长沙市实验中学
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2023年2月17日发(作者：)判断下面结论是否正确（请在括号中打“V或“X)
直线平面-平行的判定与性质
基础知识自主学习
n知识梳理要点讲解深层突破
1.直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义定理
图形
~h^=
1fl\"
条件
aAa=?
a?a,b?a,a//aa//ba//a,a?B,aA3=b
结论
a//ab/aaAa=?a//b
2.面面平行的判定与性质
判定
性质
定义定理
图形
心_/
条件aA3=?
a?3-b?3-aAba//3,aAY=a,
a//3>a?3
=P,a/a,b/a3AY=b
结论a//3a//3a/ba//a
【思考辨析】
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.
(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(X)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(X)
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(V)
(5)若直线a与平面a内无数条直线平行，则a//a(X)
⑹空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，贝UEF//平面BCD.(V)
⑺若all3,直线a//a,贝Ua//3-(X)
1.一条直线I上有相异三个点A、B、C到平面a的距离相等，那么直线I与平面a的位置关
玄阜系是
A.I//a
解析当距离不为零时，Ila,当距离为零时，I?a
2.设a,3,丫为三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，在命题\"adAm,n?Y且
________，则m//n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.
①a//Yn?3；②m//丫，n//3；③n//3,m?丫可以填入的条件有()
A.①或②B.②或③
C.①或③D.①或②或③
答案C
B.I丄a
D.I//a或I?a
C.I与a相交但不垂直
答案D
解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n//伏m?丫时，n和m在同一平面内，且
没有公共点，所以平行，③正确•故选C.
3•（教材改编）下列命题中正确的是（）
A•若a,b是两条直线，且a//b，那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面a满足a/a,那么a与a内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a,b和平面a满足a//b,a/a,b?a,则b//a
答案D
解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与a内的直线可能异面；C中，两平面可相交;D中，由直
线与平面平行的判定定理知，b//a,正确.
4.（教材改编）
如图，正方体ABCD—AiBiCiDi中，E为DDi的中点，贝UBDi与平面AEC的位置关系为
答案平行
解析连接BD，设BDAAC=0,连接EO,在厶BDDi中,O为BD的中点，所以EOBDDi
的中位线,
贝UBDi/EO,而BDi?平面ACE,E0?平面ACE,
所以BDi//平面ACE.
5.过三棱柱ABC—AiBiCi任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有
________条.
答案6
解析各中点连线如图，只有面EFGH与面ABBiAi平行，在四边形EFGH中有6条符合题意.
题型分类深度剖析
题型一直线与平面平行的判定与性质
命题点1直线与平面平行的判定
1
如图，四棱锥P—ABCD中，AD//BC,AB=BC=gAD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD
的中点，AC与BE交于0点，G是线段OF上一点.
(1)求证：AP//平面BEF;
⑵求证：GH//平面PAD.
证明
⑴连接EC,
1
•••AD//BC,BC=2AD,
•••BC綊AE,
•••四边形ABCE是平行四边形，
•O为AC的中点.
又•••F是PC的中点，•FO//AP,
FO?平面BEF,AP?平面BEF,
•AP//平面BEF.
(2)连接FH,OH,
•••F,H分别是PC,CD的中点，
•FH//PD，•FH//平面PAD.
又TO是BE的中点，H是CD的中点,
•OH//AD,•OH//平面FAD.
又FHAOH=H,•平面OHF//平面FAD.
又•••GH?平面OHF,•••GH//平面PAD.
命题点2直线与平面平行性质定理的应用
例2(2014安徽)
如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G,E,F,H
分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点，平面GEFH丄平面ABCD,BC//平面GEFH.
(1)证明：GH/EF;
⑵若EB=2，求四边形GEFH的面积.
(1)证明因为BC//平面GEFH,BC?平面PBC,
且平面PBCn平面GEFH=GH,
所以GH//BC.
同理可证EF//BC,因此GH//EF.
因为PA=PC,O是AC的中点，所以PO丄AC,
⑵解如图，连接
AC,BD交于点O,BD交EF于点K，连接OP,GK.
A£H
同理可得P0丄BD.
又BDAAC=0,且AC,BD都在底面内，
所以PO丄底面ABCD.
又因为平面GEFH丄平面ABCD,
且PO?平面GEFH，所以PO//平面GEFH.
因为平面PBDA平面GEFH=GK,
所以PO/GK，且GK丄底面ABCD,从而GK丄EF.
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB=8,EB=2得EB:AB=KB:DB=1:4,
11
从而KB=4DB=2OB，即K为OB的中点.
1
再由PO/GK得GK=^PO,
x3=18.
思维升华判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义（无公共点）；（2）利用线面
平行的判定定理（a?ab?aa//b?a//a；（3）利用面面平行的性质定理（a//fta?a?a//3）；
⑷利用面面平行的性质（a//fta?fta/a?a/ft.
嚣品训瓷1（1）如图所示,在四棱锥P—ABCD中，/ABC=ZACD=90°/BAC=ZCAD
=60°E为PD的中点，AB=1,
故四边形GEFH的面积S=
GK
求证：CE//平面PAB;
⑵如图所示，CD,AB均与平面EFGH平行，E,F,G,H分别在BD,BC,AC,AD上,
且CD丄AB.求证：四边形EFGH是矩形.
证明⑴由已知条件有AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=2\'3.
如图所示，延长DC,AB,设其交于点N,连接PN,
因为/NAC=ZDAC=60°,AC丄CD,
所以C为ND的中点，又因为E为PD的中点，
所以EC//PN,
因为EC?平面FAB,PN?平面PAB,
所以CE//平面PAB.
(2)•/CD//平面EFGH，而平面EFGHn平面BCD=EF,
•••CD//EF.
同理HG//CD，且HE//AB,•EF//HG.
同理HE/GF，
•四边形EFGH为平行四边形．
•CD/EF，HE/AB，
•••/HEF为异面直线CD和AB所成的角.
又vCD丄AB,•HE丄EF.
•平行四边形EFGH为矩形.
题型二平面与平面平行的判定与性质
例3如图所示，在三棱柱ABC—AiBiCi中，E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的
中点，求证：
i)
(1)B,C,H,G四点共面；
(2)平面EFAi//平面BCHG.
证明（1）•/G,H分别是A1B1,A1C1的中点,•••GH是厶A1B1C1的中位线,
•••GH//B1C1.
又TB1C1/BC,
•GH//BC,
•B,C,H,G四点共面.
(2)•/E，F分别是AB，AC的中点，
•EF//BC.
•/EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,
•EF//平面BCHG.
TA1G綊EB,
•四边形A1EBG是平行四边形,
•A1E/GB.
•/AiE?平面BCHG,GB?平面BCHG,
二AiE//平面BCHG.
TAiEAEF=E,
•••平面EFAi//平面BCHG.
引申探究
1•在本例条件下，若D为BCi的中点，求证：HD//平面AiBiBA.
证明如图所示，连接HD，AiB,
TD为BCi的中点，H为AiCi的中点,
•HD//AiB,
又HD?平面AiBiBA,
AiB?平面AiBiBA,
•HD//平面AiBiBA.
2•在本例条件下，若Di,D分别为BiCi,BC的中点，求证：平面AiBDi/平面ACiD.
证明
如图所示，连接AiC交ACi于点M,
•••四边形AiACCi是平行四边形，
•••M是AiC的中点，连接MD,
•••D为BC的中点，
•AiB//DM.
TAiB?平面AiBDi,
DM?平面AiBDi,
•DM//平面AiBDi.
又由三棱柱的性质知，DiCi綊BD,
•四边形BDCiDi为平行四边形，
•DCi//BDi.
又DCi?平面AiBDi,BDi?平面AiBDi,
•DCi//平面AiBDi,
又TDCinDM=D,DCi,DM?平面ACiD,
•平面AiBDi//平面ACiD.
思维升华证明面面平行的方法:
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个
平面平行；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
迟吃订淇丄如图，在三棱锥S—ABC中，AS=AB•过A作AF丄SB,垂足为F.点E,G分别是棱SA、
SC的中点.求证：平面EFG//平面ABC.
证明因为AS=AB,AF丄SB,
所以F是SB的中点.
又因为E是SA的中点，所以EF//AB,
又EF?平面ABC,AB?平面ABC,
所以EF//平面ABC，同理EG//平面ABC,
又EFAEG=E,所以平面EFG//平面ABC.
题型三平行关系的综合应用
4\'
例4如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位
置时其截面面积最大？
解•/AB//平面EFGH,
平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH.
•AB//FG,AB//EH,
•FG//EH，同理可证EF//GH,
•截面EFGH是平行四边形.
设AB=a,CD=b,/FGH=a（a即为异面直线AB和CD所成的角或其补角）.
又设FG=x,GH=y，则由平面几何知识可得x=器,
aBC
S?EFGH=FGGH•sira
=xb.a—x)•sin=讐x(a—x).
■/x>0,a—x>0且x+(a—x)=a为定值,
此时x=2,y=2.
Be■，两式相加得
1,即y=
a(a—
•••当且仅当x=a—x
时,
bsina
ax(a—x)=
absina
A
C
即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大.
思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交
线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.
■「i如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA丄底面ABCD,
在侧面PBC内，有BE丄PC于E,且BE」3
6a,试在AB上找一点F,使EF//平面FAD.
解如图所示,
在平面PCD内，过E作EG//CD交FD于G,
连接AG,在AB上取点F，使AF=EG,
•/EG//CD//AF,EG=AF,
•••四边形FEGA为平行四边形，
•••FE//AG.
又AG?平面FAD,FE?平面FAD,
•EF//平面PAD.
■C\'S
•••F即为所求的点.
又PA丄面ABCD,•FAXBC,
又BC丄AB,•BC丄面FAB.
•PB丄BC.
•PC2=BC3+PB4=BC5+AB2+FA2.
设FA=x则PC=“2a2+x2,
由PBBC=BEPC得：
-a2+x2a=-2a2+x2•36a
•x=a,即FA=a,•PC=，?3a.
22
•AF=3a.即卩AF=3AB.
故点F是AB上靠近B点的一个三等分点.
温馨提醒（1）立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开
放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假
设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾的结论就否定假设.
⑵这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成
立”.
36a2
GE=PE=2
CD=PC=3,
■■思想方法感悟提高■■
［方法与技巧］
1.平行问题的转化关系
判定
料定判定I
纯线垂直H■亍线直垂直于面页垂豆
Is
2•直线与平面平行的主要判定方法
⑴定义法；（2）判定定理；⑶面与面平行的性质.
3•平面与平面平行的主要判定方法
（1）定义法；（2）判定定理；（3）推论；（4）a丄a,a丄价a//B
［失误与防范］
1•在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误.
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平
行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要
注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.
3•解题中注意符号语言的规范应用.
1
即G是PB的中点，且GH=?BC=4.
即GE
=3CD
由已知可得OB=4.2,
PO=\'PB12—OB2=68-32=6,
所以GK=3.
GH+EF