向量极化恒等式
射箭英文-尺寸公差
2023年2月21日发(作者：音乐教案中班)专题八平面向量的极化恒等式
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量
的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几
何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平
移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．
1．极化恒等式：a·b＝
1
4
[(a＋b)2－(a－b)2]
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方
差的
1
4
．
2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则：(1)AB
→
·AD
→
＝
1
4
[|AC|2－|BD|2]．
3．三角形模式：如图(2)，在△ABC中，设D为BC的中点，则AB
→
·AC
→
＝|AD|2－|BD|2．
三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
考点一平面向量数量积的定值问题
【方法总结】
利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．
积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移
转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量
积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长
度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．
【例题选讲】
[例1](1)(2014·全国Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝()
A．1B．2C．3D．5
答案A解析通法由条件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1．
极化恒等式a·b＝
1
4
[(a＋b)2－(a－b)2]＝
1
4
(10－6)＝1．
(2)(2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB
→
·AC
→
＝________．
D
B
C
A
a
b
a
＋
b
a
－
b
D
B
C
A
O
图(1)
D
B
C
A
图(2)
答案－16解析因为M是BC的中点，由极化恒等式得：AB
→
·AC
→
＝|AM|2－
1
4
|BC|2＝9－
1
4
×100＝－
16．
(3)如图所示，AB是圆O的直径，P是
AB
上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB
＝6，MN＝4，则PM
→
·PN
→
＝()
A．13B．7C．5D．3
答案C解析连接AP，BP，则PM
→
＝PA
→
＋AM
→
，PN
→
＝PB
→
＋BN
→
＝PB
→
－AM
→
，所以PM
→
·PN
→
＝(PA
→
＋AM
→
)·(PB
→
－AM
→
)＝PA
→
·PB
→
－PA
→
·AM
→
＋AM
→
·PB
→
－|AM
→
|2＝－PA
→
·AM
→
＋AM
→
·PB
→
－|AM
→
|2＝AM
→
·AB
→
－|AM
→
|2＝1×6－1＝5．
(4)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上
的中点，则EF
→
·FG
→
＋GH
→
·HE
→
＝________．
答案
3
2
解析连结EG，FH，交于点O，则EF
→
·FG
→
＝EF
→
·EH
→
＝EO
→
2－OH
→
2＝1－
1
2
2
＝
3
4
，GH
→
·HE
→
＝
GH
→
·GF
→
＝GO
→
2－OH
→
2＝1－
1
2
2
＝
3
4
，因此EF
→
·FG
→
＋GH
→
·HE
→
＝
3
2
．
(5)(2016·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．BA
→
·CA
→
＝4，BF
→
·CF
→
＝－1，则BE
→
·CE
→
的值为________．
答案
7
8
解析极化恒等式法设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n．根据向量的极化恒
等式，有AB
→
·AC
→
＝AD
→
2－DB
→
2＝9n2－m2＝4，FB
→
·FC
→
＝FD
→
2－DB
→
2＝n2－m2＝－1．联立解得n2＝
5
8
，m2＝
13
8
．因
此EB
→
·EC
→
＝ED
→
2－DB
→
2＝4n2－m2＝
7
8
．即BE
→
·CE
→
＝
7
8
．
坐标法以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，
如图：设A(3a，3b)，B(－c，0)，C(－c，0)，则有E(2a，2b)，F(a，b)BA
→
·CA
→
＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)
＝9a2－c2＋9b2＝4BF
→
·CF
→
＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，则a2＋b2＝
5
8
，c2＝
13
8
BE
→
·CE
→
＝
()2a－c，2b
·()2a－c，2b
＝4a2－c2＋4b2＝
7
8
．
基向量BA
→
·CA
→
＝(DA
→
－DB
→
)(DA
→
－DC
→
)＝
4AD
→
2－BC
→
2
4
＝
36FD
→
2－BC
→
2
4
＝4，BF
→
·CF
→
＝(DF
→
－DB
→
)(DF
→
－DC
→
)
＝
4FD
→
2－BC
→
2
4
＝－1，因此FD
→
2＝
5
8
，BC
→
＝
13
2
，BE
→
·CE
→
＝(DE
→
－DB
→
)(DE
→
－DC
→
)＝
4ED
→
2－BC
→
2
4
＝
16FD
→
2－BC
→
2
4
＝
7
8
．
(6)在梯形ABCD中，满足AD∥BC，AD＝1，BC＝3，AB
→
·DC
→
＝2，则AC
→
·BD
→
的值为________．
B
AD
C
答案4解析过A点作AE平行于DC，交BC于E，取BE中点F，连接AF，过D点作DH平行
于AC，交BC延长线于H，E为BH中点，连接DE，22212ABDCABAEAFBFAF，AC
2224BDDBDHBEDEDE
，又1FEBEBF，AD∥BC，则四边形ADEF为平行四边形，
AFDE，1ACBD．
E
H
B
F
AD
C
【对点训练】
1．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE
→
·DA
→
的值为________．
1．答案1解析取AE中点O，设|AE|＝x(0≤x≤1)，则|AO|＝
1
2
x，∴DE
→
·DA
→
＝|DO|2－|AO|2＝12＋
1
2
x2
－
1
4
x2＝1．
2．如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则AP
→
·OP
→
＝
()
A．1B．
1
16
C．
1
4
D．－
1
2
2．答案B解析取AO中点Q，连接PQ，AP
→
·OP
→
＝PA
→
·PO
→
＝PQ2－AQ2＝
5
16
－
1
4
＝
1
16
．
3．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若AB
→
·AD
→
＝－7，则BC
→
·DC
→
的值
是________．
3．答案9解析因为AB
→
·AD
→
＝AO
→
2－OD
→
2＝9－OD
→
2＝－7⇒OD
→
2＝16，所以BC
→
·DC
→
＝CO
→
2－OD
→
2＝25
－16＝9．
4．已知点A，B分别在直线x＝3，x＝1上，|OA
→
－OB
→
|＝4，当|OA
→
＋OB
→
|取最小值时，OA
→
·OB
→
的值是_____．
A．0B．2C．3D．6
4．答案C解析如图，点A，B分别在直线x＝1，x＝3上，|AB
→
|＝4，当|OA
→
＋OB
→
|取最小值时，AB的
中点在x轴上，OA
→
·OB
→
＝OM
→
2－BM
→
2＝4－4＝0．
x
O
y
M
B
A
5．在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则AD
→
·AE
→
等于()
A．
1
6
B．
2
9
C．
13
18
D．
1
3
5．答案C解析解法一：因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝
1
3
，在△ABD中，
AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos60°＝
1
3
2＋12－2×
1
3
×1×
1
2
＝
7
9
，即AD＝
7
3
，同理可得AE＝
7
3
，在△ADE
中，由余弦定理得cos∠DAE＝
AD2＋AE2－DE2
2AD·AE
＝
7
9
＋
7
9
－
1
3
2
2×
7
3
×
7
3
＝
13
14
，所以AD
→
·AE
→
＝|AD
→
|·|AE
→
|cos∠DAE＝
7
3
×
7
3
×
13
14
＝
13
18
．
解法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A
0，
3
2
，D
－
1
6
，0
，E
1
6
，0
，
所以AD
→
＝(－
1
6
，－
3
2
)，AE
→
＝
1
6
，－
3
2
，所以AD
→
·AE
→
＝
－
1
6
，－
3
2
·
1
6
，－
3
2
＝－
1
36
＋
3
4
＝
13
18
．
极化恒等式法取DE中点F，连接AF，则AD
→
·AE
→
＝|AF|2－|DF|2＝
3
4
－
1
36
＝
13
18
．
6．在△ABC中，|AB
→
＋AC
→
|＝|AB
→
－AC
→
|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则AE
→
·AF
→
等于()
A．
8
9
B．
10
9
C．
25
9
D．
26
9
6．答案B解析坐标法由|AB
→
＋AC
→
|＝|AB
→
－AC
→
|，化简得AB
→
·AC
→
＝0，又因为AB和AC为三角形的两
条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以△ABC为直角三角形．以A为原点，以AC所
在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，
0)．不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E
2
3
，
2
3
，F
1
3
，
4
3
，所以AE
→
＝
2
3
，
2
3
，AF
→
＝
1
3
，
4
3
，所
以AE
→
·AF
→
＝
2
3
×
1
3
＋
2
3
×
4
3
＝
10
9
．
极化恒等式法取EF中点M，连接AM，则AE
→
·AF
→
＝|AM|2－|EM|2＝
5
4
－
5
36
＝
10
9
．
7．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP
→
＝3PD
→
，AP
→
·BP
→
＝2，则AB
→
·AD
→
的值是()
A．44B．22C．24D．72
7．答案B解析如图，取AB中点E，连接EP并延长，交AD延长线于F，AP
→
·BP
→
＝EP2－AE2＝EP2
－16＝2，∴EP＝32，又∵CP
→
＝3PD
→
，AE
→
＝EB
→
，AB
→
＝DC
→
，∴AE＝2DP，即△FAE中，DP为中位线，
AF＝2AD＝10，AE＝
1
2
AB＝4，FE＝2PE＝62，AP2＝40，AD
→
·AB
→
＝AF
→
·AE
→
＝AP2－EP2＝40－(32)2＝
22．
8
．如图，在△
ABC
中，已知
AB
＝
4
，
AC
＝
6
，∠
A
＝
60°
，点
D
，
E
分别在边
AB
，
AC
上，且
AB
→
＝
2AD
→
，
AC
→
＝
2AE
→
，若
F
为
DE
的中点，则
BF
→
·DE
→
的值为
________
．
A
B
D
C
E
F
8．答案4解析取BD的中点N，连接NF，EB，则BE⊥AE，∴BE＝23．在△DEB中．FN∥
1
2
EB．∴
FN
＝3．BF
→
·DE
→
＝2FB
→
·FD
→
＝2(FN2－DN2)＝4．
A
B
D
C
E
F
N
9．如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点，若CD⊥AD，垂足为E，
则EB
→
·EC
→
＝________．
9．答案－
27
7
解析由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝19，即BC＝19，因为AB
→
·AC
→
AD2－CD2＝|AB|·|AC|·cos120°＝－3，所以|AD|＝
7
2
，因为S
△ABC
＝2S
△ADC
，则
1
2
|AB|·|AC|·sin120°＝2·
1
2
|AD||CE|，解得|CE|＝
321
7
，在Rt△DEC中，|DE|＝CD2－CE2＝
57
14
，所以EB
→
·EC
→
＝|ED|2－|CD|2＝－
27
7
．
C
B
A
D
E
10．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB＝1，EF＝2，CD＝5，若AD
→
·BC
→
＝15．则AC
→
·BD
→
的值为________．
10．答案解析极化恒等式如图，取,,,ABACCDBD中点,,,HIJK，四边形ABCD中，易知
,,EFKIHJ三线共点于O，22
15
15
4
ADBCHKHIHOIO
，又4ACBDHEHF
224HOFO，在EFI中，
51
2,,
22
EFEIFI
，由中线长公式知2
1
4
IO
,从而24HO
，
ACBD=
1
4(4)14
2
．
BC
A
D
E
F
H
I
J
K
O
基向量法2EFABDC，
22242EFABDCABDC
，5,2ABDCEF又=1,=，
1ABDC
，15()()15ADBCACCDBDDC，，则
2ACBDACDCCDBDDC
15，可化为515ACBDABBCDCCDBCCD
，15,ACBDABDCACBD故
=14．
BC
A
D
E
O
F
考点二平面向量数量积的最值(范围)问题
【方法总结】
利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．
积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转
变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法
等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等
式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在
于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边
之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．
【例题选讲】
[例1](1)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________．
答案－
9
8
解析a·b＝
1
8
[(2a＋b)2－(2a－b)2]＝
1
8
[|2a＋b|2－|2a－b|2]≥
02－32
8
＝－
9
8
．当且仅当|2a＋b|
＝0，|2a－b|＝3，即|a|＝
3
4
，|b|＝
3
2
，＝π时，a·b取最小值－
9
8
．
(2)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，点B，
C分别在m，n上，|AB
→
＋AC
→
|＝5，则AB
→
·AC
→
的最大值是________．
答案
21
4
解析坐标法以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面
直角坐标系xOy，如图：则A()0，3
，C()c，0，B()b，2
，则AB
→
＝()b，－1
，AC
→
＝()c，－3
，从而()b＋c2
＋()－42＝52，即()b＋c2＝9，又AC
→
·AB
→
＝bc＋3≤
()b＋c2
4
＋3＝
21
4
，当且仅当b＝c时，等号成立．
极化恒等式连接BC，取BC的中点D，AB
→
·AC
→
＝AD2－BD2，又AD＝
1
2
||AB
→
＋AC
→
＝
5
2
，故AB
→
·AC
→
＝
25
4
－BD2＝
25
4
－
1
4
BC2，又因为BC
min
＝3－1＝2，所以(AB
→
·AC
→
)
max
＝
21
4
．
(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA
→
·(PB
→
＋PC
→
)的最小
值是()
A．－2B．－
3
2
C．－
4
3
D．－1
答案B解析方法一(解析法)建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，3)，
B(－1，0)，C(1，0)．设P点的坐标为(x，y)，
图①
则PA
→
＝(－x，3－y)，PB
→
＝(－1－x，－y)，PC
→
＝(1－x，－y)，∴PA
→
·(PB
→
＋PC
→
)＝(－x，3－y)·(－2x，
－2y)＝2(x2＋y2－3y)＝2
x2＋
y－
3
2
2－
3
4
≥2×
－
3
4
＝－
3
2
．当且仅当x＝0，y＝
3
2
时，PA
→
·(PB
→
＋PC
→
)取得
最小值，最小值为－
3
2
．故选B．
方法二(几何法)如图②所示，PB
→
＋PC
→
＝2PD
→
(D为BC的中点)，则PA
→
·(PB
→
＋PC
→
)＝2PA
→
·PD
→
．
图②
要使PA
→
·PD
→
最小，则PA
→
与PD
→
方向相反，即点P在线段AD上，则(2PA
→
·PD
→
)
min
＝－2|PA
→
||PD
→
|，问题转化
为求|PA
→
||PD
→
|的最大值．又当点P在线段AD上时，|PA
→
|＋|PD
→
|＝|AD
→
|＝2×
3
2
＝3，∴|PA
→
||PD
→
|≤
|PA
→
|＋|PD
→
|
2
2
＝
3
2
2＝
3
4
，∴[PA
→
·(PB
→
＋PC
→
)]
min
＝(2PA
→
·PD
→
)
min
＝－2×
3
4
＝－
3
2
．故选B．
极化恒等式法设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，∴PA
→
·(PB
→
＋PC
→
)＝2PD
→
·PA
→
＝2|PM
→
|2－
1
2
|AD
→
|2＝2|PM
→
|2－
3
2
≥－
3
2
．当且仅当M与P重合时取等号．
A
BC
P
D
M
(4)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA
→
·PB
→
的取值范围是
________．
答案[－2，6]解析取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形
ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝23．又由极化恒等式得：PA
→
·PB
→
＝|PD|2
－
1
4
|AB|2＝|PD|2－3，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|
max
＝3，当P在CO的延长线与圆O的
交点处时，|PD|
min
＝1，所以PA
→
·PB
→
∈[－2，6]．
(5)如图，已知P是半径为2，圆心角为
π
3
的一段圆弧AB上的一点，若AB
→
＝2BC
→
，则PC
→
·PA
→
的最小值为
_____．
答案5－213解析通法以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平
分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，3)，C(2，3)，设P(2cosθ，2sinθ)
π
3
≤θ≤
2π
3
，
则PC
→
·PA
→
＝(2－2cosθ，3－2sinθ)·(－1－2cosθ，3－2sinθ)＝5－2cosθ－43sinθ＝5－213sin(θ＋φ)，
其中0 3 6 < 3 3 ，所以0<φ< π 6 ，当θ＝ π 2 －φ时，PC → ·PA → 取得最小值，为5－213． 极化恒等式法设圆心为O，由题得AB＝2，∴AC＝3．取AC的中点M，由极化恒等式得PC → ·PA → ＝PM → 2－AM → 2＝PM → 2－ 9 4 ，要使PC → ·PA → 取最小值，则需PM最小，当圆弧AB ︵ 的圆心与点P，M共线时，PM最小．易 知DM＝ 1 2 ，∴OM＝ 1 2 2 ＋(3)2＝ 13 2 ，所以PM有最小值为2－ 13 2 ，代入求得PC → ·PA → 的最小值为5－ 213． (6)在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则PC → ·PB → ＋BC → 2的最小 值是________． 答案23解析取BC的中点为D，连接PD，则由极化恒等式得PC → ·PB → ＋BC → 2＝PD → 2－ BC → 2 4 ＋BC → 2 ＝PD → 2＋ 3BC → 2 4 ≥ AD → 2 4 ＋ 3BC → 2 4 ，此时当且仅当AD → ⊥BC → 时取等号，PC → ·PB → ＋BC → 2≥ AD → 2 4 ＋ 3BC → 2 4 ≥2 AD → 2 4 · 3BC → 2 4 ＝ 23． 另解取BC边的中点M，连接PM，设点P到BC边的距离为h．则S △ABC ＝ 1 2 ·||BC → ·2h＝2⇒||BC → ＝ 2 h ， PM≥h，所以PB → ·PC → ＋BC → 2＝ PM → 2－ 1 4 BC → 2＋BC → 2＝PM → 2＋ 3 4 BC → 2＝PM → 2＋ 3 h2 ≥h2＋ 3 h2 ≥23(当且仅当||PM → ＝h，h2 ＝3时，等号成立) 【对点训练】 1．已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点， 则(PA → ＋PB → )·PC → 的最小值为() A．－ 1 4 B．－ 1 3 C．－ 1 2 D．－1 1．答案C解析PA → ＋PB → ＝2PO → ，∴(PA → ＋PB → )·PC → ＝2PO → ·PC → ，取OC中点D，由极化恒等式得，PO → ·PC → ＝|PD|2－|CD|2＝|PD|2－ 1 4 ，又|PD|2 min ＝0，∴(PA → ＋PB → )·PC → 的最小值为－ 1 2 ． AB C D P D O 2．如图，设A，B是半径为2的圆O上的两个动点，点C为AO中点，则CO → ·CB → 的取值范围是() A．[－1，3]B．[1，3]C．[－3，－1]D．[－3，1] 2．答案A解析建立平面直角坐标系如图所示，可得O(0，0)，A(－2，0)，C(－1，0)，设B(2cosθ， 2sinθ)．θ∈[0，2π)．则CO → ·CB → ＝(1，0)·(2cosθ＋1，2sinθ)＝2cosθ＋1∈[－1，3]．故选A． 极化恒等式法连接OB，取OB的中D，连接CD，则CO → ·CB → ＝|CD|2－|BD|2＝CD2－1，又|CD|2 min ＝0， ∴CO → ·CB → 的最小值为－1．|CD|2 max ＝2，∴CO → ·CB → 的最大值为3． 3．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝ π 3 ，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则OP → ·BP → 的最 小值为________． C O B A P 3．答案－ 1 16 解析取OB的中点D，连接PD，则OP → ·BP → ＝|PD → |2－|OD → |2＝|PD → |2－ 1 4 ，于是只要求求 PD的最小值即可，由图可知，当PD⊥AB，时，PD＝ 3 4 ，即所求最小值为－ 1 16 ． C O B A P D 4．(2020·天津)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD → ＝λBC → ，AD → ·AB → ＝－ 3 2 ，则实 数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且|MN → |＝1，则DM → ·DN → 的最小值为________． 4．答案 1 6 13 2 解析第1空因为AD → ＝λBC → ，所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，所以AD → ·AB → ＝|AD → |·|AB → |·cos120°＝－ 3 2 ，解得|AD → |＝1．因为AD → ，BC → 同向，且BC＝6，所以AD → ＝ 1 6 BC → ，即λ＝ 1 6 ． 第2空通法在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则BO＝AB·cos60°＝ 3 2 ，AO＝AB·sin60°＝ 33 2 ．以 O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系．如图，设M(a，0)，不妨设 点N在点M右侧， 则N(a＋1，0)，且－ 3 2 ≤a≤ 7 2 ．又D 1， 33 2 ，所以DM → ＝ a－1，－ 33 2 ，DN → ＝ a，－ 33 2 ，所以DM → ·DN → ＝a2－a＋ 27 4 ＝ a－ 1 2 2＋ 13 2 ．所以当a＝ 1 2 时，DM → ·DN → 取得最小值 13 2 ． 极化恒等式法如图，取MN的中点P，连接PD，则DM → ·DN → ＝PD → 2－MP → 2＝PD → 2－ 1 4 ，当PD → ⊥BC → 时，|PD → |2取最小值 27 4 ，所以DM → ·DN → 的最小值为 13 2 ． A BC D M N P 5．在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若CMCN的 最小值为 3 4 ，则cos∠ACB＝________． 5．答案 135 8 解析取MN的中点P，则由极化恒等式得 22211 44 CMCNCPMNCP ，∵ CMCN的最小值为 3 4 ，∴ min 1CP ，由平几知识知：当CP⊥AB时，CP最小，如图，作CH⊥AB， H为垂足，则CH＝1，又AC＝2BC＝4，所以∠B＝30o，sinA= 1 4 ，所以cos∠ACB＝cos（150o－A） = 135 8 ． M H B N A C P 6 ．已知 AB 为圆 O 的直径， M 为圆 O 的弦 CD 上一动点， AB ＝ 8 ， CD ＝ 6 ，则 MA → ·MB → 的取值范围是 ________ ． 6．答案[－9，0]解析如图，MA → ·MB → ＝MO → 2－AO → 2＝MO → 2－16，∵|OG → |≤|OM → |≤|OC → |，∴7≤|OM → |≤4， ∴MA → ·MB → 的取值范围是[－9，0]． 7．如图，设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的弧APB上，则PC → ·PD → 的取值范围为______． 7．答案[0，16]解析如图取CD的中点E，连接PE，PC → ·PD → ＝PE → 2－DE → 2＝OE → 2－2，2≤|PE → |≤25， 所以PC → ·PD → 的取值范围为[0，16]． C D E P AB 8．已知正△ABC内接于半径为2的圆O，E为线段BC上的一个动点，延长AE交圆O于点F，则FA → ·FB → 的取值范围是________． 8．答案[0，6]解析取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC 的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝23．又由极化恒等式得：FA → ·FB → ＝|FD|2 －|AD|2＝|FD|2－3，因为F在劣弧BC上，所以当F在点C处时，|FD| max ＝3，当F在点B处时，|PD| min ＝3，所以PA → ·PB → ∈[0，6]． AB C F E D O 9．已知AB是半径为4的圆O的一条弦，圆心O到弦AB的距离为1，P是圆O上的动点，则PA → ·PB → 的取 值范围为_________． 9．答案[－6，10]解析极化恒等式法设AB的中点为C，连接CP，则PA → ·PB → ＝|PC → |2－|AC → |2＝|PC → |2 －15．|PC → |2－15≥25－15＝10，|PC → |2－15≤9－15＝－6． O C A B P 10．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别为边BC，CD上的动点，且MN＝2，则AM → ·AN → 的最小 值为________． 10．答案15解析取K为MN中点，由极化恒等式，AM → ·AN → ＝|AK|2－1，显然K的轨迹是以点C为圆 心，1为半径的圆周在矩形内部的圆弧，所以|AK| min ＝5－1＝4，所以AM → ·AN → 的最小值为15． A B C D M N K 11．在△ABC中，已知AB＝3，C＝ π 3 ，则CA → ·CB → 的最大值为________． 11．答案 3 2 解析设D是AB的中点，连接CD，点O是△ABC的外心，连接DO并延长交圆O于C´， 由△ABC´是等边三角形，∵AD＝ 3 2 ，∴C´D＝ 3 2 ，则CA → ·CB → ＝|CD → |2－|DA → |2＝|CD → |2－( 3 2 )2≤|C´D → |2－ 3 4 ＝ ( 3 2 )2－ 3 4 ＝ 3 2 ．∴(CA → ·CB → ) max ＝ 3 2 ． 12．已知在△ABC中，P 0 是边AB上一定点，满足P 0 B＝ 1 4 AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB → ·PC → ≥P 0 B → ·P 0 C → ，则() A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC 12．答案D解析如图所示，取AB的中点E，因为P 0 B＝ 1 4 AB，所以P 0 为EB的中点，取BC的中点 D，则DP 0 为△CEB的中位线，DP 0 ∥CE． 根据向量的极化恒等式，有PB → ·PC → ＝PD → 2－DB → 2，P 0 B → ·P 0 C → ＝P 0 D → 2－DB → 2．又PB → ·PC → ≥P 0 B → ·P 0 C → ，则|PD → |≥|P 0 D → |恒成立，必有DP 0 ⊥AB．因此CE⊥AB，又E为AB的中点，所以AC＝BC． 13．在正方形ABCD中，AB＝1，A，D分别在x，y轴的非负半轴上滑动，则OC → ·OB → 的最大值为______． 13．答案2解析如图取BC的中点E，取AD的中点F，OC → ·OB → ＝OE → 2－BE → 2＝OE → 2－ 1 4 ，而|OE → |≤|OF → | ＋|FE → |＝ 1 2 ||AD → |＋|FE → ||＝ 1 2 ＋1＝ 3 2 ，当且仅当O，F，E三点共线时取等号．，所以OC → ·OB → 的最大值为2． A B D O x y C E F O C' D AB C 14．在三角形ABC中，D为AB中点，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F分别为BC，AC上的动点，且 EF＝1，则DE → ·DF → 最小值为________． 14．答案 15 4 解析设EF的中点为M，连接CM，则|CM → |＝ 1 2 ，即点M在如图所示的圆弧上，则DE → ·DF → ＝|DM → |2－|EM → |2＝|DM → |2－ 1 4 ≥||CD|－ 1 2 |2－ 1 4 ＝ 15 4 ． A B C D E F M 15．在RtABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，若点A，B分别在x，y轴的非负半轴上滑动，则OA → ·OC → 的 最大值为________． 15．答案18解析如图取AC的中点M，取AB的中点N，则OA → ·OC → ＝OM → 2－AM → 2＝OM → 2－( 3 2 )2≤(ON → 2 －NM → 2)－( 3 2 )2＝(2＋ 5 2 )2－( 3 2 )2＝18． A B C x O y M N 16．已知正方形ABCD的边长为2，点F为AB的中点，以A为圆心，AF为半径作弧交AD于E，若P为 劣弧EF上的动点，则PC → ·PD → 的最小值为______． 16．答案5－25解析如图取CD的中点M，PC → ·PD → ＝PM2－DM2＝PM2－1，而|PM|＋1＝|PM|＋ |AP|≥|AM|＝5，当且仅当P，Q重合时等号成立，所以PC → ·PD → 的最小值为(5－1)2－1＝5－25． A B D C E F P Q M 17．如图，已知B，D是直角C两边上的动点，AD⊥BD，|AD → |＝3，∠BAD＝ π 6 ，CM → ＝ 1 2 (CA → ＋CB → )，CN → ＝ 1 2 (CD → ＋CA → )，则CM → ·CN → 的最大值为________． A B C D M N 17．答案 13＋4 4 解析设MN的中点为G，BD的中点为H，CM → ·CN → ＝|CG → |2－|GN → |2＝|CG → |2－ 1 16 ， ∵|CG → |≤|CH → |＋|HG → |＝ 1 2 ＋ 13 4 ，∴CM → ·CN → ≤( 1 2 ＋ 13 4 )2－ 1 16 ＝ 13＋4 4 ．所以CM → ·CN → 的最大值为 13＋4 4 ． A B C D M N G H 18 ．如图，在平面四边形 ABCD 中， AB ⊥ BC ， AD ⊥ CD ，∠ BCD ＝ 60° ， CB ＝ CD ＝ 23 ．若点 M 为边 BC 上的动点，则 AM → ·DM → 的最小值为 ________ ． A B C D M 18．答案 21 4 解析设E是AD的中点，作EN⊥BC于N，延长CB交DA的延长线于F，由题意可得： FD＝3CD＝6，FC＝2CD＝43，∴BF＝23，∴AB＝2，FA＝4，∴AD＝2， EN AB ＝ EF FA ＝ 5 4 ，EN＝ 5 2 ． 则AM → ·DM → ＝MA → ·MD → ＝|ME → |2－|EA → |2＝|ME → |2－1≥EN2－1＝( 5 2 )2－1＝ 21 4 ．∴AM → ·DM → ＝ 21 4 ． 另解设E是AD的中点，作EF⊥BC于F，作AG⊥EF于G，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴四边形ABCD 共圆，如图，由圆的对称性及∠BCD＝60°，CB＝CD＝23，可知∠BCA＝∠DCA＝30°，∴AB＝2， ∵∠GAE＝30°，∴GE＝ 1 2 ，∴EF＝2＋ 1 2 ＝ 5 2 ，则AM → ·DM → ＝MA → ·MD → ＝|ME → |2－|EA → |2＝|ME → |2－1≥EN2－1＝ ( 5 2 )2－1＝ 21 4 ．∴AM → ·DM → ＝ 21 4 ． F B C D M E A N A B C G F D E 19．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E 为边CD上的动点，则AE → ·BE → 的最小值为________． 19．答案 21 16 解析通法如图，以D为坐标原点建立直角坐标系．连接AC，由题意知∠CAD＝∠CAB ＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0，0)，A(1，0)，B 3 2 ， 3 2 ，C(0，3)．设E(0，y)(0≤y≤3)，则 AE → ＝(－1，y)，BE → ＝ － 3 2 ，y－ 3 2 ，所以AE → ·BE → ＝ 3 2 ＋y2－ 3 2 y＝ y－ 3 4 2＋ 21 16 ，所以当y＝ 3 4 时，AE → ·BE → 有最小值 21 16 ． 极化恒等式法如图，取AB的中点P，连接PE，则AE → ·BE → ＝PE → 2－AP → 2＝PE → 2－ 1 4 ，当PE → ⊥CD → 时，|PE → |取最小值，由几何关系可知，此时，PE → 2＝ 25 16 ，所以DM → ·DN → 的最小值为 21 16 ． C B A P D E 20．如图，圆O为Rt△ABC的内切圆，已知AC＝3，BC＝4，C＝ π 2 ，过圆心O的直线l交圆于P，Q两点， 则BP → ·CQ → 的取值范围为________． C P A B O Q 20．答案[－7，1]解析易知，圆的半径为1，BP → ·CQ → ＝(BC → ＋CP → )·CQ → ＝BC → ·CQ → ＋CP → ·CQ → ＝CP → ·CQ → －CB → · CQ → ，CP → ·CQ → ＝CO → 2－OP → 2＝2－1＝1．CB → ·CQ → ＝|CB → ||CQ → |cos∠BCQ＝2|CQ → |cos∠BCQ，(|CQ → |cos∠BCQ) min ＝0，(|CQ → |cos∠BCQ) max ＝4．所以BP → ·CQ → 的取值范围为[－7，1]． C P A B O Q 21．在三棱锥S－ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，点M为三棱锥S－ABC的外接球 面上任意一点，则MA → ·MB → 的最大值为________． 21．答案23＋2解析如图，MA → ·MB → ＝MO 1 → 2－2．当M，A，B在同一个大圆上且MO 1 ⊥AB，点M与 线段AB在球心的异侧时，|MO 1 → |最大，又2R＝22＋22＋22＝23，所以R＝3．|MO 1 → | max ＝3＋1，MO 1 → 2－2的最大值为23＋2． O 1 B M A C S 22．如图所示，正方体ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点 之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，PM → ·PN → 的取值范围是 ________． 22．答案[0，2]解析由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为23．当弦 MN的长度最大时，MN为球的直径．设内切球的球心为O，则PM → ·PN → ＝PO → 2－ON → 2＝PO → 2－1．由于P 为正方体表面上的动点，故OP∈[1，3]，所以PM → ·PN → ∈[0，2]． 23．已知线段AB的长为2，动点C满足CA → ·CB → ＝λ（λ为常数），且点C总不在以点B为圆心， 1 2 为半径的 圆内，则负数λ的最大值为________． 23．答案－ 3 4 解析如图取AB的中点为D，连接CD，则CA → ·CB → ＝|CD → |2－1＝λ，|CD → |＝1＋λ，()－1≤λ<0 ， 又由点C总不在以点B为圆心， 1 2 为半径的圆内，故1＋λ≤ 1 2 ，则负数λ的最大值为－ 3 4 ． 24．若点O和点F分别为椭圆 x2 4 ＋ y2 3 ＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP → ·FP → 的最大值 为() A．2B．3C．6D．8 24．答案C解析如图，由已知|OF|＝1，取FO中点E，连接PE，由极化恒等式得：OP → ·FP → ＝|PE|2－ 1 4 |OF|2＝|PE|2－ 1 4 ，∵|PE|2 max ＝ 25 4 ，∴OP → ·FP → 的最大值为6．