaaxa
（18）
22
1
sin
x
dxarcC
a
ax
（19）22
22
1
ln()dxxaxC
ax
（20）22
22
ln||
dx
xxaC
xa
（21）
tanln|cos|xdxxC
（22）
cotln|sin|xdxxC
（23）
secln|sectan|xdxxxC
4
（24）
cscln|csccot|xdxxxC
注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
2、以上公式把x换成u仍成立，u是以x为自变量的函数。
3、复习三角函数公式：
2222sincos1,tan1sec,sin22sincos,xxxxxxx2
1cos2
cos
2
x
x
，
2
1cos2
sin
2
x
x
。
注：由
[()]'()[()]()fxxdxfxdx，此步为凑微分过程，所以第一
类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，
务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
小结：
1常用凑微分公式
5
xu
xu
xu
xu
xu
xu
au
eu
xu
xu
baxu
xdxfdx
x
xf
xdxfdx
x
xf
xdxfxdxxf
xdxfxdxxf
xdxfxdxxf
xdxfxdxxf
daaf
a
dxaaf
deefdxeef
xdxfdx
x
xf
xdxfdxxxf
abaxdbaxf
a
dxbaxf
x
x
xxxx
xxxx
arcsin
arctan
cot
tan
cos
sin
ln
)(arcsin)(arcsin
1
1
)(arcsin.11
)(arctan)(arctan
1
1
)(arctan.10
cot)(cotcsc)(cot.9
tan)(tansec)(tan.8
cos)(cossin)(cos.7
sin)(sincos)(sin.6
)(
ln
1
)(.5
)()(..4
)(ln)(ln
1
)(ln.3
)0()()(
1
)(.2
)0()()(
1
)(.1
2
2
2
2
1
法
分
积
元
换
一
第
换元公式积分类型